高等數(shù)學(xué)一致收斂

高等數(shù)學(xué)課件一致收斂2023/6/26同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件第一頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期六2023/6/26同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間上的性質(zhì)類似于多項(xiàng)式,但一般函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)則不一定有這么好的特點(diǎn).例如,級(jí)數(shù)每項(xiàng)在[0,1]上都連續(xù),其前n項(xiàng)之和為和函數(shù)該和函數(shù)在x＝1間斷.第二頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期六2023/6/26同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件因?yàn)閷?duì)任意x都有:所以它的收斂域?yàn)?,),但逐項(xiàng)求導(dǎo)后的級(jí)數(shù)其一般項(xiàng)不趨于0,所以對(duì)任意x都發(fā)散.又如,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)問題:對(duì)什么樣的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)才有:逐項(xiàng)連續(xù)和函數(shù)連續(xù);逐項(xiàng)求導(dǎo)=和函數(shù)求導(dǎo);逐項(xiàng)積分=和函數(shù)積分第三頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期六2023/6/26同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件定義.設(shè)S(x)為若對(duì)都有一個(gè)只依賴于的自然數(shù)N,使當(dāng)n>N時(shí),對(duì)區(qū)間I上的一切x都有則稱該級(jí)數(shù)在區(qū)間I上一致收斂于和函數(shù)S(x).在區(qū)間I上的和函數(shù),任意給定的>0,顯然,在區(qū)間I上一致收斂于和函數(shù)S(x)部分和序列一致收斂于S(x)余項(xiàng)一致收斂于0第四頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期六2023/6/26同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件幾何解釋:(如圖)當(dāng)n>N時(shí),曲線總位于曲線之間.第五頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期六2023/6/26同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件例1.研究級(jí)數(shù)在區(qū)間[0,+∞)上的收斂性.解:第六頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期六2023/6/26同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件余項(xiàng)的絕對(duì)值:因此,任給>0,取自然數(shù)則當(dāng)n>N時(shí)有這說明級(jí)數(shù)在[0,+∞)上一致收斂于第七頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期六2023/6/26同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件例2.證明級(jí)數(shù)在[0,1]上不一致收斂.證:取正數(shù)對(duì)無(wú)論多么大的正數(shù)N,因此級(jí)數(shù)在[0,1]上不一致收斂.第八頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期六2023/6/26同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件說明:對(duì)任意正數(shù)r<1,級(jí)數(shù)在[0,r]上一致收斂.事實(shí)上,因?yàn)樵赱0,r]上任給>0,欲使只要因此取只要即級(jí)數(shù)在[0,r]上一致收斂.第九頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期六2023/6/26同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件維爾斯特拉斯(Weierstrass)判別法用一致收斂定義判別級(jí)數(shù)的一致收斂性時(shí),需求出這往往比較困難.下面介紹一個(gè)較方便的判別法.若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間I上滿足:則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間I上一致收斂.簡(jiǎn)介第十頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期六2023/6/26同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件證:由條件2),根據(jù)柯西審斂原理,當(dāng)n>N時(shí),

對(duì)任意正整數(shù)p,都有由條件1),對(duì)x∈I,有故函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間I上一致收斂.證畢第十一頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期六2023/6/26同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件推論.若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R>0,則此級(jí)數(shù)在(－R,R)內(nèi)任一閉區(qū)間[a,b]上一致收斂.證:則對(duì)[a,b]上的一切x,都有由阿貝爾定理(第三節(jié)定理1)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,由維爾斯特拉斯判別法即知推論成立.說明:若冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間的端點(diǎn)收斂,則一致收斂區(qū)間可包含此端點(diǎn).證畢

第十二頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期六2023/6/26同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件例3.證明級(jí)數(shù)在(,)上一致收斂.證:而級(jí)數(shù)收斂,由維爾斯特拉斯判別法知所給級(jí)數(shù)在(,)上一致收斂.第十三頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期六2023/6/26同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件說明:維爾斯特拉斯判別法不僅能判別級(jí)數(shù)的一致收斂性,而且能判別其絕對(duì)收斂性.當(dāng)不易觀察到不等式可利用導(dǎo)數(shù)求例如,級(jí)數(shù)用求導(dǎo)法可得已知收斂,因此原級(jí)數(shù)在[0,)上一致收斂.第十四頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期六2023/6/26同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件二、一致收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)定理1.若級(jí)數(shù)證:只需證明由于第十五頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期六2023/6/26同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件因?yàn)榧?jí)數(shù)一致收斂于S(x),使當(dāng)n>N時(shí),有對(duì)這樣選定的n,從而必存在>0,從而得證畢第十六頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期六2023/6/26同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件說明:(1)定理1表明,對(duì)一致收斂的級(jí)數(shù),極限運(yùn)算與無(wú)限求和運(yùn)算可交換,即有(2)若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)不一致收斂時(shí),定理結(jié)論不一定成立.例如,級(jí)數(shù)在區(qū)間[0,1]上處處收斂,而其和函數(shù)在x=1處不連續(xù).第十七頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期六2023/6/26同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件定理2.若級(jí)數(shù)則該級(jí)數(shù)在[a,b]上可逐項(xiàng)積分,且上式右端級(jí)數(shù)在[a,b]上也一致收斂.證:因?yàn)榈谑隧?yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期六2023/6/26同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件所以只需證明對(duì)任意

一致有根據(jù)級(jí)數(shù)的一致收斂性,使當(dāng)n>N時(shí),有于是,當(dāng)n>N時(shí),對(duì)一切

有因此定理結(jié)論正確.證畢第十九頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期六2023/6/26同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件說明:若級(jí)數(shù)不一致收斂時(shí),定理結(jié)論不一定成立.例如,級(jí)數(shù)它的部分和因此級(jí)數(shù)在[0,1]上收斂于S(x)=0,所以但是①對(duì)級(jí)數(shù)①定理結(jié)論不成立的原因:第二十頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期六2023/6/26同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件級(jí)數(shù)①的余項(xiàng)可見級(jí)數(shù)①在[0,1]上不一致收斂,此即定理2結(jié)論對(duì)級(jí)數(shù)①不成立的原因.①第二十一頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期六2023/6/26同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件定理3.若級(jí)數(shù)且可逐項(xiàng)求導(dǎo),即證:先證可逐項(xiàng)求導(dǎo).根據(jù)定理2第二十二頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期六2023/6/26同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件上式兩邊對(duì)x求導(dǎo),得再證根據(jù)而定理2第二十三頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期六2023/6/26同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件所以級(jí)數(shù)一致收斂并不保證可以逐項(xiàng)求導(dǎo).例如,例3中的級(jí)數(shù)說明:在任意區(qū)間上都一致收斂,但求導(dǎo)后的級(jí)數(shù)其一般項(xiàng)不趨于0,所以對(duì)任意x都發(fā)散.證畢第二十四頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期六2023/6/26同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件例4.證明函數(shù)對(duì)任意x有連續(xù)導(dǎo)數(shù).解:顯然所給級(jí)數(shù)對(duì)任意x都收斂,且每項(xiàng)都有連續(xù)導(dǎo)數(shù),而逐項(xiàng)求導(dǎo)后的級(jí)數(shù)故級(jí)數(shù)②在(,)上一致收斂,故由定理3可知②再由定理1可知定理1定理3第二十五頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期六2023/6/26同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件定理4

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若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑則其和函在收斂域上連續(xù),且在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)求積分,運(yùn)算前后收斂半徑相同,即證:

?由維爾斯特拉斯判別法的推論及定理1,2可知和函數(shù)連續(xù)、級(jí)數(shù)逐項(xiàng)可積；

?級(jí)數(shù)逐項(xiàng)可導(dǎo)分兩步證：內(nèi)收斂.第二十六頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期六2023/6/26同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件則由比值審斂法知因此存在M>0,使得由比較審斂法可知從而在(R,R)內(nèi)任一閉區(qū)間上一致收斂,故原級(jí)數(shù)上滿足定理3條件,定理3第二十七頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期六2023/6/26同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件從而可逐項(xiàng)求導(dǎo),再由[a,b]的任意性,即知再證的收斂半徑R=R.前面已證定理3逐項(xiàng)積分,得證畢因逐項(xiàng)積分所得級(jí)數(shù)的收斂半徑不會(huì)縮小,綜上所述第二十八頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期六2023/6/26同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件冪級(jí)數(shù)(－R,R)內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù),且有其收斂半徑都為R.推論:的和函數(shù)S(x)在收斂區(qū)間作業(yè)P2991;3(2);4(2),(4),(5)第七節(jié)第二十九頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期六維爾斯特拉斯