【2023春】人教版九年級數(shù)學中考壓軸試題(及答案解析)

【2023春】人教版九年級數(shù)學中考壓軸試題(及答案解析)【精品】人教版九年級數(shù)學中考壓軸試題（含答案）1．如圖，△ABC是等邊三角形，D，E分別是AC，BC邊上的點，且AD＝CE，連接BD，AE相交于點F．（1）∠BFE的度數(shù)是60°；（2）如果＝，那么＝1；（3）如果＝時，請用含n的式子表示AF，BF的數(shù)量關系，并證明．【分析】（1）易證△ABD≌△ACE，可得∠DAF＝∠ABF，根據(jù)外角等于不相鄰兩個內角的和即可解題．（2）如圖1中，當＝時，由題意可知：AD＝CD，BE＝CE．利用等腰三角形的性質即可解決問題；（3）設AF＝x，BF＝y(tǒng)，AB＝BC＝AC＝n．AD＝CE＝1，由△ABD≌△CAE，推出BD＝AE，設BD＝AE＝m，利用相似三角形的性質，列出關系式即可解決問題；【解答】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAD＝∠C＝60°，【2023春】人教版九年級數(shù)學中考壓軸試題(及答案解析)全文共12頁，當前為第1頁。在△ABD和△ACE中，【2023春】人教版九年級數(shù)學中考壓軸試題(及答案解析)全文共12頁，當前為第1頁。，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴∠DAF＝∠ABD，∴∠BFE＝∠ABD+∠BAF＝∠DAF+∠BAF＝∠BAD＝60°，故答案為：60°．（2）如圖1中，當＝時，由題意可知：AD＝CD，BE＝CE．∵△ABC是等邊三角形，BE＝EC，AD＝CD，∴∠BAE＝∠BAC＝×60°＝30°，∠ABD＝∠ABC＝30°，∴∠FAB＝∠FBA，∴FA＝FB，∴＝1．故答案為1．（3）設AF＝x，BF＝y(tǒng)，AB＝BC＝AC＝n．AD＝CE＝1，【2023春】人教版九年級數(shù)學中考壓軸試題(及答案解析)全文共12頁，當前為第2頁。【2023春】人教版九年級數(shù)學中考壓軸試題(及答案解析)全文共12頁，當前為第2頁?！摺鰽BD≌△CAE，∴BD＝AE，∠DAF＝∠ABD，設BD＝AE＝m，∵∠ADF＝∠BDA，∴△ADF∽△BDA，∴＝，∴＝①，∵∠FBE＝∠CBD，∠BFE＝∠C＝60°，∴△BFE∽△BCD，∴＝，∴＝②，①÷②得到：＝，∴＝．【點評】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質，相似三角形的判定和性質的等知識，解題的關鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學會利用參數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題．2．如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，連接AC．過點B作⊙O的切線，交AC的延長線于點D，在AD上取一點E，使AE＝AB，連接BE，交⊙O于點F．請補全圖形并解決下面的問題：（1）求證：∠BAE＝2∠EBD；【2023春】人教版九年級數(shù)學中考壓軸試題(及答案解析)全文共12頁，當前為第3頁。（2）如果AB＝5，sin∠EBD＝．求BD的長．【2023春】人教版九年級數(shù)學中考壓軸試題(及答案解析)全文共12頁，當前為第3頁。【分析】（1）利用等腰三角形的性質證明∠BAE＝2∠BAF，再證明∠EBD＝∠BAF即可解決問題；（2）作EH⊥BD于H．由sin∠BAF＝sin∠EBD＝，AB＝5，推出BF＝，推出BE＝2BF＝2，在Rt△ABF中，EH＝BE?sin∠EBH＝2，推出BH＝＝4，由EH∥AB，推出＝，由此即可求出DH解決問題；【解答】（1）證明：連接AF．∵AB是直徑，∴∠AFB＝90°，∴AF⊥BE，∵AB＝AE，∴∠BAE＝2∠BAF，∵BD是⊙O的切線，【2023春】人教版九年級數(shù)學中考壓軸試題(及答案解析)全文共12頁，當前為第4頁。∴∠ABD＝90°，【2023春】人教版九年級數(shù)學中考壓軸試題(及答案解析)全文共12頁，當前為第4頁。∵∠BAF+∠ABE＝90°，∠ABF+∠EBD＝90°，∴∠EBD＝∠BAF，∴∠BAE＝2∠EBD．（2）解：作EH⊥BD于H．∵∠BAF＝∠EBD，∴sin∠BAF＝sin∠EBD＝，∵AB＝5，∴BF＝，∴BE＝2BF＝2，在Rt△ABF中，EH＝BE?sin∠EBH＝2，∴BH＝＝4，∵EH∥AB，∴＝，∴＝，∴DH＝，∴BD＝BH+HD＝．【點評】本題屬于圓綜合題，考查了切線的性質，解直角三角形，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直徑三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．【2023春】人教版九年級數(shù)學中考壓軸試題(及答案解析)全文共12頁，當前為第5頁。3．如圖，P是所對弦AB上一動點，過點P作PC⊥AB交于點C，取AP中點D，連接CD．已知AB＝6cm，設A，P兩點間的距離為xcm，C．D兩點間的距離為ycm．（當點P與點A重合時，y的值為0；當點P與點B重合時，y的值為3）【2023春】人教版九年級數(shù)學中考壓軸試題(及答案解析)全文共12頁，當前為第5頁。小凡根據(jù)學習函數(shù)的經驗，對函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進行了探究．下面是小凡的探究過程，請補充完整：（1）通過取點、畫圖、測量，得到了x與y的幾組值，如下表：x/cm0123456y/cm02.22.93.23.43.33（2）建立平面直角坐標系，描出補全后的表中各對對應值為坐標的點，畫出該函數(shù)的圖象；（3）結合所畫出的函數(shù)圖象，解決問題：當∠C＝30°時，AP的長度約為3.3cm【分析】（1）根據(jù)對稱性可知：當x＝2和x＝4時，PA＝BP′＝2，因為PC⊥AB，P′C′⊥AB，即可推出PC＝P′C′＝，再利用勾股定理即可解決問題；（2）利用描點法即可解決問題；【2023春】人教版九年級數(shù)學中考壓軸試題(及答案解析)全文共12頁，當前為第6頁。（3）函數(shù)圖象與直線y＝x的交點的橫坐標即為PA的長，利用圖象法即可解決問題；【2023春】人教版九年級數(shù)學中考壓軸試題(及答案解析)全文共12頁，當前為第6頁。【解答】解：（1）如圖，根據(jù)對稱性可知：根據(jù)對稱性可知：當x＝2和x＝4時，PA＝BP′＝2，∵PC⊥AB，P′C′⊥AB，∴PC＝P′C′＝，∴CD＝≈2.9．故答案為2.9．（2）利用描點法畫出圖象如圖所示：（3）當∠DCP＝30°時，CD＝2PD，即y＝x，觀察圖象可知：與函數(shù)圖象與直線y＝x的交點為（3.3，3.3），∴AP的長度為3.3．【2023春】人教版九年級數(shù)學中考壓軸試題(及答案解析)全文共12頁，當前為第7頁。【點評】本題屬于圓綜合題，考查了勾股定理，函數(shù)圖象，直角三角形30度角的性質等知識，解題的關鍵是理解題意，學會利用對稱性解決問題，學會利用圖象法解決問題，屬于中考壓軸題．【2023春】人教版九年級數(shù)學中考壓軸試題(及答案解析)全文共12頁，當前為第7頁。4、（10分）某校九年級數(shù)學興趣小組的同學進行社會實踐活動時，想利用所學的解直角三角形的知識測量某塔的高度，他們先在點D用高1.5米的測角儀DAM30°，然后沿DF40mEE處測得塔頂M的仰角為6°．請根據(jù)他們的測量數(shù)據(jù)求此塔F（結果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73，≈2.45）【分析】首先證明AB=BM=40，在Rt△BCM中，利用勾股定理求出CM即可解決問題；【解答】解：由題意：AB=40，CF=1.5，∠MAC=30°，∠MBC=60°，∵∠MAC=30°，∠MBC=60°，∴∠AMB=30°【2023春】人教版九年級數(shù)學中考壓軸試題(及答案解析)全文共12頁，當前為第8頁?！唷螦MB=∠MAB【2023春】人教版九年級數(shù)學中考壓軸試題(及答案解析)全文共12頁，當前為第8頁。∴AB=MB=40，在Rt△BCM中，∵∠MCB=90°，∠MBC=60°，∴∠BMC=30°．=20，∴，∴MC≈34.64，∴MF=CF+CM=36.14≈36.1．本題考查解直角三角形的應用﹣AB=BM=40，屬于中考常考題型。5．（5分）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC=8，∠A=120°，求BC的長．【分析】過點A作AD⊥BC于D．解直角三角形求出BD，利用等腰三角形的性質即可解決問題．【2023春】人教版九年級數(shù)學中考壓軸試題(及答案解析)全文共12頁，當前為第9頁?！窘獯稹拷猓哼^點A作AD⊥BC于D．【2023春】人教版九年級數(shù)學中考壓軸試題(及答案解析)全文共12頁，當前為第9頁?！逜B=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，BC=2BD，在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=30°，AB=8，cosB=，∴BD=ABcos30°=8×=4，∴BC=8．【點評】本題考查等腰三角形的性質、解直角三角形等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．6．（5分）在平面直角坐標xOy中的第一象限內，直線y1=kx（k≠0）與雙曲y2=（m≠0）的一個交點為A（2，2）．（1）求k、m的值；（2）過點P（x，0）且垂直于x軸的直線與y1=kx、y2=的圖象分別相交于點M、N，點M、N的距離為d1，點M、N中的某一點與點P的距離為d2，如果d1=d2，在下圖中畫出示意圖并且直接寫出點P的坐標．【2023春】人教版九年級數(shù)學中考壓軸試題(及答案解析)全文共12頁，當前為第10頁。【2023春】人教版九年級數(shù)學中考壓軸試題(及答案解析)全文共12頁，當前為第10頁?！痉治觥浚?）利用待定系數(shù)法即可解決問題；（2）構建方程即可解決問題；【解答】解：（1）∵直線y1=kx（k≠0）與雙曲y2=（m≠0）的一個交點為A（2，2），∴k=1，m=4，（2）∵直線y1=x，y2=，由題意：﹣x=x或x﹣=，解得x=±或，∵x＞0，∴x=或2，∴P（，0）或（2，0）．【點評】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，解題的關鍵是學會利用構建方程的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．7．在平面直角坐標系中，已知拋物線G：，．（1）當時，①求拋物線G與軸的交點坐標；【2023春】人教版九年級數(shù)學中考壓軸試題(及答案解析)全文共12頁，當前為第11頁。②若拋物線G與線段只有一個交點，求的取值范圍；【2023春】人教版九年級數(shù)學中考壓軸試題(及答案解析)全文共12頁，當前為第11頁。（2）若存在實數(shù)，使得拋物線G與線段有兩個交點，結合圖象，直接寫出的取值范圍．【解答】：（1）①當時，．……1分當時，，解得，．∴拋物線與軸的交點坐標為，．………………2分②當時，拋物線與線段有一個交點．當時，拋物線與線段有兩個交點．結合圖象可得．………………4分（2）或．……