2022-2023學(xué)年湖南省益陽市東坪中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

2022-2023學(xué)年湖南省益陽市東坪中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.復(fù)數(shù)

(是虛數(shù)單位的虛部是（

）

A．

B．

C．

D．

參考答案：A，所以虛部是，選A.2.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》里有一道關(guān)于玉石的問題：“今有玉方一寸，重七兩；石方一寸，重六兩.今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（兩）.問玉、石重各幾何？”如圖所示的程序框圖反映了對此題的一個求解算法，運行該程序框圖，則輸出的，分別為（

）A．90，86

B．94，82

C.98，78

D．102，74參考答案：C3.已知Rt△ABC，兩直角邊AB=1，AC=2，D是△ABC內(nèi)一點，且∠DAB=60°，設(shè)=λ+μ（λ，μ∈R），則=（）A． B． C．3 D．2參考答案：A【考點】平面向量的基本定理及其意義．【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，分別寫出B、C點坐標(biāo)，由于∠DAB=60°，設(shè)D點坐標(biāo)為（m，），由平面向量坐標(biāo)表示，可求出λ和μ．【解答】解：如圖以A為原點，以AB所在的直線為x軸，以AC所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則B點坐標(biāo)為（1，0），C點坐標(biāo)為（0，2），∠DAB=60°，設(shè)D點坐標(biāo)為（m，），=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）?λ=m，μ=，則=．故選：A4.已知點在拋物線上，那么點到點的距離與點到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點的坐標(biāo)為．參考答案：拋物線的焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為。，過點P做準(zhǔn)線的垂線PE，則，所以,當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，最小，此時,所以，即.5.在區(qū)間[﹣1，1]上隨機取一個數(shù)k，使直線y=k（x+2）與圓相交的概率為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】幾何概型．【分析】利用圓心到直線的距離小于等于半徑可得到直線與圓相交，可求出滿足條件的k，最后根據(jù)幾何概型的概率公式可求出所求．【解答】解：圓x2+y2=1的圓心為（0，0）圓心到直線y=k（x+2）的距離為要使直線y=k（x+2）與圓x2+y2=1相交，則解得﹣＜k＜∴在區(qū)間[﹣1，1]上隨機取一個數(shù)k，使直線y=k（x+2）與圓x2+y2=1有公共點的概率為P==故選C．6.已知集合，，則

(

)A．{｜0＜＜}B.{｜＜＜1}C.{｜0＜＜1}D.{｜1＜＜2}參考答案：B7.二項式展開式中的常數(shù)項是A．180

B．90

C．45

D．360參考答案：A8.對于平面上點P和曲線C，任取C上一點Q，若線段PQ的長度存在最小值，則稱該值為點P到曲線C的距離，記作，若曲線C是邊長為6的等邊三角形，則點集所表示的圖形的面積為（

）A.36 B. C. D.參考答案：D【分析】畫出點集S={P|d（P，l）≤1}所表示圖形，分別求出各部分圖形的面積，作和得答案.【詳解】點集S={P|d（P，l）≤1}所表示圖形如圖中的陰影部分所示：其中三個頂點處的扇形正好是一個半徑為1的圓，其面積為，等邊三角形ABC外的三個矩形面積為6，等邊三角形ABC內(nèi)的部分面積為-=18-故面積和為，故選D.【點睛】本題考查曲線與方程，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，關(guān)鍵是對題意的理解，是中檔題．9.祖暅?zhǔn)悄媳背瘯r代的偉大科學(xué)家，5世紀(jì)末提出體積計算原理，即祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”．意思是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任何一個平面所截，如果截面面積都相等，那么這兩個幾何體的體積一定相等．現(xiàn)有以下四個幾何體：圖①是從圓柱中挖出一個圓錐所得的幾何體；圖②、圖③、圖④分別是圓錐、圓臺和半球，則滿足祖暅原理的兩個幾何體為A.①②

B．①③

C．②④ D．①④參考答案：D10.雙曲線的左右焦點分別是，點在其右支上，且滿足,則的值是

A.8056

B.8048

C.8056

D.8048參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)分別為橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，若，則點的坐標(biāo)是

參考答案：12.為了了解某地區(qū)高三學(xué)生的身體發(fā)育情況，抽查了該地區(qū)100名年齡為17.5歲至18歲的男生的體重情況，并將統(tǒng)計結(jié)果畫成頻率分布直方圖（如圖），則此100名男生中體重在kg的共有

人。參考答案：9，3013.對于滿足的實數(shù)，使恒成立的取值范圍是

參考答案：原不等式等價為，即，所以，令，則函數(shù)表示直線，所以要使，則有，即且，解得或，即不等式的解析為.14.已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，則。參考答案：315.函數(shù)f（x）=（2x﹣1）+sin（2x﹣1）的圖象的一個對稱中心的坐標(biāo)是．（只需要寫出一個對稱中心的坐標(biāo)）參考答案：（，0）【考點】正弦函數(shù)的圖象．【分析】令2x﹣1=t，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為g（t）=t+sint，根據(jù)g（t）的奇偶性得出對稱中心．【解答】解：令2x﹣1=t，則f（x）=g（t）=t+sint，∴g（﹣t）=﹣t+sin（﹣t）=﹣t﹣sint=﹣g（t），∴g（t）是奇函數(shù)，g（t）關(guān)于（0，0）對稱，令t=2x﹣1=0，解得x=．∴f（x）的一個對稱中心為（，0）．故答案為：（，0）．16.（5分）已知函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=f（x）+1，當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=|3x﹣1|﹣1，若對任意實數(shù)x，都有f（x+a）＜f（x）成立，則實數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：（﹣∞，﹣）∪（﹣，﹣）考點： 抽象函數(shù)及其應(yīng)用．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 先把絕對值函數(shù)化為分段函數(shù)，再根據(jù)圖象的平移得到函數(shù)f（x）的圖象，觀察函數(shù)的圖象，即可求出a的范圍．解答： ∵x∈[0，1]時，f（x）=|3x﹣1|﹣1，∴當(dāng)x∈[0，]時，f（x）=﹣3x，x∈（，1]時，f（x）=3x﹣2，由f（x+1）=f（x）+1，可得到f（x）大致圖形為，如圖所示由圖可以看出，當(dāng)x=時，即D點．若a≥0，則f（+a）≥f（），不滿足題意．所以a＜0．由圖中知，比D小的為C左邊的區(qū)域，且不能為A點．C點為f（﹣），此時a=﹣．所以a的范圍是（﹣∞，﹣）∪（﹣，﹣）故答案為：（﹣∞，﹣）∪（﹣，﹣）點評： 本題考查了分段函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及含有參數(shù)的取值范圍，關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想，屬于難題．17.設(shè)數(shù)列的前項和為,若,N,則數(shù)列的前項和為

.

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓C：的離心率為，左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，拋物線的焦點F恰好是該橢圓的一個頂點．

(I)求橢圓C的方程；

(II)已知圓M：的切線l與橢圓相交于A、B兩點，那么以AB為直徑的圓是否經(jīng)過定點，如果是，求出定點的坐標(biāo)，如果不是，請說明理由。參考答案：略19.（本小題滿分14分）已知函數(shù).（1）若對都成立，求的取值范圍；（2）已知為自然對數(shù)的底數(shù)，證明：N，.參考答案：（1）；（2）證明見解析.試題分析：（1）先求函數(shù)的定義域，再對函數(shù)求導(dǎo)，進而對的取值范圍討論確定函數(shù)在上的單調(diào)性，即可得的取值范圍；（2）先結(jié)合（1），可知當(dāng)時，對都成立，進而可證，化簡，即可證，再結(jié)合（1），可知當(dāng)時，對都成立，進而可證，化簡，即可證.試題解析：（1）解：∵，其定義域為,∴.

…………1分①當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時，，不符合題意.…2分②當(dāng)時，令，得，，當(dāng)時，，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時，，不符合題意. …………3分③當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時，，符合題意.……4分④當(dāng)時，令，得，，當(dāng)時，，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時，，符合題意.……5分綜上所述，的取值范圍為.

…………6分（2）證明：由（1）可知，當(dāng)時，對都成立，即對都成立.

…………7分∴.………………8分即.由于N，則.

…………9分∴.

∴.

…………10分由（1）可知，當(dāng)時，對都成立，即對都成立.

…………11分∴.

…………12分即.得由于N，則.…………13分∴.∴.

…………14分∴.考點：1、用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；2、參數(shù)的取值范圍；3、用導(dǎo)數(shù)證明不等式；4、放縮法.20.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，點P（x，y）在曲線C：為參數(shù)，θ∈R）上運動．以O(shè)x為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為．（Ⅰ）寫出曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）若直線l與曲線C相交于A、B兩點，點M在曲線C上移動，試求△ABM面積的最大值．參考答案：【考點】簡單曲線的極坐標(biāo)方程．【專題】計算題．【分析】（1）先將原極坐標(biāo)方程利用三角函數(shù)的和角公式后再化成直角坐標(biāo)方程，再利用消去參數(shù)θ得到曲線C的直角坐標(biāo)方程．（2）欲求△ABM面積的最大值，由于AB一定，故只要求AB邊上的高最大即可，根據(jù)平面幾何的特征，當(dāng)點M在過圓心且垂直于AB的直線上時，距離AB最遠(yuǎn)，據(jù)此求面積的最大值即可．【解答】解：（1）消去參數(shù)θ，得曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程：（x﹣1）2+y2=1．由得：ρcosθ﹣ρsinθ=0，即直線l的直角坐標(biāo)方程為：x﹣y=0．（2）圓心（1，0）到直線l的距離為，則圓上的點M到直線的最大距離為（其中r為曲線C的半徑），．設(shè)M點的坐標(biāo)為（x，y），則過M且與直線l垂直的直線l'方程為：x+y﹣1=0，則聯(lián)立方程，解得，或，經(jīng)檢驗舍去．故當(dāng)點M為時，△ABM面積的最大值為（S△ABM）max=．【點評】本題考查點的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，以及利用平面幾何知識解決最值問題．利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，進行代換即得．21.

如圖，ABCD是正方形空地，正方形的邊長為30m，電源在點P處，點P到邊AD、AB的距離分別為9m、3m，某廣告公司計劃在此空地上豎一塊長方形液晶廣告屏幕MNEF，MN：NE=16：9，線段MN必須過點P，滿足M、N分別在邊AD、AB上，設(shè)，液晶廣告屏幕MNEF的面積為

（I）求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出該函數(shù)的定義域；

（II）當(dāng)x取何值時，液晶廣告屏幕MNEF的面積S最小？

參考答案：解：（I）如圖，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)由已知有又MN過點D時，x最小值為10，

…………2分

…………5分定義域為[10，30]

…………6分

（II）

…………7分令，當(dāng)關(guān)于x為減函數(shù)；當(dāng)時，關(guān)于為增函數(shù)

…………11分時，S取得最小值

…………11分答：當(dāng)AN長為（m）時，液晶廣告屏幕MNEF的面積S最小