第四節(jié) 重積分的應用

第四節(jié)重積分的應用第一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五幾何應用和物理應用求平面區(qū)域面積求空間區(qū)域體積求曲面的面積求物體質(zhì)量求物體質(zhì)心求轉(zhuǎn)動慣量求引力第二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五一、重積分的幾何應用1、平面區(qū)域面積：為D的面積,則解：第三頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五解:第四頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五第五頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五2、空間區(qū)域體積：

曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面則其體積為：

占有空間有界閉區(qū)域

的立體的體積為：第六頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五例3.

求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積.(P148-例6)解:

設由對稱性可知第七頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五例4.求半徑為a

的球面與半頂角為的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積.（P163-例4）解:在球坐標系下空間立體所占區(qū)域為則立體體積為第八頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五(1)設曲面的方程為：如圖，3、曲面的面積:第九頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五曲面S的面積元素曲面面積公式為：第十頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五(3)設曲面的方程為：曲面面積公式為：(2)設曲面的方程為：曲面面積公式為：同理可得第十一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五例5.

計算半徑為a的球的表面積.解:設球面方程為球面面積元素為方法2：

利用直角坐標方程.（方法1

）利用球坐標方程.見P167---例1第十二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五例6.

計算雙曲拋物面被柱面所截解:

曲面在

xoy

面上投影為則出的面積

A.見P168---例2第十三頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五*二、重積分的物理應用1、平面薄片的質(zhì)心第十四頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五當薄片是均勻的，質(zhì)心稱為形心.由元素法第十五頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五解第十六頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五第十七頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五2、平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量第十八頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五薄片對于

軸的轉(zhuǎn)動慣量薄片對于

軸的轉(zhuǎn)動慣量第十九頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五解第二十頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五第二十一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五解第二十二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五第二十三頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五薄片對

軸上單位質(zhì)點的引力為引力常數(shù)3、平面薄片對質(zhì)點的引力第二十四頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五解由積分區(qū)域的對稱性知第二十五頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五所求引力為第二十六頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五三、利用對稱性化簡重積分（補充內(nèi)容）1、利用對稱性化簡二重積分：（偶倍奇零）f(x,y)關(guān)于y的奇偶性可類似定義，則有以下重要結(jié)論：(1)若D關(guān)于

x=0(y軸)對稱(如圖),則第二十七頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五(2)若D關(guān)于y=0

(x軸)對稱(如圖),則(3)若D關(guān)于y=0

(x

軸)和x=0(y軸)對稱(如圖),且f(x,y)關(guān)于x和y均為偶函數(shù)，則第二十八頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五解：第二十九頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五(4)若D關(guān)于原點對稱(如圖),則第三十頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五(5)若D關(guān)于直線y=

x

對稱(如圖),則(6)若D關(guān)于直線y=

x

對稱(如上圖),且f(x,y)關(guān)于x和y

都對稱（即f(x,y)=

f(y,x)），則第三十一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五2、利用對稱性化簡三重積分：f(x,y,z)關(guān)于x和y的奇偶性可類似定義，有以下重要結(jié)論：(1)若Ω關(guān)于z=0

(xoy平面)對稱，則第三十二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五例.設計算提示:利用對稱性原式=奇函數(shù)相應地，若Ω關(guān)于yoz平面(zox平面)對稱，f(x,y,z)關(guān)于x（或y）有奇偶性，可得相應結(jié)論。第三十三頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五(2)若Ω關(guān)于三個坐標面對稱，且f(x,y,z)關(guān)于x,y,z均為偶函數(shù)，則例.設計算第三十四頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五內(nèi)容小結(jié)1、幾何應用：平面區(qū)域面積、空間區(qū)域體積、