命題及其關系充分條件與必要條件

第二節(jié)命題及其關系、充分條件與必要條件

教材研讀1.命題的概念在數(shù)學中用語言、符號或式子表達的,可以①

判斷真假

的陳述句叫做命

題,其中②

判斷為真

的語句叫做真命題,③

判斷為假

的語句叫做假命

題.2.四種命題及其關系(1)四種命題間的相互關系:

(2)四種命題的真假關系:(i)兩個命題互為逆否命題,它們有⑦

相同

的真假性;(ii)兩個命題互為逆命題或互為否命題,它們的真假性⑧

沒有關系

.

提醒

在判斷命題之間的關系時,要先分清命題的條件與結論,再比較每個命題的條件與結論之間的關系.要注意四種命題關系的相對性.3.充分條件與必要條件(1)若p?q,則p是q的⑨

充分

條件,q是p的⑩

必要

條件.(2)若p?q,且q?/p,則p是q的

充分不必要

條件.(3)若p?/q,且q?p,則p是q的

必要不充分

條件.(4)若p?q,則p是q的

充要

條件.(5)若p?/q,且q?/p,則p是q的

既不充分也不必要

條件.提醒

不能將“若p,則q”與“p?q”混為一談,只有“若p,則q”為真命題時,才有“p?q”.知識拓展(1)若p是q的充分不必要條件,q是r的充分不必要條件,則p是r

的充分不必要條件;(2)若p是q的充分不必要條件,則?q是?p的充分不必要條件.

1.判斷正誤(正確的打“√”,錯誤的打“?”).(1)“x2-3x+2=0”是命題.

(

?)(2)一個命題的逆命題與否命題,它們的真假沒有關系.

(

?)(3)命題“若p不成立,則q不成立”等價于“若q成立,則p成立”.(√)(4)若p是q成立的充分條件,則q是p成立的必要條件.

(√)(5)命題“若p,則q”的否命題是“若p,則?q”.

(

?)(6)一個命題非真即假.

(√)2.下列命題的逆命題為真命題的是

(B)A.若x>2,則(x-2)(x+1)>0B.若x2+y2≥4,則xy=2C.若x+y=2,則xy≤1D.若a≥b,則ac2≥bc2

3.當命題“若p,則q”為真時,下列命題中一定為真的是

(C)A.若q,則p

B.若?p,則?q

C.若?q,則?p

D.若p,則?q

4.若x∈R,則“x>1”是“

<1”的

(A)A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件5.已知p:x>1或x<-3,q:x>a,若q是p的充分不必要條件,則a的取值范圍是

(

A)A.[1,+∞)

B.(-∞,1]C.[-3,+∞)

D.(-∞,-3)考點一命題及其相互關系典例1(1)命題“若x,y都是偶數(shù),則x+y也是偶數(shù)”的逆否命題是

(C)A.若x+y是偶數(shù),則x與y不都是偶數(shù)B.若x+y是偶數(shù),則x與y都不是偶數(shù)C.若x+y不是偶數(shù),則x與y不都是偶數(shù)D.若x+y不是偶數(shù),則x與y都不是偶數(shù)考點突破(2)給定下列命題:①若k>0,則方程x2+2x-k=0有實數(shù)根;②“若a>b,則a+c>b+c”的否命題;③“矩形的對角線相等”的逆命題;④“若xy=0,則x,y中至少有一個為0”的否命題;⑤“若x≠2或y≠3,則x+y≠5”.其中真命題的序號是

.答案(1)C(2)①②解析(1)將原命題的條件和結論互換的同時進行否定即得逆否命題.方法技巧

1.寫一個命題的其他三種命題時,需注意:(1)對于不是“若p,則q”形式的命題,需先改寫成“若p,則q”的形式;(2)若命題有大前提,則寫其他三種命題時須保留大前提.

2.判斷一個命題為真命題,要給出推理證明;判斷一個命題是假命題,只需舉出

反例.3.當一個命題直接判斷不易進行時,根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假,逆命

題與否命題同真同假”這一性質,可將命題轉化為等價命題,再判斷真假.1-1命題“若x2<1,則-1<x<1”的逆否命題是

(

D)A.若x2≥1,則x≥1或x≤-1B.若-1<x<1,則x2<1C.若x>1或x<-1,則x2>1D.若x≥1或x≤-1,則x2≥11-2下列命題中為真命題的是

(A)A.命題“若x>y,則x>|y|”的逆命題B.命題“x>1,則x2>1”的否命題C.命題“若x=1,則x2+x-2=0”的否命題D.命題“若x2>0,則x>1”的逆否命題考點二充分條件、必要條件的判斷典例2(1)設x∈R,則“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的

(B)A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件(2)“a=2”是“函數(shù)f(x)=x2-2ax-3在區(qū)間[2,+∞)上為增函數(shù)”的

(A)A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件(3)給定兩個命題p,q,若?p是q的必要不充分條件,則p是?q的

(A)A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件解析(1)由2-x≥0,得x≤2;由|x-1|≤1,得-1≤x-1≤1,即0≤x≤2,因為[0,2]

(-∞,2],所以“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的必要不充分條件,故選B.方法技巧

判斷充要條件的常用方法(1)定義法:根據(jù)p?q,q?p進行判斷.(2)集合法:根據(jù)p,q成立的對應的集合之間的包含關系進行判斷.(3)等價轉化法:根據(jù)一個命題與其逆否命題的等價性,把需判斷的命題轉化

為其逆否命題進行判斷.這個方法特別適合以否定形式給出的問題.2-1已知p:x2-3x+2>0,q:

>0,則p是q的

條件;?q是?p的

條件;?p是?q的

條件.答案必要不充分;必要不充分;充分不必要2-2集合A={x|x>1},B={x|x<2},則“x∈A或x∈B”是“x∈(A∩B)”的

條件.答案必要不充分考點三充分條件、必要條件的應用典例3

(1)設α:1≤x≤3,β:m+1≤x≤2m+4,m∈R,若α是β的充分條件,則m的取值范圍是

.(2)已知條件p:2x2-3x+1≤0,條件q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0.若?p是?q的必要不充分條件,則實數(shù)a的取值范圍是

.答案(1)

(2)

解析(1)若α是β的充分條件,則α對應的集合是β對應集合的子集,則

解得-

≤m≤0.(2)由2x2-3x+1≤0,得

≤x≤1,設條件p對應的集合為P,則P=

.由x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,得a≤x≤a+1,設條件q對應的集合為Q,則Q={x|a≤x

≤a+1}.∵?p是?q的必要不充分條件,∴q是p的必要不充分條件,∴P?Q,∴0≤a≤

,∴實數(shù)a的取值范圍是

.方法技巧

1.解題“2關鍵”:(1)把充分、必要條件轉化為集合之間的關系.(2)根據(jù)集合之間的關系列出關于參數(shù)的不等式(組)求解.

2.解題“1注意”:求參數(shù)的取值范圍時,一定要注意區(qū)間端點值的檢驗,尤其是利用兩個集合之

間的關系求參數(shù)的取值范圍時,不等式能否取等號決定端點值的取舍,處理不

當容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象.3-1已知命題p:“關于x的方程x2-4x+a=0有實根”,若?p是真命題的充分不

必要條件為a>3m+1,則實數(shù)m的取值范圍是

(B)A.[1,+∞)

B.(1,+∞)

C.(-∞,1)

D.(-∞,1]3-2已知p:A={x|x2-2x-3≤0},q:B={x|x2-2mx+m2-