江西省贛州市達(dá)標(biāo)名校2024學(xué)年高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

江西省贛州市達(dá)標(biāo)名校2024學(xué)年高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別是，雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在過且垂直于軸的直線上，當(dāng)?shù)耐饨訄A面積達(dá)到最小時(shí)，點(diǎn)恰好在雙曲線上，則該雙曲線的方程為（）A． B．C． D．2．若數(shù)列為等差數(shù)列，且滿足，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A． B． C． D．3．如圖，在等腰梯形中，，，，為的中點(diǎn)，將與分別沿、向上折起，使、重合為點(diǎn)，則三棱錐的外接球的體積是（）A． B．C． D．4．已知數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列.若的前n項(xiàng)和為，則的最小值為（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，若，則a的取值范圍為（）A． B． C． D．6．已知命題p：“”是“”的充要條件；，，則（）A．為真命題 B．為真命題C．為真命題 D．為假命題7．已知等邊△ABC內(nèi)接于圓：x2+y2=1，且P是圓τ上一點(diǎn)，則的最大值是（）A． B．1 C． D．28．歐拉公式為,(虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”．根據(jù)歐拉公式可知，表示的復(fù)數(shù)位于復(fù)平面中的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．某人用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)無理數(shù)的值，做法如下：首先在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)作軸的垂線與曲線相交于點(diǎn)，過作軸的垂線與軸相交于點(diǎn)（如圖），然后向矩形內(nèi)投入粒豆子，并統(tǒng)計(jì)出這些豆子在曲線上方的有粒，則無理數(shù)的估計(jì)值是（）A． B． C． D．10．若為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．已知集合A={x|x<1}，B={x|}，則A． B．C． D．12．已知拋物線的焦點(diǎn)為，是拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，若，則線段的中點(diǎn)到軸的距離為（）A．5 B．3 C． D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．古代“五行”學(xué)認(rèn)為：“物質(zhì)分金、木、土、水、火五種屬性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”將五種不同屬性的物質(zhì)任意排成一列，但排列中屬性相克的兩種物質(zhì)不相鄰，則這樣的排列方法有_________種.(用數(shù)字作答)14．已知下列命題：①命題“?x0∈R，”的否定是“?x∈R，x2＋1＜3x”；②已知p，q為兩個(gè)命題，若“p∨q”為假命題，則“”為真命題；③“a＞2”是“a＞5”的充分不必要條件；④“若xy＝0，則x＝0且y＝0”的逆否命題為真命題．其中所有真命題的序號(hào)是________．15．已知（且）有最小值，且最小值不小于1，則的取值范圍為__________.16．已知函數(shù)，且，，使得，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（1）若，證明在區(qū)間上沒有零點(diǎn)；（2）在上恒成立，求的取值范圍.18．（12分）已知，求的最小值.19．（12分）已知命題：，；命題：函數(shù)無零點(diǎn).（1）若為假，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若為假，為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知.（Ⅰ）若，求不等式的解集；（Ⅱ），，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知函數(shù)，且.（1）求的解析式；（2）已知，若對(duì)任意的，總存在，使得成立，求的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù)的最大值為2.（Ⅰ）求函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）中,,角所對(duì)的邊分別是，且，求的面積．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

點(diǎn)的坐標(biāo)為，，展開利用均值不等式得到最值，將點(diǎn)代入雙曲線計(jì)算得到答案.【題目詳解】不妨設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由于為定值，由正弦定理可知當(dāng)取得最大值時(shí)，的外接圓面積取得最小值，也等價(jià)于取得最大值，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)最大，此時(shí)的外接圓面積取最小值，點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入可得，．所以雙曲線的方程為．故選：【題目點(diǎn)撥】本題考查了求雙曲線方程，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.2、B【解題分析】

利用等差數(shù)列性質(zhì)，若，則求出，再利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式得【題目詳解】解：因?yàn)椋傻炔顢?shù)列性質(zhì)，若，則得，．為數(shù)列的前項(xiàng)和，則．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列性質(zhì)與等差數(shù)列前項(xiàng)和.(1)如果為等差數(shù)列，若，則．(2)要注意等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的靈活應(yīng)用，如.3、A【解題分析】

由題意等腰梯形中的三個(gè)三角形都是等邊三角形，折疊成的三棱錐是正四面體，易求得其外接球半徑，得球體積．【題目詳解】由題意等腰梯形中，又，∴，是靠邊三角形，從而可得，∴折疊后三棱錐是棱長為1的正四面體，設(shè)是的中心，則平面，，，外接球球心必在高上，設(shè)外接球半徑為，即，∴，解得，球體積為．故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查求球的體積，解題關(guān)鍵是由已知條件確定折疊成的三棱錐是正四面體．4、D【解題分析】

利用等比中項(xiàng)性質(zhì)可得等差數(shù)列的首項(xiàng)，進(jìn)而求得，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可得當(dāng)或時(shí)，取到最小值.【題目詳解】根據(jù)題意，可知為等差數(shù)列，公差，由成等比數(shù)列，可得，∴，解得.∴.根據(jù)單調(diào)性，可知當(dāng)或時(shí)，取到最小值，最小值為.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式、等比中項(xiàng)性質(zhì)、等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意當(dāng)或時(shí)同時(shí)取到最值.5、C【解題分析】

求出函數(shù)定義域，在定義域內(nèi)確定函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式．【題目詳解】由得，在時(shí)，是增函數(shù)，是增函數(shù)，是增函數(shù)，∴是增函數(shù)，∴由得，解得．故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查解函數(shù)不等式，解題關(guān)鍵是確定函數(shù)的單調(diào)性，解題時(shí)可先確定函數(shù)定義域，在定義域內(nèi)求解．6、B【解題分析】

由的單調(diào)性，可判斷p是真命題；分類討論打開絕對(duì)值，可得q是假命題，依次分析即得解【題目詳解】由函數(shù)是R上的增函數(shù)，知命題p是真命題．對(duì)于命題q，當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，，由，得，無解，因此命題q是假命題．所以為假命題，A錯(cuò)誤；為真命題，B正確；為假命題，C錯(cuò)誤；為真命題，D錯(cuò)誤．故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查了命題的邏輯連接詞，考查了學(xué)生邏輯推理，分類討論，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.7、D【解題分析】

如圖所示建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，計(jì)算得到答案.【題目詳解】如圖所示建立直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，則.當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了向量的計(jì)算，建立直角坐標(biāo)系利用坐標(biāo)計(jì)算是解題的關(guān)鍵.8、A【解題分析】

計(jì)算，得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意，故，表示的復(fù)數(shù)在第一象限.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和理解能力.9、D【解題分析】

利用定積分計(jì)算出矩形中位于曲線上方區(qū)域的面積，進(jìn)而利用幾何概型的概率公式得出關(guān)于的等式，解出的表達(dá)式即可.【題目詳解】在函數(shù)的解析式中，令，可得，則點(diǎn)，直線的方程為，矩形中位于曲線上方區(qū)域的面積為，矩形的面積為，由幾何概型的概率公式得，所以，.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用隨機(jī)模擬的思想估算的值，考查了幾何概型概率公式的應(yīng)用，同時(shí)也考查了利用定積分計(jì)算平面區(qū)域的面積，考查計(jì)算能力，屬于中等題.10、D【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，化簡得到，再結(jié)合復(fù)數(shù)的表示，即可求解，得到答案．【題目詳解】由題意，根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，可得，所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為位于第四象限.故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確化簡復(fù)數(shù)為代數(shù)形式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．11、A【解題分析】∵集合∴∵集合∴，故選A12、D【解題分析】

由拋物線方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程,由拋物線的定義可知,繼而可求出,從而可求出的中點(diǎn)的橫坐標(biāo),即為中點(diǎn)到軸的距離.【題目詳解】解：由拋物線方程可知，，即，.設(shè)則，即，所以.所以線段的中點(diǎn)到軸的距離為.故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了拋物線的定義，考查了拋物線的方程.本題的關(guān)鍵是由拋物線的定義求得兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的和.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1．【解題分析】試題分析：由題意，可看作五個(gè)位置排列五種事物，第一位置有五種排列方法，不妨假設(shè)排上的是金，則第二步只能從土與水兩者中選一種排放，故有兩種選擇不妨假設(shè)排上的是水，第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只能排上土，故總的排列方法種數(shù)有5×2×1×1×1=1．考點(diǎn)：排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題．點(diǎn)評(píng)：本題考查排列排列組合及簡單計(jì)數(shù)問題，解答本題關(guān)鍵是理解題設(shè)中的限制條件及“五行”學(xué)說的背景，利用分步原理正確計(jì)數(shù)，本題較抽象，計(jì)數(shù)時(shí)要考慮周詳．14、②【解題分析】命題“?x∈R，x2＋1＞3x”的否定是“?x∈R，x2＋1≤3x”，故①錯(cuò)誤；“p∨q”為假命題說明p假q假，則(p)∧(q)為真命題，故②正確；a＞5?a＞2，但a＞2?/a＞5，故“a＞2”是“a＞5”的必要不充分條件，故③錯(cuò)誤；因?yàn)椤叭魓y＝0，則x＝0或y＝0”，所以原命題為假命題，故其逆否命題也為假命題，故④錯(cuò)誤．15、【解題分析】

真數(shù)有最小值，根據(jù)已知可得的范圍，求出函數(shù)的最小值，建立關(guān)于的不等量關(guān)系，求解即可.【題目詳解】，且（且）有最小值，，的取值范圍為.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上的值域是函數(shù)在上的值域的子集；分別求值域即可得到結(jié)論.【題目詳解】解：依題意，，即函數(shù)在上的值域是函數(shù)在上的值域的子集.因?yàn)樵谏系闹涤驗(yàn)椋ǎ┗颍ǎ?，在上的值域?yàn)椋驶?，解得故答案為?【題目點(diǎn)撥】本題考查了分段函數(shù)的值域求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解題分析】

（1）先利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和導(dǎo)數(shù)公式求出，再由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，，可知在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上沒有零點(diǎn)；（2）由題意可將轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論研究其在上的單調(diào)性，由，即可求出的取值范圍．【題目詳解】（1）若，則，，設(shè)，則，，，故函數(shù)是奇函數(shù)．當(dāng)時(shí)，，，這時(shí)，又函數(shù)是奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，.綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.又，，故在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上沒有零點(diǎn).（2），由，所以恒成立，若，則，設(shè)，.故當(dāng)時(shí)，，又，所以當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，有，與條件矛盾，舍去；當(dāng)時(shí)，令，則，又，故在區(qū)間上有無窮多個(gè)零點(diǎn)，設(shè)最小的零點(diǎn)為，則當(dāng)時(shí)，，因此在上單調(diào)遞增.，所以.于是，當(dāng)時(shí)，，得，與條件矛盾.故的取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，涉及分類討論思想和放縮法的應(yīng)用，難度較大，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力，屬于較難題．18、【解題分析】

討論和的情況，然后再分對(duì)稱軸和區(qū)間之間的關(guān)系，最后求出最小值【題目詳解】當(dāng)時(shí)，，它在上是減函數(shù)故函數(shù)的最小值為當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象思維對(duì)稱軸方程為當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的最小值為當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的最小值為當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的最小值為綜上，【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題。19、（1）（2）【解題分析】

（1）為假,則為真，求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)有零點(diǎn)條件得的取值范圍；（2）由為假，為真，知一真一假；分類討論列不等式組可解.【題目詳解】（1）依題意，為真，則無解，即無解；令，則，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，作出函數(shù)圖象如下所示，觀察可知，，即；（2）若為真，則，解得；由為假，為真，知一真一假；若真假，則實(shí)數(shù)滿足，則；若假真，則實(shí)數(shù)滿足，無解；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)全(特)稱命題的真假求參數(shù)的問題.其思路：與全稱命題或特稱命題真假有關(guān)的參數(shù)取值范圍問題的本質(zhì)是恒成立問題或有解問題．解決此類問題時(shí)，一般先利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想將條件合理轉(zhuǎn)化，得到關(guān)于參數(shù)的方程或不等式(組)，再通過解方程或不等式(組)求出參數(shù)的值或范圍．20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）利用零點(diǎn)分段討論法把函數(shù)改寫成分段函數(shù)的形式,分三種情況分別解不等式,然后取并集即可；（Ⅱ）利用絕對(duì)值三角不等式求出的最小值,利用均值不