學(xué)案1任意角和弧度制

學(xué)案1任意角和弧度制1任意角和弧度制（1）了解任意角的概念和弧度制的概念.（2）能進(jìn)行弧度與角度的互化.2以選擇題或填空題的形式考查任意角的三角函數(shù)的定義、半角或角所處的象限等問(wèn)題.31.角(1)角:角可以看成平面內(nèi)

繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置

到另一個(gè)位置所成的

.旋轉(zhuǎn)開(kāi)始時(shí)的射線叫做角α的

,旋轉(zhuǎn)終止時(shí)的射線叫做角α的

,射線的端點(diǎn)叫做角α的

.2.角的分類(lèi):角分

、

、

（按角的旋轉(zhuǎn)方向）.3.在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角一條射線旋轉(zhuǎn)圖形始邊終邊頂點(diǎn)正角零角負(fù)角4（1）象限角:角的頂點(diǎn)在原點(diǎn),始邊在

上,角的終邊在第幾象限,就說(shuō)這個(gè)角是

.（2）象限界角:若角的終邊在

上,就說(shuō)這個(gè)角不屬于任何象限,它叫

.（3）與角α終邊相同的角的集合:

.4.弧度制（1）1弧度的角:叫

做1弧度的角.

x軸的正半軸第幾象限角坐標(biāo)軸象限界角{β|β=k·360°+α,k∈Z}長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角5（2）規(guī)定:正角的弧度數(shù)是一個(gè)

,負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)

,零角的弧度數(shù)是

.|α|=

(l是以角α作為圓心角時(shí)所對(duì)圓弧的長(zhǎng),r為半徑).（3）用“弧度”做單位來(lái)度量角的制度叫做弧度制.比值lr與所取的r的大小

,僅與

有關(guān).（4）弧度與角度的換算:360°=

弧度;180°=

弧度.（5）弧長(zhǎng)公式:

,扇形的面積公式:S扇形=

=

.正數(shù)負(fù)數(shù)0無(wú)關(guān)角的大小2ππ6考點(diǎn)1象限角、三角函數(shù)值符號(hào)的判斷(1)如果點(diǎn)P(sinθ·cosθ,2cosθ)位于第三象限，試判斷角θ所在的象限；(2)若θ是第二象限角,則的符號(hào)是什么?7【分析】(1)由點(diǎn)P所在的象限,知道sinθ·cosθ,2cosθ的符號(hào),從而可求sinθ與cosθ的符號(hào).(2)由θ是第二象限角,可求cosθ,sin2θ的范圍,進(jìn)而把cosθ,sin2θ看作一個(gè)用弧度制的形式表示的角,并判斷其所在u的象限,從而sin(cosθ),cos(sin2θ)的符號(hào)可定.8【解析】(1)∵點(diǎn)P(sinθ·cosθ,2cosθ)位于第三象限,∴sinθ·cosθ<0,2cosθ<0,即sinθ>0cosθ<0,∴θ為第二象限角.即角θ在第二象限.(2)∵2kπ+<θ<2kπ+π(k∈Z),∴-1<cosθ<0,4kπ+π<2θ<4kπ+2π,-1≤sin2θ<0.∴sin(cosθ)<0,cos(sin2θ)>0,∴<0,∴的符號(hào)是負(fù)號(hào).9

【評(píng)析】(1)熟記各個(gè)三角函數(shù)在每個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)是關(guān)鍵.(2)判斷三角函數(shù)值的符號(hào)就是要判斷角所在的象限.(3)對(duì)于已知三角函數(shù)式的符號(hào)判斷角所在象限,可先根據(jù)三角函數(shù)式的符號(hào)確定三角函數(shù)值的符號(hào),再判斷角所在象限.10若角θ的終邊與的終邊相同,則在［0,2π)內(nèi)終邊與角的終邊相同的是______.11【解析】

(2)∵θ=π+2kπ(k∈Z),∴=+kπ(k∈Z).依題意,依次令k=0,1,2得=12考點(diǎn)2弧長(zhǎng)與扇形的面積已知扇形的周長(zhǎng)為4cm,當(dāng)它的半徑和圓心角各取什么值時(shí),扇形面積最大?并求出這個(gè)最大面積.【分析】利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式,可以把扇形的面積表示成圓心角的三角函數(shù),或表示成半徑的函數(shù),進(jìn)而求解.13【解析】解法一:設(shè)扇形的圓心角為α(0<α<2π),半徑為r,面積為S,弧長(zhǎng)為l,則有l(wèi)=αr.由題意有αr+2r=4,得r=(cm),∴S=當(dāng)且僅當(dāng)α=,即α=2時(shí)取等號(hào),此時(shí)r==1(cm).故當(dāng)半徑r=1cm,圓心角為2弧度時(shí),扇形面積最大,其最大值為1cm2.14解法二:設(shè)扇形的圓心角為α(0<α<2π),半徑為r,面積為S,則扇形的弧長(zhǎng)為rα,由題意有2r+rα=4α=.∴S=αr2=××r2=2r-r2=-(r-1)2+1,∴r=1(cm)時(shí),S有最大值1(cm2),此時(shí)α==2(弧度),故當(dāng)半徑為1cm,圓心角為2弧度時(shí),扇形面積最大,其最大值為1cm2.15【評(píng)析】扇形面積的公式是圓周長(zhǎng)公式C=2πr和圓面積公式S=πr2,當(dāng)用圓心角的弧度數(shù)α代替2π時(shí),即可得到一般弧長(zhǎng)和扇形面積公式l=αr,S=αr2.16若一個(gè)扇形的周長(zhǎng)與面積的數(shù)值相等，則該扇形所在圓的半徑不可能等于（）A.5B.2C.3D.417【解析】181.［2011年高考課標(biāo)全國(guó)卷］已知角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y=2x上，則cos2θ=（）A.-B.-C.D.2.［2010年高考全國(guó)卷Ⅰ］記cos（-80°)=k,那么tan100°=