2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題30代數(shù)中的新定義問(wèn)題（學(xué)生版）

挑戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘(全國(guó)通用)

專題30代數(shù)中的新定義問(wèn)題

典例剖析.

\________________?

【例1】(2022?重慶)對(duì)于一個(gè)各數(shù)位上的數(shù)字均不為0的三位自然數(shù)N,若N能被它的各

數(shù)位上的數(shù)字之和機(jī)整除，則稱N是,〃的“和倍數(shù)”.

例如：：247+(2+4+7)=247+13=19,二247是13的“和倍數(shù)”.

又如：V2144-(2+1+4)=214+7=30...4,...214不是“和倍數(shù)”.

(1)判斷357,441是否是“和倍數(shù)”？說(shuō)明理由；

(2)三位數(shù)A是12的''和倍數(shù)”，a,b,c分別是數(shù)A其中一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字，且。>匕

>c.在a,6,c中任選兩個(gè)組成兩位數(shù)，其中最大的兩位數(shù)記為尸(A),最小的兩位數(shù)

記為G(A),若F(A)：G(4)為整數(shù),求出滿足條件的所有數(shù)A.

16

【例2】(2022秋?西城區(qū)校級(jí)期中)將〃個(gè)0或1排列在一起組成了一個(gè)數(shù)組，記為A=(“，

Z2.—tn'),其中，fl,及，…，5都取。或1,稱4是一個(gè)〃元完美數(shù)組(〃22且〃為整

數(shù)).

例如：(0,1),(1,1)都是2元完美數(shù)組，(0,0,1,1),(1,0,0,1)都是4元完

美數(shù)組，但(3,2)不是任何完美數(shù)組.定義以下兩個(gè)新運(yùn)算：

新運(yùn)算1：對(duì)于x和y,x*y—(x+y)-|x-j|,

新運(yùn)算2：對(duì)于任意兩個(gè)"元完美數(shù)組M=(xi,X2,―,X”)和2=(yi,yi,―,y”)，

1

.(xi*yi+x2*)2+…+%*加)，例如：對(duì)于3元完美數(shù)組M=(1,1,1)和N=(0,

1

0,1),有(0+0+2)=1.

(1)在(0,0,0),(2,0,1),(1,1,1,1),(1,1,0)中是3元完美數(shù)組的有：；

(2)設(shè)4=(1,0,1),B=(1,1,1),則A<8)8=；

(3)已知完美數(shù)組M=(1.1,1,0)求出所有4元完美數(shù)組N,使得A/(8)N=2；

(4)現(xiàn)有m個(gè)不同的2022元完美數(shù)組，機(jī)是正整數(shù)，且對(duì)于其中任意的兩個(gè)完美數(shù)組

C,D滿足C(8>0=0；則機(jī)的最大可能值是多少？寫(xiě)出答案，并給出此時(shí)這些完美數(shù)組

的一個(gè)構(gòu)造.

【例31(2022秋?茅箭區(qū)校級(jí)月考)對(duì)x,y定義一種新運(yùn)算T,規(guī)定T(x,y)="等(其

中a,〃是非零常數(shù)，且x+y/0),這里等式右邊是通常的四則運(yùn)算.如：7(3,1)=

ax32+bxl29a+b丁,八arriz+4b

3+13+1m-2

(1)填空：T(4,-1)=(用含a,6的代數(shù)式表示)；

(2)若T(-2,0)=-2,且T(5,-1)=6.①求a與人的值；

②若T(3巾-10,-3M=T(-3m,3>m-10),求m的值.

【例4】(2022?安順)在平面直角坐標(biāo)系中，如果點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，則稱點(diǎn)P為

11

和諧點(diǎn).例如：點(diǎn)(1,1),(-,-),(-V2,-V2),……都是和諧點(diǎn).

22

(1)判斷函數(shù)y=2尤+1的圖象上是否存在和諧點(diǎn)，若存在，求出其和諧點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)若二次函數(shù)ynaf+Gx+c(a#0)的圖象上有且只有一個(gè)和諧點(diǎn)(|,|).

①求“，c的值；

②若IWxW"?時(shí)，函數(shù)尸^/⑹^+/(aWO)的最小值為-1,最大值為3,求實(shí)數(shù)〃?

的取值范圍.

【例5】(2022?南通)定義：函數(shù)圖象上到兩坐標(biāo)軸的距離都不大于〃("NO)的點(diǎn)叫做這

111

個(gè)函數(shù)圖象的階方點(diǎn)例如，點(diǎn)(？-)是函數(shù)y=x圖象的階方點(diǎn)”；點(diǎn)(2,

1)是函數(shù))，=|圖象的“2階方點(diǎn)”.

(1)在①(-2,-1)；②(-1,-1)；③(1,1)三點(diǎn)中，是反比例函數(shù)y=［圖象的

“1階方點(diǎn)”的有(填序號(hào))；

(2)若y關(guān)于x的一次函數(shù)y=ar-3a+l圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個(gè)，求a的值；

(3)若y關(guān)于x的二次函數(shù))=-(x-〃)2-2〃+1圖象的“”階方點(diǎn)”一定存在，請(qǐng)直

接寫(xiě)出〃的取值范圍.

滿分訓(xùn)練.

解答題(共20題)

1.(2022?渝中區(qū)校級(jí)模擬)材料1：若一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和能被9整除，則這個(gè)數(shù)

本身也能被9整除；

材料2：如果一個(gè)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不為0的四位正整數(shù)m可以被9整除，且加的百

位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字大2,則稱m為“夠二數(shù)”;將m的千位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字交換，

百位數(shù)字與十位數(shù)字交換，得到的數(shù)為加，?01)=叱嚅膂，例如：〃?=8424,???

8+4+2+4=18=9X2,4-2=2,A8424是“夠二數(shù)”,F(8424)=改)-"^+如、=6

(1)判斷1314,6536是否是“夠二數(shù)”，請(qǐng)說(shuō)明理由，如果是“夠二數(shù)”，請(qǐng)計(jì)算尸(機(jī))

的值；

(2)若一個(gè)四位正整數(shù)幾=麗是“夠二數(shù)”，且々為5的倍數(shù)，請(qǐng)求出所有的“夠

F(n)

二數(shù)”〃的值.

2.(2022?九龍坡區(qū)校級(jí)模擬)對(duì)于任意一個(gè)四位數(shù)〃?，若滿足千位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)

字之和是百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之和的2倍，則稱這個(gè)四位數(shù)“為“倍和數(shù)”、例

如：

，〃=6132,：6+2=2X(1+3),二6132是倍和數(shù)”；

%=1374,；1+4#2X(3+7),二1374不是“倍和數(shù)”;

(1)判斷1047和4657是否為“倍和數(shù)”?并說(shuō)明理由.

(2)當(dāng)一個(gè)“倍和數(shù)”，"千位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字不相等，且千位上的數(shù)字與個(gè)位

上的數(shù)字之和等于8時(shí)，記這個(gè)“倍和數(shù)”利的千位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之差的絕

對(duì)值為7(〃?),記百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之差的絕對(duì)值為R(m),令G(nz)=僦，

當(dāng)G(〃?)能被3整除時(shí)，求出滿足條件的所有“倍和數(shù)”m.

3.(2022?兩江新區(qū)模擬)材料一：若一個(gè)兩位數(shù)恰好等于它的各位數(shù)字之和的4倍，則稱

這個(gè)兩位數(shù)為“巧數(shù)”.

材料二：一個(gè)四位數(shù)N=麗滿足各個(gè)數(shù)位數(shù)字都不為0,且它的千位數(shù)字與百位數(shù)字

組成的兩位數(shù)同，以及十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字組成的兩位數(shù)下均為“巧數(shù)”，則稱這個(gè)四位

數(shù)為“雙巧數(shù)”.若p=衣-bd,q=ad—be,則記F(N)=q-p.

(1)請(qǐng)任意寫(xiě)出兩個(gè)“巧數(shù)”，并證明任意一個(gè)“巧數(shù)”的個(gè)位數(shù)字是十位數(shù)字的2倍；

(2)若s,/都是“雙巧數(shù)”，其中s=3010+100x+10y+z,尸1100加+400+10幾+2小(K,

z,1WW4,且x,y,z,tn,n,r均為整數(shù))，規(guī)定K(s,f)

=黑，當(dāng)/(s)+F(/)=12時(shí)，求K(s,t)的最大值.

4.(2022?大足區(qū)模擬)對(duì)任意一個(gè)四位正整數(shù)〃?，如果〃?的百位數(shù)字等于個(gè)位數(shù)字與十位

數(shù)字之和，根的千位數(shù)字等于十位數(shù)字的2倍與個(gè)位數(shù)字之和，那么稱這個(gè)數(shù)，”為“和

諧數(shù)”.例如：皿=7431,滿足1+3=4,2X3+1=7,所以7431是“和諧數(shù)”.例如：，*

=6413,滿足1+3=4,但2X1+3=5￥6,所以6413不是"和諧數(shù)".

(1)判斷8624和9582是不是“和諧數(shù)”，并說(shuō)明理由；

(2)若，〃是“和諧數(shù)”，且m與22的和能被13整除，求滿足條件的所有“和諧數(shù)”

5.(2021?北硝區(qū)校級(jí)模擬)定義一種新運(yùn)算：對(duì)于實(shí)數(shù)x、y,有L(x,y)=ax+by(其中

a,。均為非零常數(shù))，由這種運(yùn)算得到的數(shù)稱之為線性數(shù)，記為L(zhǎng)(x,y),其中x,y叫

做線性數(shù)的一個(gè)數(shù)對(duì)，若實(shí)數(shù)x,)，都取正整數(shù)，稱這樣的線性數(shù)為正格線性數(shù)，這時(shí)的

x,y叫做正格線性數(shù)的正格數(shù)對(duì).

31

(1)若L(x,y)=2x+7y,則L(3,-2)=_______,L(一，-1)=_______；

2/

(2)已知L(5,工)=毀，L(2,-)=8.

335

①若LCm-\,m+2)為正格線性數(shù)，求滿足66<L(m-1,m+2)<99的正格數(shù)對(duì)有

哪些？

②若正格線性數(shù)L(x,y)=55,滿足這樣的正格數(shù)對(duì)中，有滿足問(wèn)題①的數(shù)對(duì)嗎，若有,

請(qǐng)找出；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.

6.(2022秋?岳麓區(qū)校級(jí)期中)對(duì)x定義一種新運(yùn)算E,規(guī)定E(x)=(ax+2)(26x-3),

其中a,b是非零常數(shù).如：當(dāng)”=1,6=1時(shí)，E(x)=(x+2)(2x-3)—2x2+x-6.

1

(1)當(dāng)a,b滿足(a—分2+|b+6|=0時(shí)，計(jì)算E(x)；

(2)已知E(2-3x)=_2x_竽,請(qǐng)求出，的值;

F(x)-2x(6%+3)<2/c

(3)若當(dāng)a=3,6=2時(shí),關(guān)于x的不等式組恰好有5個(gè)

4E(2+x)-E(2x-1)<228

整數(shù)解，求k的取值范圍.

7.(2022春?五華區(qū)校級(jí)期中)閱讀材料：對(duì)實(shí)數(shù)a、b,定義T(a,b)的含義為，當(dāng)

b時(shí)T(a,b)=a+b；當(dāng)a>匕時(shí)，T(a,b)=a-b.例如：7(1,3)=1+3=4,T(.2,

-1)-2-<-1)=3；

根據(jù)以上材料，回答下列問(wèn)題：

(1)若7(%2+[,-])=6,則m=；

(2)已知x+y=8,且x>y,求T(4,x)-T(4,y)的值.

8.(2022春?巴中期末)定義：如果兩個(gè)一元一次方程的解之和為1,我們就稱這兩個(gè)方程

為“美好方程”.例如：方程2x-1=3和x+l=0為“美好方程”.

(1)請(qǐng)判斷方程4x-(x+5)=1與方程-2y-y=3是否互為“美好方程”；

(2)若關(guān)于x的方程:+機(jī)=0與方程3x-2=x+4是“美好方程”，求m的值；

111

(3)若關(guān)于x方程與=/+l=3x+k是“美好方程”，求關(guān)于y的方程

202220222022

(y+2)+l=3y+&+6的解.

9.(2022春?岳麓區(qū)校級(jí)期末)對(duì)a,。定義一種新運(yùn)算T,規(guī)定：T(a,b)=(2a-b)Cax

-勿)(其中x,y均為非零實(shí)數(shù)).例如：7(1,1)=x-y.

(1)已知關(guān)于x,y的方程組3)=a+3,若,求2x-y的取值范圍；

(7(2,0)=8a

(2)在(1)的條件下，已知平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)A(x,y)落在坐標(biāo)軸上，將線段

04沿x軸向右平移2個(gè)單位，得線段04，坐標(biāo)軸上有一點(diǎn)B滿足三角形BOA的面積

為15,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo).

10.(2022春?遵義期末)我們規(guī)定.關(guān)于x,y的二元一次方程ar+by=c,若滿足a+6=c,

則稱這個(gè)方程為“幸?！狈匠?例如：方程2x+3y=5,其中a=2,h=3,c=5,滿足

=c,則方程2x+3y=5是“幸福”方程，把兩個(gè)“幸福”方程合在一起叫“幸?！狈匠?/p>

組.根據(jù)上述規(guī)定，回答下列問(wèn)題，

(1)判斷方程3x+5y=8“幸福”方程(填“是”或“不是”)；

(2)若關(guān)于x,y的二元一次方程日+(&-1)y=9是“幸?！狈匠?，求女的值；

⑶若是關(guān)于x,)，的“幸福”方程組像:黑'P廠”1的解，求4P+7q的

值.

11.(2022秋?開(kāi)福區(qū)校級(jí)期中)定義：若一個(gè)函數(shù)圖象上存在縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)2倍的點(diǎn)，

則把該函數(shù)稱為“青一函數(shù)”，該點(diǎn)稱為“青一點(diǎn)”，例如：“青一函數(shù)"y=x+l,其“青

一點(diǎn)”為(1，2).

(1)①判斷：函數(shù)y=2x+3“青一函數(shù)”(填“是”或“不是”)；

②函數(shù)y=［的圖象上的青一點(diǎn)是；

(2)若拋物線y=(m-1)/+血％+上有兩個(gè)“青一點(diǎn)”，求機(jī)的取值范圍；

(3)若函數(shù)y=x2+(m—k+2)x+E3的圖象上存在唯一的一個(gè)“青一點(diǎn)”，且當(dāng)-

lW，"W3時(shí)，〃的最小值為k,求無(wú)的值.

12.(2022秋?雨花區(qū)期中)2022年10月16日，習(xí)近平總書(shū)記在中共二十大會(huì)議開(kāi)幕式上

作報(bào)告發(fā)言，在闡述第四個(gè)要點(diǎn)“加快構(gòu)建新發(fā)展格局，著力推動(dòng)高質(zhì)量發(fā)展”時(shí)，提

出了兩個(gè)“高水平”，即“構(gòu)建高水平社會(huì)主義市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)體制”和“推進(jìn)高水平對(duì)外開(kāi)放”

在數(shù)學(xué)上，我們不妨約定：若函數(shù)圖象上存在不同的兩點(diǎn)A(Xi,>1)、B(X2,”)(xi

#m)，滿足縱坐標(biāo)相等，即yi=?,則稱點(diǎn)4、8為這個(gè)函數(shù)的一對(duì)“高水平點(diǎn)”，稱這

個(gè)函數(shù)為“高水平函數(shù)

(1)若點(diǎn)P(2022,p)和點(diǎn)Q(q,2023)為“高水平函數(shù)"y=|x+l|圖象上的一對(duì)“高

水平點(diǎn)”，求p+4的值；

(2)關(guān)于x的函數(shù))，=履+方(鼠b為常數(shù))是“高水平函數(shù)”嗎？如果是，指出它有多

少對(duì)“高水平點(diǎn)”，如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)若點(diǎn)、M(1,m)>N(3,〃)、P(xo,yo)都在關(guān)于x的“高水平函數(shù)"

(〃、b、c為常數(shù)，且。>0)的圖象上，點(diǎn)M、尸為該函數(shù)的一對(duì)“高水平點(diǎn)”，且滿足

m<n<c,若存在常數(shù)w,使得式子：w+上>-%)2-xo+2恒成立，求w的取值范圍.

13.(2022秋?惠水縣期中)九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組在課外學(xué)習(xí)時(shí)遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：

定義：如果二次函數(shù)y=m/+bix+ci(mWO,ai,b\,ci是常數(shù))與丫=〃2/+歷^+<?2(“2

W0,42,bl,Cl是常數(shù))滿足41+。2=0,b\=b2,Cl+C2=0,則這兩個(gè)函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)

函數(shù)”.求函數(shù)y=2f-3x+l的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.

小組同學(xué)是這樣思考的，由函數(shù)y=27-3x+l可知，m=2,b\=-3,ci=l,根據(jù)ai+及

=0,b\=bi,ci+c2=0,求出“2,b2,C2就能確定這個(gè)函數(shù)的"旋轉(zhuǎn)函數(shù)

請(qǐng)參照小組同學(xué)的方法解決下面問(wèn)題：

(1)函數(shù)y=7-4x+3的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”是；

(2)若函數(shù)y=5x2+(/?-1)x+n與y--57-nx-3互為"旋轉(zhuǎn)函數(shù)"，求(tn+n)2022

的值；

(3)己知函數(shù)y=2(x-1)(x+3)的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)

A,B,C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別是Ai,Bi,Ci,試求證：經(jīng)過(guò)點(diǎn)Ai,Bi,Ci的二次函

數(shù)與y=2(x-1)(x+3)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.

14.(2022秋?長(zhǎng)沙期中)在平面直角坐標(biāo)系中，我們不妨把縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)3倍的點(diǎn)稱為

“一中點(diǎn)”，例如點(diǎn)(1,3),(2,6),(V3-1,3V3-3),……都是"一中點(diǎn)”.例如：

拋物線-4上存在兩個(gè)“一中點(diǎn)”Pi(4,12),Pi(-1,T).

(1)在下列函數(shù)中，若函數(shù)圖象上存在“一中點(diǎn)”，請(qǐng)?jiān)谙鄳?yīng)題目后面的括號(hào)中打“J”,

若函數(shù)圖象上不存在“一中點(diǎn)”的打“義”.

①y=2x-1；②y=/T；③y=f+4.

122

(2)若拋物線丫=4/+(-/M+3)x-^m2-m+\上存在"一中點(diǎn)”，且與直線y=3x相交

于點(diǎn)A(xi,yi)和B(.X2,”)，令，=xj+x22,求，的最小值；

(3)若函數(shù))，=//+(匕-c+3)x+a+c-2的圖象上存在唯一的一個(gè)"一中點(diǎn)"，且當(dāng)-1

W6W2時(shí)，a的最小值為c,求c的值.

15.(2022春?雨花區(qū)校級(jí)月考)定義：若關(guān)于x的一元二次方程加+云+。=0(”/0)的兩

個(gè)實(shí)數(shù)根為也如(xi<%2),分別以XI,眼為橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)得到點(diǎn)M(XI,X2),則

稱點(diǎn)M為該一元二次方程的衍生點(diǎn).

(1)若方程為/-3x=0,求出該方程的衍生點(diǎn)"的坐標(biāo)；

(2)若關(guān)于x的一元二次方程為7-(5瓶+1)x+5,*=0的衍生點(diǎn)為M,過(guò)點(diǎn)M向x軸

和y軸作垂線，兩條垂線與坐標(biāo)軸恰好圍成一個(gè)正方形，求機(jī)的值；

(3)是否存在6,c,使得不論k(Z#0)為何值，關(guān)于x的方程/+法+C=0的衍生點(diǎn)M

始終在直線y=H+2(A+3)的圖象上？若有，請(qǐng)求出從c的值；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.

16.(2022秋?如皋市校級(jí)月考)定義：一個(gè)函數(shù)圖象上若存在橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，則稱

該點(diǎn)為這個(gè)函數(shù)圖象的“1倍點(diǎn)”，若存在縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的2倍的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個(gè)

函數(shù)圖象的“2倍點(diǎn)”.例如，點(diǎn)(-1,-1)是函數(shù)y=4x+3圖象的“1倍點(diǎn)”，點(diǎn)(一|,

-3)是函數(shù)y=4x+3圖象的“2倍點(diǎn)

(1)函數(shù)y=7-8的圖象上是否存在“2倍點(diǎn)”？如果存在，求出“2倍點(diǎn)”；

(2)若拋物線上有且只有一個(gè)“1倍點(diǎn)”E,該拋物線與x軸交于“、N兩

點(diǎn)(點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)).當(dāng)”>1時(shí)，求：

①C的取值范圍；

②直接寫(xiě)出/EMN的度數(shù).

17.(2022秋?開(kāi)福區(qū)月考)在平面直角坐標(biāo)系中，我們不妨把橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)稱

為“立信點(diǎn)”，例如點(diǎn)(-1,-1),(0,0),(2022,2022)…，都是“立信點(diǎn)”.

(1)①函數(shù)y=-2x+l圖象上的“立信點(diǎn)”坐標(biāo)為；

②函數(shù)y=$+2x-圖象上的“立信點(diǎn)”坐標(biāo)為.

(2)若二次函數(shù)y=/+2(A+2)x+k1的圖象上存在A(xi,xi),B(X2,X2)兩個(gè)“立

信點(diǎn)”和一+—=-1且求k的值；

X1x2

(3)若二次函數(shù)y=o?+6x+l(a,b是常數(shù)，a>0)的圖象上有且只有一個(gè)“立信點(diǎn)”，

令s=^+4a,當(dāng)時(shí)，s有最小值試求f的值.

18.(20