第二章圓錐曲線與方程一

一.直線與圓錐曲線一般有哪幾種位置關(guān)系？相交，相切，相離二.問題一：過定點P（0，－1）的直線l與下列曲線C只有一個公共點，分別求直線方程。1.

x2＋2y2＝1

2.

2x2－y2＝13.

y2＝4x直線與圓錐曲線的位置關(guān)系變式：直線y＝kx－1與雙曲線2x2－y2＝1的右支交于不同兩點，則k的范圍為

.(2k2+1)x2－4kx＋1=0△＝8k2－4＝02

22

2或-k

=(2－k2)x2＋2kx－2=02

2

y

=

kx

-1x

+

2

y

=

1消y后由1

.設(shè)l方程為y＝kx－1 2

.設(shè)l方程為y＝kx－12l

方程為:y

=–2

x

-12k＝

–2

或–2

-

k

2

?

0或2－k2＝0D

=16

-

4k

2

=

0l

方程為:y

=

–2x

-1y

=

–

2x

-12

2

y

=

kx

-12x

-

y

=

1消y后由當(dāng)l斜率不存在時不滿足題意.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系k

2?

0D

=

16k

+16

=

0k

=-1或k=0k2x2－2（k＋2）x＋1＝03.（1）當(dāng)l斜率不存在時x＝0與拋物線y2＝4x只有一個公共點,滿足條件。（2）若l斜率存在可設(shè)方程為y＝kx－12

y

=

kx

-1y

=

4x消y后由＝0或k2l

方程為:x＝0或y＝－x－1或y＝－1直線與圓錐曲線的位置關(guān)系得:2

<k

<2直線與圓錐曲線的位置關(guān)系變式1：直線y＝kx－1與雙曲線2x2－y2＝1的右支交于不同兩點，則k的范圍為

.思路:消y后得(2－k2)x2＋2kx－2=0------(1)方程（1）有兩不等的正根

2

-

k

2

?

02D

=16

-

4k

>

01

2x

+

x

=

-

2k

>

02

-

k

21

2

x

x2

-

k

2=

-2

>

0位置關(guān)系問題有何啟發(fā)斜率是否存在a=0a≠0>0=0<0相

交相

切相

離至多一個交點數(shù)形結(jié)合?。ɑ騧y2＋ny＋p＝0）ax2+bx+c=0解的問題

Ax

+By

+C

=0解組

f

(x,

y)

=

0：問題2:設(shè)雙曲線C

與直線l：x＋y＝－12x2a2

-

y

=1(a

>

0)相交于兩個不同的點A、B（1）是否存在a，使得|AB|＝2（2）是否存在a使得線段AB的中點為M(－2，1).（3）是否存在a，使得OA⊥OB.求a的值.12PAPB

5（4）若直線l與y軸的交點為P，且

=，6.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系yOBA（1）是否存在a，使得|AB|＝2分析：聯(lián)立方程組消y后得：(1－a2)x2－2a2x－2a2＝0解得：a2＝

1

或32

2注意：檢驗6直線與圓錐曲線的位置關(guān)系=

2

6|1-

a2

|4a2

(2

-

a2

)|

AB

|=

2yxPBA

OM（2）是否存在a使得線段AB的中點為M（－2，1）分析：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)消y后得：(1－a2)x2－2a2x－2a2＝0a2=

-2x

+

x

1 2

=1-

a222解得：a

=2注意：檢驗下1下2直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（2）是否存在a使得線段AB的中點為M（－2，1）點差法：分析：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)注意：檢驗1221

2+

y

)=

0y

-

yx

-

x21

2

1(x

+x

)-a

(

y—

4＋2

a2＝0解得：a2

=2yxOPBMA2

22

212

22

2-

a

y2

=

ax2=

a-

a

y1xOA

^

OB

OA OB

=

0設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)x1

x2

+

y1

y2

=

0-2a2x1

x2

=21-

a注意：檢驗直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(3)

是否存在a，使得OA⊥OByxOBA消y后得：(1－a2)x2－2a2x－2a2＝022a2x1

+

x2

=

1-

ay1

y2

=

(-x1

-1) (-x2

-1)=

x1

x2

+(x1

+

x2

)

+1＝1-2a21-

a2+1

=

013解得：a2

=xOPBA求a的值12PAyPB

5

（4）若直線l與y軸的交點為P，且

=

，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系有何啟發(fā)2|

AB

|=

1+

kDk

2|

a

|1

D|AB

|=

1+|

m

|(x

-

x

)2

+(

y

-

y

)21

2

1

2|AB|＝=

(1+

k

2

)(x

-

x

)21

222

1

2

0y

+

yy

=x

+

xx0

=

1

2

AB的中點Ax0

+

By0

+

C

=

0x0

=

-2ab韋達定理相交兩點1,

1

1

1A(x y

),B(x

,y

)

Ax

+By

+C

=0

解組

f

(x,

y)

=

0（或my2＋ny＋p＝0）ax2+bx+c=0解x1，x2注意對判別式的檢驗三隨堂練習(xí)若直線l過點（3，0），與雙曲線4x2－9y2＝36只有一個公共點，則這樣的直線有

3

條x2

y2斜率為3的直線交橢圓

25

+

9

=1

于A，B兩點，3x+25y=0（橢圓內(nèi)部）則線段AB的中點M的軌跡方程為

設(shè)拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線與x軸交于點Q，若過點Q的直線l與拋物線有公共點，則直線l的斜率取值范圍是 [-1,1]

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系四課堂小結(jié)從代數(shù)角度一般如何處理直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題？應(yīng)注意哪幾點？這節(jié)課用到哪些數(shù)學(xué)思想方法?直線與圓錐曲線的位置關(guān)系延伸與拓展交橢圓于A，B兩點(1)求橢圓的離心率OA

+

OB與a

=(3,