第九章質(zhì)點動力學(xué)基本方程

1第一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期四動力學(xué)的抽象模型質(zhì)點：具有一定質(zhì)量而幾何形狀和尺寸大小可忽略不計的物體。質(zhì)點系：由幾個或無限個相互有聯(lián)系的質(zhì)點組成的系統(tǒng)。質(zhì)點動力學(xué)質(zhì)點系動力學(xué)剛體：特殊質(zhì)點系，其中任意兩點之間的距離保持不變。9.1動力學(xué)的任務(wù)動力學(xué)研究作用于物體上的力和物體運動狀態(tài)變化之間的關(guān)系。動力學(xué)的內(nèi)容極為豐富，并且隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展在不斷發(fā)展。

動力學(xué)在工程技術(shù)中的應(yīng)用也極為廣泛,例如各種機器、機構(gòu)等的設(shè)計、航空航天技術(shù)等，都要用到動力學(xué)的知識。第二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期四9.2動力學(xué)的基本定律

質(zhì)點動力學(xué)的基礎(chǔ)是三個基本定律，這些定律是牛頓(1642—1727)在總結(jié)前人，特別是伽利略研究成果的基礎(chǔ)上提出來的,稱為牛頓三定律。牛頓第一定律:質(zhì)點如不受力作用,則保持其運動狀態(tài)不變,即保持靜止或做勻速直線運動。慣性:不受力作用（包括受平衡力系作用）的質(zhì)點，其運動狀態(tài)保持不變的性質(zhì)稱為慣性。勻速直線運動稱為慣性運動。第三頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期四

第二定律(力與加速度之間的關(guān)系的定律)：質(zhì)點因受力作用而產(chǎn)生加速度，其大小與作用于質(zhì)點的力的大小成正比而與質(zhì)量成反比。或者質(zhì)點的質(zhì)量與加速度的乘積，等于作用于質(zhì)點的力的大小，加速度的方向與力的方向相同。即

第二定律建立了質(zhì)點的質(zhì)量、作用于質(zhì)點的力和質(zhì)點運動加速度三者之間的關(guān)系，并由此可直接導(dǎo)出質(zhì)點的運動微分方程，它是解決動力學(xué)問題最根本的依據(jù)。上式表明，質(zhì)點的質(zhì)量越大，其運動狀態(tài)越不容易發(fā)生改變，也就是質(zhì)點的慣性越大。因此，質(zhì)量是物體慣性的度量。第四頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期四

當質(zhì)點同時受到幾個力的作用時，式中的應(yīng)為此匯交力系的合力，此時，第二定律可表示為：

在國際單位制(SI)中，力的單位是牛頓。質(zhì)量為1kg的質(zhì)點，獲得1m/s2的加速度時，作用于該質(zhì)點的力為1N(牛頓)，即

第五頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期四牛頓和達因的換算單位是

第三定律(作用與反作用定律)：兩個物體間的作用力與反作用力總是大小相等、方向相反、沿著同一直線，且同時分別作用在兩個物體上。第三定律說明了力的產(chǎn)生是由于兩個物體相互作用而引起的。在精密儀器工業(yè)中，也用厘米克秒制(CGS)。力的單位是dyn(達因)，即第六頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期四9.3質(zhì)點運動微分方程9.3.1質(zhì)點運動微分方程三種表示法設(shè)質(zhì)點M的質(zhì)量為m，在諸力F1,F2,…,Fn的作用下沿曲線運動，如圖所示。質(zhì)點動力學(xué)基本方程為而故有第七頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期四

上式稱為質(zhì)點運動微分方程的矢量式。將上式投影到直角坐標軸上，有

稱為直角坐標形式的質(zhì)點運動微分方程。將矢量形式的質(zhì)點運動微分方程投影到自然坐標軸上，有稱為自然坐標形式的質(zhì)點運動微分方程。第八頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期四9.3.2質(zhì)點動力學(xué)的基本問題1．第一類問題已知質(zhì)點的運動，求作用于質(zhì)點上的力。求解這類問題實際上是一個求導(dǎo)數(shù)的運算。求解這類動力學(xué)問題的步驟可大致歸納如下：(1)選取研究對象，畫受力圖；(2)分析運動，根據(jù)給定的條件，分析某瞬時的運動情況；(3)根據(jù)研究對象的運動情況，列質(zhì)點的運動微分方程；(4)求解未知量

2．第二類問題已知作用于質(zhì)點上的力，求質(zhì)點的運動。求解這類問題實際上是一個求積分的運算，積分時出現(xiàn)的積分常數(shù)必須由質(zhì)點運動的初始條件(質(zhì)點的初位置和初速度)來確定求解第二類問題時，求解的步驟和第一類問題求解的步驟基本相同。3.混合問題：第一類與第二類問題的混合.第九頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期四【例9-1】質(zhì)量為m

的質(zhì)點M在坐標平面Oxy內(nèi)運動，已知其運動方程為x=acosωt，y=bsinωt，其中a、b和ω均為常數(shù)，求質(zhì)點M所受到的力。

解：應(yīng)用直角坐標形式的質(zhì)點運動微分方程，可得質(zhì)點所受的力在x、y軸上的投影的代數(shù)和分別為第十頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期四【例9-2】質(zhì)量為1kg的重物M，系于長度為l=0.3m的線上，線的另一端固定于天花板上的D點，重物在水平面內(nèi)做勻速圓周運動而使懸線成為一圓錐面的母線，且懸線與鉛直線間的夾角恒為60o，如圖所示，試求重物的速度和線上的張力。

解：選擇重物M為研究對象，受力分析如圖所示。M的運動軌跡為圓周，選用自然坐標形式的質(zhì)點運動微分方程.第十一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期四

解：選擇重物M為研究對象，受力分析如圖所示。M的運動軌跡為圓周，選用自然坐標形式的質(zhì)點運動微分方程.b

聯(lián)立求解，可得nb第十二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期四【例9-3】如圖所示的單擺，擺長為l，擺錘的質(zhì)量為m，初始時將擺錘拉到最大偏角，然后無初速度釋放，試求單擺的運動方程。

解：選擇擺錘為研究對象，分析受力如圖所示。擺錘的運動軌跡為圓周，選用自然坐標形式的質(zhì)點運動微分方程

而，，代入上式，可得，

又因為，上式可表示為，上面的運動微分方程可寫為由于第十三頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期四引入，則上式可表寫為它的通解為由初始條件：，，可得，

，

這樣單擺的運動方程可表示為

這是一個周期函數(shù)，周期為

第十四頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期四【例9-4】試求脫離地球引力場的宇宙飛船所需的最小初速度。

解：取地球中心O為坐標原點，坐標軸x垂直向上。不妨設(shè)地球的半徑為R，地球的質(zhì)量為M，飛船的質(zhì)量為m。取飛船A為研究對象，受力分析如圖所示。F是地球?qū)︼w船的引力，可表示為在地球的表面，F(xiàn)為飛船的重力，即有

可得即第十五頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期四飛船的運動微分方程可表示為

即由于，代入上式，可得兩邊同時積分，可得

欲使飛船脫離地球引力范圍，則當x→∞

時，v≥0。取v=0，R=6370km，g=9.8m/s2，可得第十六頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期四

例9-5粉碎機滾筒半徑為Ｒ，繞通過中心的水平軸勻速轉(zhuǎn)動，筒內(nèi)鐵球由筒壁上的凸棱帶著上升。為了使小球獲得粉碎礦石的能量，鐵球應(yīng)在時才掉下來。求滾筒每分鐘的轉(zhuǎn)數(shù)n。第十七頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期四解：研究鐵球已知:勻速轉(zhuǎn)動。時小球掉下。求:轉(zhuǎn)速n.第十八頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期四例9-6：

質(zhì)量為的質(zhì)點m，離地面為h，以初速度v0作豎直上拋運動。設(shè)不計空氣阻力，試分別用不同坐標系，建立質(zhì)點運動微分方程。第十九頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期四解：不計空氣阻力，質(zhì)點只在重力作用下作直線運動。（a）質(zhì)點運動微分方程第二十頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期四解：不計空氣阻力，質(zhì)點只在重力作用下作直線運動。（b）質(zhì)點運動微分方程第二十一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期四解：不計空氣阻力，質(zhì)點只在重力作用下作直線運動。（c）質(zhì)點運動微分方程第二十二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期四解：不計空氣阻力，質(zhì)點只在重力作用下作直線運動。（d）質(zhì)點運動微分方程第二十三頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期四例9-7第二十四頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期四例9-8：如圖所示，在三棱體的粗糙斜面上放有重為的物體，三棱體以勻加速度沿水平方向運動。為使物件在三棱體