2023學(xué)年完整公開(kāi)課版角平分線1

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.探索并理解角平分線的性質(zhì)及判定.2.能靈活運(yùn)用角平分線的性質(zhì)和判定解決有關(guān)問(wèn)題.

我們?cè)?jīng)用折紙的方法得到角平分線及角平分線上的點(diǎn)的性質(zhì)，你還記得角平分線上的點(diǎn)有什么性質(zhì)嗎?

角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等.

結(jié)合我們前面學(xué)習(xí)的定理的證明方法，你能寫(xiě)出這個(gè)性質(zhì)的證明過(guò)程嗎？證明：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等題設(shè)：一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角的平分線上結(jié)論：它到角的兩邊的距離相等已知：OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，

PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D、E.求證：PD=PE.AOBPEDC證明過(guò)程證明：∵PD⊥OA,PE⊥OB垂足分別為D,E.∴∠ODP=∠OEP=90°在Rt△ODP和Rt△OEP中∠ODP=∠OEP∠DOP＝∠EOPOP=OP∴Rt△ODP≌Rt△OEP(AAS)∴PD=PEAOBPEDC

性質(zhì)定理：

角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.應(yīng)用所具備的條件：（1）角的平分線；（2）點(diǎn)在該平分線上；（3）垂直距離.定理的作用：

證明線段相等.幾何語(yǔ)言：∵OP

是∠AOB的平分線，∴PD=PE提示:這個(gè)結(jié)論是經(jīng)常用來(lái)證明兩條線段相等的根據(jù)之一.推理的理由有三個(gè)，必須寫(xiě)完全，不能少了任何一個(gè).PD⊥OA,PE⊥OB，BADOPEC總結(jié)歸納判一判：（1）∵如下左圖，AD平分∠BAC（已知），∴

=

，()在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等BDCD×BADC(2)∵

如上右圖，DC⊥AC，DB⊥AB

（已知）.

∴

=

,

()在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等BDCD×BADC′思考分析

你能寫(xiě)出“角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等”的逆命題嗎?逆命題：

在一個(gè)角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上.請(qǐng)你證明它是不是真命題?用心想一想已知:如圖,點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E.且PD=PE,求證:OP平分∠AOBOBAPDE逆命題：在一個(gè)角的內(nèi)部,到角的兩邊距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上.證明：∵PD⊥OA,PE⊥OB垂足分別是D,E.∴∠ODP=∠OEP=90°∵DP=EPOP＝OP∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL)∴∠AOP=∠BOP，∴

OP平分∠AOBOBAPDE逆定理：在一個(gè)角的內(nèi)部,

到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.幾何語(yǔ)言：∵PD=PE,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上提示:這個(gè)結(jié)論是經(jīng)常用來(lái)證明點(diǎn)在直線上(或直線經(jīng)過(guò)某一點(diǎn))的根據(jù)之一.

例1已知:如圖,在△ABC中,∠BAC=60度，點(diǎn)D在BC上，AD=10,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別是E,F，且DE=DF求DE的長(zhǎng).ABCDEF

解∵DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別是E,F,且DE=DF,∴AD平分∠BAC（在一個(gè)角的內(nèi)部,到角的兩邊距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上）.又∵∠BAC=60°∴∠BAD=30°在Rt△ADE中，∠AED=90°,AD=10∴DE=5(在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半）1.如圖，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于點(diǎn)P，若PC＝4,AB=14.（1）則點(diǎn)P到AB的距離為_(kāi)______.

4ABCP存在一條垂線段———構(gòu)造應(yīng)用2.如圖，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，若BD=5，BC=4，則點(diǎn)D到邊AB的距離為_(kāi)_______．

33.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=8，AD平分∠BAC，BC邊于點(diǎn)D，若CD=2，則△ABD的面積為_(kāi)_______．

84.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有下列結(jié)論：①CD=ED；②AC+BE=AB；③∠BDE=∠BAC；④DA平分∠CDE；⑤S△ABD：S△ACD=AB：AC．其中，正確的有________個(gè)．

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角平分線性質(zhì)定理一個(gè)點(diǎn)：角平分線上的點(diǎn)；二距離：點(diǎn)到角