第四章橢球數(shù)學變換節(jié)

第四章橢球數(shù)學變換節(jié)*FundationofGeodesy1第一頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期五*FundationofGeodesy2第四章地球橢球數(shù)學投影變換的基本理論4.1地球橢球基本參數(shù)及其互相關系

地球橢球是選擇的旋轉橢球,旋轉橢球的形狀和大小常用子午橢圓的五個基本幾何參數(shù)(或稱元素):長半軸ａ短半軸ｂ橢圓的扁率橢圓的第一偏心率橢圓的第二偏心率通常用a,α

第二頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期五*FundationofGeodesy3為簡化書寫，還常引入以下符號第三頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期五*FundationofGeodesy44.2橢球面上常用坐標系及其關系4.2.1各種坐標系的建立1、大地坐標系大地經(jīng)度B大地緯度L大地高H

第四頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期五*FundationofGeodesy52、空間直角坐標系定義：1、坐標原點位于總地球橢球(或參考橢球)質心；2、Z軸與地球平均自轉軸相重合，亦即指向某一時刻的平均北極點；3、X軸指向平均自轉軸與平均格林尼治天文臺所決定的子午面與赤道面的交點G；4、Y軸與此平面垂直，且指向東為正。地心空間直角系與參心空間直角坐標系之分。

第五頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期五*FundationofGeodesy63、子午面直角坐標系

設P點的大地經(jīng)度為L，在過P點的子午面上，以子午圈橢圓中心為原點，建立x,y平面直角坐標系。在該坐標系中，P點的位置用L,x,y表示。第六頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期五*FundationofGeodesy74、地心緯度坐標系及歸化緯度坐標系

設橢球面上P點的大地經(jīng)度L，在此子午面上以橢圓中心O為原點建立地心緯度坐標系;以橢球長半徑a為半徑作輔助圓，延長Ｐ２Ｐ與輔助圓相交Ｐ１點，則OP１與x軸夾角稱為P點的歸化緯度u。

第七頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期五*FundationofGeodesy85、大地極坐標系

M是橢球面上一點，MN是過M的子午線，S為連接MP的大地線長，A為大地線在M點的方位角。以M為極點；

MN為極軸；

P點極坐標為（S,A)第八頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期五*FundationofGeodesy94.2.2

坐標系之間的相互關系子午平面坐標系同大地坐標系的關系

第九頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期五*FundationofGeodesy10

令:pn=N第十頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期五*FundationofGeodesy11空間直角坐標同子午面直角坐標系的關系

第十一頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期五*FundationofGeodesy12空間直角坐標系同大地坐標系

在橢球面上的點：

不在橢球面上的點：第十二頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期五*FundationofGeodesy13由空間直角坐標計算相應大地坐標或第十三頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期五*FundationofGeodesy14B、u、φ之間的關系

B和u之間的關系

第十四頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期五*FundationofGeodesy15U、φ之間的關系Ｂ、φ之間的關系

大地緯度、地心緯度、歸化緯度之間的差異很小，經(jīng)過計算，當B=45°時第十五頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期五*FundationofGeodesy164.3橢球面上的幾種曲率半徑

過橢球面上任意一點可作一條垂直于橢球面的法線，包含這條法線的平面叫作法截面，法截面與橢球面的交線叫法截線。子午圈曲率半徑第十六頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期五*FundationofGeodesy17第十七頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期五*FundationofGeodesy18第十八頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期五*FundationofGeodesy19卯酉圈曲率半徑(N)

卯酉圈:過橢球面上一點的法線，可作無限個法截面，其中一個與該點子午面相垂直的法截面同橢球面相截形成的閉合的圈稱為卯酉圈。麥尼爾定理:

假設通過曲面上一點引兩條截弧，一為法截弧，一為斜截弧，且在該點上這兩條截弧具有公共切線，這時斜截弧在該點處的曲率半徑等于法截弧的曲率半徑乘以兩截弧平面夾角的余弦。

第十九頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期五*FundationofGeodesy20第二十頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期五*FundationofGeodesy21卯酉圈曲率半徑的特點:卯酉圈曲率半徑恰好等于法線介于橢球面和短軸之間的長度，亦即卯酉圈的曲率中心位在橢球的旋轉軸上。

第二十一頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期五*FundationofGeodesy22主曲率半徑的計算以上討論的子午圈曲率半徑M及卯酉圈曲率半徑N，是兩個互相垂直的法截弧的曲率半徑，這在微分幾何中統(tǒng)稱為主曲率半徑。

第二十二頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期五第二十三頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期五*FundationofGeodesy24第二十四頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期五*FundationofGeodesy25第二十五頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期五*FundationofGeodesy26任意法截弧的曲率半徑

第二十六頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期五*FundationofGeodesy27

任意法截弧的曲率半徑的變化規(guī)律:ＲＡ不僅與點的緯度B有關，而且還與過該點的法截弧的方位角A有關。當Ａ＝０°時，變?yōu)橛嬎阕游缛η拾霃降模矗遥埃剑?；當ＲＡ?0°時，為卯酉圈曲率半徑，即Ｒ９０＝Ｎ。主曲率半徑M及N分別是ＲＡ的極小值和極大值。當A由0°→90°時，ＲＡ之值由Ｍ→Ｎ，當A由90°→180°時，ＲＡ值由N→Ｍ，可見ＲＡ值的變化是以90°為周期且與子午圈和卯酉圈對稱的。

第二十七頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期五*FundationofGeodesy28平均曲率半徑橢球面上任意一點的平均曲率半徑R等于該點子午圈曲率半徑M和卯酉圈曲率半徑N的幾何平均值。

第二十八頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期五*FundationofGeodesy29M，N，R的關系

第二十九頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期五*FundationofGeodesy30對于克拉索夫斯基橢球第三十頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期五*FundationofGeodesy314.4橢球面上的弧長計算子午線弧長計算公式

第三十一頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期五第三十二頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期五*FundationofGeodesy33第三十三頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期五*FundationofGeodesy34如果以B＝90°代入，則得子午橢圓在一個象限內的弧長約為10002137m。旋轉橢球的子午圈的整個弧長約為40008549.995m。即一象限子午線弧長約為10000km，地球周長約為40000km。為求子午線上兩個緯度B１及Ｂ２間的弧長，只需按(11.42)式分別算出相應的X１及X２，而后取差：ΔＸ＝Ｘ２－Ｘ１，該ΔＸ即為所求的弧長。當弧長甚短(例如X≤40km，計算精度到0.001m)，可視子午弧為圓弧，而圓的半徑為該圓弧上平均緯度點的子午圈的曲率半徑Mｍ

第三十四頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期五*FundationofGeodesy35由子午弧長求大地緯度迭代解法:

平行圈弧長公式

第三十五頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期五*FundationofGeodesy36子午線弧長和平行圈弧長變化的比較第三十六頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期五*FundationofGeodesy374.5大地線

兩點間的最短距離，在平面上是兩點間的直線，在球面上是兩點間的大圓弧，那么在橢球面上又是怎樣的一條線呢?它應是大地線。相對法截線

第三十七頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期五*FundationofGeodesy38相對法截線

第三十八頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期五*FundationofGeodesy39相對法截線的特點:當A，B兩點位于同一子午圈或同一平行圈上時，正反法截線則合二為一。在通常情況下，正反法截線是不重合的。因此在橢球面上A，B，C三個點處所測得的角度(各點上正法截線之夾角)將不能構成閉合三角形。為了克服這個矛盾，在兩點間另選一條單一的大地線代替相對法截線，從而得到由大地線構成的單一的三角形。

第三十九頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期五*FundationofGeodesy40大地線的定義和性質橢球面上兩點間的最短程曲線叫做大地線。第四十頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期五*FundationofGeodesy41

大地線的性質:大地線是兩點間惟一最短線，而且位于相對法截線之間，并靠近正法截線，它與正法截線間的夾角

在橢球面上進行測量計算時，應當以兩點間的大地線為依據(jù)。在地面上測得的方向、距離等，應當歸算成相應大地線的方向、距離。長度差異可忽略,方向差異需改化。

第四十一頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期五*FundationofGeodesy42補充內容：球面直角三角形的球面三角公式

任一元素的余弦等于不相鄰兩元素的正弦之積第四十二頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期五*FundationofGeodesy43任一元素的余弦等于相鄰兩元素的余切之積第四十三頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期五*FundationofGeodesy44大地線的微分方程和克萊勞方程

第四十四頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期五*FundationofGeodesy45第四十五頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期五*FundationofGeodesy46大地線的克萊勞方程

在旋轉橢球面上，大地線各點的平行圈半徑與大地線在該點的大地方位角的正弦的乘積等于常數(shù)。式中常數(shù)C也叫大地線常數(shù)

第四十六頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期五*FundationofGeodesy47當大地線穿越赤道時當大地線達極小平行圈時由克萊勞方程可以寫出

第四十七頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期五*FundationofGeodesy484.6將地面觀測值歸算至橢球面

觀測的基準線不是各點相應的橢球面的法線，而是各點的垂線，各點的垂線與法線存在著垂線偏差。

歸算的兩條基本要求：

①以橢球面的法線為基準；②將地面觀測元素化為橢球面上大地線的相應元素。將地面觀測的水平方向歸算至橢球面

將水平方向歸算至橢球面上，包括垂線偏差改正、標高差改正及截面差改正，習慣上稱此三項改正為三差改正。

第四十八頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期五*FundationofGeodesy49垂線偏差改正

以測站A為中心作出單位半徑的輔助球,u是垂線偏差，它在子午圈和卯酉圈上的分量分別以ξ,η表示，M是地面觀測目標m在球面上的投影。垂線偏差對水平方向的影響是(R-R1)第四十九頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期五*FundationofGeodesy50標高差改正

第五十頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期五*FundationofGeodesy51截面差改正

第五十一頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期五*FundationofGeodesy52

將地面觀測的長度歸算至橢球面

基線尺量距的歸算

將基線尺量取的長度加上測段傾斜改正后，可以認為它是基線平均高程面上的長度，以Ｓ０表