流體動力學(xué) 基本方程

流體動力學(xué)基本方程連續(xù)方程積分形式（\mathrm{cv}控制體，\mathrm{cs}控制體表面）\frac{\partial}{\partialt}\iiint_{\mathrm{cv}}\rho\mathrmgwahimvB+\iint_{\mathrm{cs}}\rho(\vec{V}\cdot\vec{n})\mathrmpavc2xoA=0。微分形式\frac{\partial\rho}{\partialt}+\nabla\cdot(\rho\vec{V})=0第一項是控制體內(nèi)（空間某點）質(zhì)量的增加量，第二項是流出控制體（空間某點）的質(zhì)量。動量方程控制體所受的力就是體積力和表面力之和。對表面力按照一般約定取拉力為正，壓力為負(fù)。積分形式\sum\vec{F}_{\mathrm{cv}}=\frac{\partial}{\partialt}\iiint_{\mathrm{cv}}\vec{V}\rho\mathrmqkjzqe8B+\iint_{\mathrm{cs}}\vec{V}\rho(\vec{V}\cdot\vec{n})\mathrmzwdiiwzA。微分形式\frac{\mathrm{D}\vec{V}}{\mathrm{D}t}=\vec{f}_{\mathrm}+\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial\vec{\Gamma}_{x}}{\partialx}+\frac{\partial\vec{\Gamma}_{y}}{\partialy}+\frac{\partial\vec{\Gamma}_{z}}{\partialz}\right)。注意表面力的分解\begin{array}{l}\vec{\Gamma}_{x}=\tau_{xx}\vec{i}+\tau_{xy}\vec{j}+\tau_{xz}\vec{k}\\\vec{\Gamma}_{y}=\tau_{yx}\vec{i}+\tau_{yy}\vec{j}+\tau_{yz}\vec{k}\\\vec{\Gamma}_{z}=\tau_{zx}\vec{i}+\tau_{zy}\vec{j}+\tau_{zz}\vec{k}\end{array}。也就是說\begin{aligned}\frac{\mathrm{D}\vec{V}}{\mathrm{D}t}=\vec{f}_{\mathrm}&+\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial\tau_{xx}}{\partialx}+\frac{\partial\tau_{yx}}{\partialy}+\frac{\partial\tau_{zx}}{\partialz}\right)\vec{i}\\&+\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial\tau_{xy}}{\partialx}+\frac{\partial\tau_{yy}}{\partialy}+\frac{\partial\tau_{zy}}{\partialz}\right)\vec{j}\\&+\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial\tau_{xz}}{\partialx}+\frac{\partial\tau_{yz}}{\partialy}+\frac{\partial\tau_{zz}}{\partialz}\right)\vec{k}\end{aligned}。且有\(zhòng)tau_{xy}=\tau_{yx},\quad\tau_{yz}=\tau_{zy},\quad\tau_{zx}=\tau_{xz}事實上該公式對固體也同樣適用。歐拉方程流體的粘性力相比壓力是非常小的，所以應(yīng)該可以忽略切應(yīng)力，并讓正應(yīng)力等于壓力\begin{array}{l}\tau_{xy}=\tau_{yx}=0,\tau_{yz}=\tau_{zy}=0,\tau_{zx}=\tau_{xz}=0\\\tau_{xx}=\tau_{yy}=\tau_{zz}=-p\end{array}。則有歐拉方程\frac{\mathrm{D}\vec{V}}{\mathrm{D}t}=\vec{f}_{\mathrm}-\frac{1}{\rho}\nablap廣義牛頓內(nèi)摩擦定律如果粘性應(yīng)力與應(yīng)變率成正比，那么這種流體就是牛頓流體。牛頓流體在任意流動狀態(tài)下的應(yīng)力與應(yīng)變率的關(guān)系，是牛頓流體的本構(gòu)方程\begin{array}{l}\tau_{yx}=\tau_{xy}=\mu\left(\frac{\partialu}{\partialy}+\frac{\partialv}{\partialx}\right)\\\tau_{zy}=\tau_{yz}=\mu\left(\frac{\partialv}{\partialz}+\frac{\partialw}{\partialy}\right)\\\tau_{xz}=\tau_{zx}=\mu\left(\frac{\partialw}{\partialx}+\frac{\partialu}{\partialz}\right)\\\tau_{xx}=2\mu\frac{\partialu}{\partialx}-\frac{2}{3}\mu(\nabla\cdot\vec{V})-p\\\tau_{yy}=2\mu\frac{\partialv}{\partialy}-\frac{2}{3}\mu(\nabla\cdot\vec{V})-p\\\tau_{zz}=2\mu\frac{\partialw}{\partialz}-\frac{2}{3}\mu(\nabla\cdot\vec{V})-p\end{array}。N-S方程將牛頓流體的本構(gòu)方程代入應(yīng)力形式的動量方程中，就可以得到最終形式的動量方程，即N-S方程\frac{\mathrm{D}\vec{V}}{\mathrm{D}t}=\vec{f}_{\mathrm}-\frac{1}{\rho}\nablap+\frac{\mu}{\rho}\nabla^{2}\vec{V}+\frac{1}{3}\frac{\mu}{\rho}\nabla(\nabla\cdot\vec{V})。\frac{\mathrm{D}\vec{V}}{\mathrm{D}t}流體的動量隨時間的變化,或稱之為慣性力項。\vec{f}_{\mathrm}體積力項。-\frac{1}{\rho}\nablap壓差力項。\frac{\mu}{\rho}\nabla^{2}\bar{V}+\frac{1}{3}\frac{\mu}{\rho}\nabla(\nabla\cdot\bar{