微專題(一)　小船渡河模型

微專題(一)小船渡河模型eq\x(模型建構(gòu))1．三個速度v船(船在靜水中的速度)、v水(水流速度)、v合(船的實際速度)．如圖①所示．2．渡河時間(1)船頭與河岸成α角時，渡河時間為t＝eq\f(d,v船sinα)(d為河寬)．(2)船頭正對河岸時，渡河時間最短，tmin＝eq\f(d,v船)(d為河寬)．3．最短航程(1)若v水<v船，則當合速度v合垂直于河岸時，航程最短，xmin＝d.船頭指向上游與河岸的夾角α滿足cosα＝eq\f(v水,v船).如圖②所示．(2)若v水>v船，如果船頭方向(即v船方向)與合速度方向垂直，渡河位移最短，最短渡河位移xmin＝eq\f(v水d,v船).如圖③所示．題型一小船渡河問題的分析與求解【典例1】[一題多變]小船在水速較小的河中橫渡，并使船頭始終垂直河岸航行，到達河中間時突然上游來水使水流速度加快，則對此小船渡河的說法正確的是()A．小船要用更長的時間才能到達對岸B．小船到達對岸的時間不變，但位移將變大C．因小船船頭始終垂直河岸航行，故所用時間及位移都不會變化D．因船速與水速關(guān)系未知，故無法確定渡河時間及位移的變化[拓展1]在【典例1】中小船在靜水中的速度v1＝5m/s，水流速度v2＝3m/s，河的寬度為60m，請問小船渡河的最短時間是多少？[拓展2]在【典例1】中小船渡河位移最短時，小船的渡河時間是多少？方法技巧求解小船渡河問題的兩個關(guān)鍵點(1)小船渡河時間僅與河寬和船沿垂直于河岸方向上的速度大小有關(guān)，與河水流動的速度無關(guān)．(2)小船渡河用時最短與位移最短是兩種不同的運動情景，時間最短時，位移不是最短．

練1如圖所示，一條小船渡河，河水流速v1＝3m/s，船在靜水中速度v2＝4m/s，船頭方向與河岸垂直．關(guān)于小船的運動，下列說法正確的是()A．小船的實際運動軌跡與岸垂直B．小船相對于岸的速度大小為1m/sC．小船相對于岸的速度大小為5m/sD．小船相對于岸的速度大小為7m/s練2端午賽龍舟是中華民族的傳統(tǒng)，若某龍舟在比賽前劃向比賽位置的途中要渡過60m寬且兩岸平直的河，龍舟在靜水中劃行的速率為3m/s，河水的流速為4m/s，下列說法中正確的是()A．該龍舟以最短時間渡河通過的位移為60mB．該龍舟渡河的最大速率為7m/sC．該龍船渡河所用時間最短為15sD．該龍舟不可能沿垂直于河岸的航線抵達對岸練3如圖所示，一條小船位于d＝200m寬的河正中A點處，從這里向下游100eq\r(3)m處有一危險區(qū)，當時水流速度為v1(1)若小船在靜水中速度為v2＝5m/s，小船到岸的最短時間是多少？(2)若小船在靜水中速度為v2＝5m/s，小船以最短的位移到岸，小船船頭與河岸夾角及所用時間？(3)為了使小船避開危險區(qū)沿直線到達對岸，小船在靜水中的速度至少是多少？解題通法小船渡河問題分析思路題型二小船渡河問題與圖像的綜合【典例2】小船橫渡一條河，為盡快到達對岸，船頭方向始終與河岸垂直，為避免船撞擊河岸，小船先做加速運動后做減速運動，使小船到達河對岸時恰好不與河岸相撞．小船在靜水中的行駛速度v1如圖甲所示，水的流速v2如圖乙所示，則下列關(guān)于小船渡河的說法正確的是()A．小船的運動軌跡為直線B．河寬是150mC．小船到達對岸時，沿河岸下游運動了60mD．小船渡河的最大速度是13m/s練4一快艇從離岸邊100m遠的河流中央向岸邊行駛．已知快艇在靜水中的速度圖像如圖甲所示，河中各處水流速度相同，且速度圖像如圖乙所示．則()A．快艇的運動軌跡一定為直線B．快艇的運動軌跡可能為直線，也可能為曲線C．快艇最快到達岸邊，所用的時間為20sD．快艇最快到達岸邊，經(jīng)過的位移為100m

————————————專題強化練————————————1．已知河水的流速為v1，小船在靜水中的速度為v2，且v2>v1，下面用小箭頭表示小船船頭的指向，則下圖中能正確反映小船用最短時間渡河、最小位移渡河的情境分別是()A．①②B．①⑤C．④⑤D．②③2．河寬d＝60m，水流速度v1＝4m/s且保持不變，小船在靜水中的行駛速度為v2＝3m/s，則下列說法正確的是()A．小船能垂直到達正對岸B．若船頭始終垂直于河岸渡河，渡河過程中水流速度加快，渡河時間將變長C．小船渡河時間最短為20sD．小船渡河的實際速度一定為5m/s3．小船要渡過200m寬的河面，水流速度是4m/s，船在靜水中的航速是5m/s，則下列判斷正確的是()A．要使小船過河的位移最短，過河所需的時間是50sB．要使小船過河的位移最短，船頭應(yīng)始終正對著對岸C．小船過河所需的最短時間是40sD．如果水流速度增大為6m/s，小船過河所需的最短時間將增大4．如圖所示，小船從A處過河，船頭指向與上游河岸成θ角，正好到達正對岸的B處，小船在靜水中的速度大小為v1.現(xiàn)水流速度稍微變大，為使小船過河后仍然正好到達正對岸的B處，下列方法中可行的有()A．保持v1不變，同時增大θ角B．保持v1不變，同時減小θ角C．保持θ角不變，減小v1D．增大θ角，減小v15．河水由西向東流，河寬為800m，河中各點的水流速度大小為v水，各點到較近河岸的距離為x，v水與x的關(guān)系為v水＝eq\f(3,400)x(m/s)，讓小船船頭垂直河岸由南向北渡河，小船在靜水中的速度大小恒為v船＝4m/s，則下列說法中正確的是()A．小船渡河的軌跡為直線B．小船在河水中的最大速度是5m/sC．小船在距離南岸200m處的速度大小小于它在距北岸200m處的速度大小D．小船渡河的時間是160s6．某小船在河寬為d、水速恒定為v的河中渡河，第一次用最短時間從渡口向?qū)Π堕_去，此時小船在靜水中航行的速度為v1，所用時間為t1；第二次用最短航程從同一渡口向?qū)Π堕_去，此時小船在靜水中航行的速度為v2，所用時間為t2，結(jié)果兩次恰好抵達對岸的同一地點，則()A．第一次所用時間t1＝eq\f(d,v)B．第二次所用時間t2＝eq\f(d,v2)C．兩次渡河的位移大小為eq\f(v2,v1)D．兩次渡河所用時間之比eq\f(t1,t2)＝eq\f(v\o\al(2,2),v\o\al(2,1))7．用跨過定滑輪的繩子把湖中小船向右拉的過程中，如圖所示，若保持人拉繩子的速度v不變，則小船的速度()A．不變B．逐漸增大C．逐漸減小D．先增大后減小

微專題(一)小船渡河模型【典例1】【解析】因為小船船頭垂直于河岸，則渡河時間t＝eq\f(d,v船)，水流速增大，渡河時間不變，沿河岸方向的位移增大，則最終渡河的位移變大，故B正確，A、D錯誤；因小船船頭始終垂直河岸航行，渡河時間不會隨著水流速度增大而變化，故C錯誤．【答案】B[拓展1]解析：經(jīng)分析可知，當船頭與河岸垂直時，渡河時間最短．最短時間：t1＝eq\f(d,v1)＝12s.答案：12s[拓展2]解析：經(jīng)分析可知，當小船的合速度方向與河岸垂直時，小船渡河的位移最短，此時的合速度為v＝eq\r(v\o\al(2,1)－v\o\al(2,2))＝4m/s，渡河時間t＝eq\f(d,v)＝15s.答案：15s練1解析：船實際運動的方向為v1與v2的合速度的方向，故A錯誤；小船相對于岸的速度即合速度v＝eq\r(v\o\al(2,1)＋v\o\al(2,2))＝5m/s，故B、D錯誤，C正確．答案：C練2解析：該龍舟以最短時間渡河時，船頭方向與河岸垂直，則最短時間為tmin＝eq\f(d,v靜水)＝eq\f(60,3)s＝20s，此時該龍舟沿河岸方向的位移x＝v水tmin＝4×20m＝80m，則該龍舟通過的位移大于60m，選項A、C錯誤；只有船速和水流速度同向時，龍舟的最大速率才為7m/s，則該龍舟渡河的最大速率不可能達到7m/s，選項B錯誤；因水流的速度大于船速，可知該龍舟不能垂直于河岸渡河，即龍舟不可能沿垂直于河岸的航線抵達對岸，選項D正確．答案：D練3解析：(1)當船頭與河岸垂直時，時間最短，t1＝eq\f(d,2v2)＝20s(2)設(shè)船頭與河岸的夾角為θ，渡河時間為t2，合成圖如圖：可知，cosθ＝eq\f(v1,v2)；θ＝37°t2＝eq\f(d,2\r(v\o\al(2,2)－v\o\al(2,1)))＝eq\f(100,3)s≈33.3s(3)設(shè)小船避開危險區(qū)，合速度與水流方向的夾角為α，則tanα＝eq\f(d,2x)＝eq\f(\r(3),3)，α＝30°當船頭分運動與合運動垂直時，取得最小值．如圖所示：最小速度v2min＝v1sinα＝2m/s答案：(1)20s(2)37°33.3s(3)2m/s【典例2】【解析】小船在靜水中先做加速運動后做減速運動，具有加速度，又水的流速恒定，且方向與小船在靜水中的速度方向垂直，小船的實際運動是兩者的合運動，是曲線運動，A錯誤；研究小船垂直于河岸方向的運動，根據(jù)速度—時間圖像中圖線與時間軸圍成的面積表示位移大小，可得河寬d＝eq\f(1,2)×30×10m＝150m，B正確；根據(jù)運動的等時性可知，小船沿河岸方向運動了30s，則沿河岸方向運動的距離x＝3×30m＝90m，C錯誤；根據(jù)矢量合成法則可知，小船在靜水中的速度最大時，渡河速度最大，為eq\r(102＋32)m/s＝eq\r(109)m/s，D錯誤．【答案】B練4解析：快艇的軌跡一定為曲線運動，A、B兩個選項錯誤；要使到達河岸的時間最短，則v船應(yīng)垂直于河岸，s＝eq\f(1,2)at2，解得t＝20s，C選項正確；快艇最快到達岸邊，位移必定大于100m.答案：C[專題強化練]1．解析：船的實際速度是v1和v2的合速度，v1與河岸平行，對渡河時間沒有影響，所以v2與河岸垂直(即船頭指向?qū)Π?時，渡河時間最短，為tmin＝eq\f(d,v2)，式中d為河寬，此時合速度與河岸成一定夾角，船的實際路線應(yīng)如④所示；由v2>v1知，最小位移即為d，應(yīng)使合速度垂直河岸，則v2應(yīng)指向河岸上游，實際路線如⑤所示，綜合可得選項C正確．答案：C2．解析：由于船速小于水速，小船的合速度不可能垂直于河岸，故選項A錯誤；當船頭垂直于河岸時，小船渡河時間最短為tmin＝eq\f(d,v2)＝20s．當水速增大時，渡河時間不受影響，故選項B錯誤，C正確；由于船速方向未知，無法求解小船的渡河速度，故選項D錯誤．答案：C3．解析：要使小船過河的位移最短，小船的船頭應(yīng)斜向上游，使小船與水的合速度與河岸垂直，這時合速度v合＝eq\r(v\o\al(2,船)－v\o\al(2,水))＝3m/s，船過河所需的時間t＝eq\f(d,v合)＝eq\f(200,3)s，A、B錯誤；若使船以最短時間渡河，船頭必須垂直河岸過河，過河時間tmin＝eq\f(d,v船)＝eq\f(200,5)s＝40s，C正確；小船過河所需的最短時間與水流速度的大小無關(guān)，D錯誤．答案：C4．解析：由題意可知，小船相對靜水的速度為v1，船頭與上游河岸成θ角時，其航線恰好垂直于河岸，若水流速度稍微增大，為保持航線不變，且能到達對岸，如圖所示，可以保持v1大小不變，減小θ角，或者保持θ角不變，增大v1；若增大θ角，v1大小也必須增大．故A、C、D錯誤，B正確．答案：B5．解析：水流的速度與其到較近河岸的距離有關(guān)，小船垂直河岸的速度恒定，則小船在沿河岸方向做變速運動，在垂直河岸方向做勻速運動，則小船的合運動為曲線運動，選項A錯誤；根據(jù)v水＝eq\f(3,400)x(m/s)得，小船在河中央時水流速度最大，即為v水＝3m/s，故小船的最大速度v＝eq\r(v\o\al(2,船)＋v\o\al(2,水))＝5m/s，選項B正確；無論小船是在距南岸200m處還是在距北岸200m處，水速均為v水′＝1.5m/s，則小船的合速度大小相等，選項C錯誤；小船渡河的時間t＝eq\f(d,v船)＝200s，選項D錯誤．答案：B6．解析：兩次渡河的示意圖分別如答圖甲、乙所示，渡河最短時間t＝eq\f(d,v靜)，所以t1＝eq\f(d,v1)，A錯誤；第一次渡河時有tanα＝eq\f(v1,v)，第二次渡河時有eq\f(v2,v)＝sinα，所以eq\f(1,cosα)＝eq\f(v1,v2)，第二次渡河時間為t2＝eq\f(d,v2cosα)＝eq\f(dv1,v\o\al(2,