第五講線性代數(shù)中的數(shù)值計算問題

第五講線性代數(shù)中的數(shù)值計算問題第一頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期四【引例】求下列三階線性代數(shù)方程組的近似解MATLAB程序為：A=[2-54;15-2;-124]b=[5;6;5]x=A\bx=2.76741.18601.3488第二頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期四在MATLAB命令窗口，先輸入下列命令構(gòu)造系數(shù)矩陣A和右端向量b：A=[2-54;15-2;-124]A=2-5415-2-124b=[5;6;5]b=565然后只需輸入命令x=A\b即可求得解x：x=A\bx=2.76741.18601.3488第三頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期四一、特殊矩陣的實現(xiàn)第四頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期四1.零矩陣:所有元素值為零的矩陣稱為零矩陣。零矩陣可以用zeros函數(shù)實現(xiàn)。zeros是MATLAB內(nèi)部函數(shù)，使用格式如下：zeros(m)：產(chǎn)生m階零矩陣；zeros(m,n)：產(chǎn)生m*n階零矩陣，當(dāng)m=n時同上；zeros(size(A))：產(chǎn)生與矩陣A同樣大小的零矩陣。一、特殊矩陣的實現(xiàn)常見的特殊矩陣有零矩陣、幺矩陣、單位矩陣、三角形矩陣等，這類特殊矩陣在線性代數(shù)中具有通用性；還有一類特殊矩陣在專門學(xué)科中有用，如有名的希爾伯特(Hilbert)矩陣、范德蒙(Vandermonde)矩陣等。第五頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期四2.幺矩陣:所有元素值為1的矩陣稱為幺矩陣。幺矩陣可以用ones函數(shù)實現(xiàn)。它的調(diào)用格式與zeros函數(shù)一樣?！纠?】試用ones分別建立3*2階幺矩陣、和與前例矩陣A同樣大小的幺矩陣。用ones(3,2)建立一個3*2階幺陣：ones(3,2)%一個3*2階幺陣ans=111111一、特殊矩陣的實現(xiàn)第六頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期四3.單位矩陣:主對角線的元素值為1、其余元素值為0的矩陣稱為單位矩陣。它可以用MATLAB內(nèi)部函數(shù)eye建立，使用格式與zeros相同。4.數(shù)量矩陣:主對角線的元素值為一常數(shù)d、其余元素值為0的矩陣稱為數(shù)量矩陣。顯然，當(dāng)d=1時，即為單位矩陣，故數(shù)量矩陣可以用eye(m)*d或eye(m,n)*d建立。一、特殊矩陣的實現(xiàn)第七頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期四一、特殊矩陣的實現(xiàn)5.對角陣:對角線的元素值為常數(shù)、其余元素值為0的矩陣稱為對角陣。我們可以通過MATLAB內(nèi)部函數(shù)diag，利用一個向量構(gòu)成對角陣；或從矩陣中提取某對角線構(gòu)成一個向量。使用格式為diag(V)和diag(V,k)兩種。設(shè)V為具有m個元素的向量，diag(V)將產(chǎn)生一個m階對角陣，其主對角線的元素值即為向量的元素值；diag(V,k)將產(chǎn)生一個n(n=m+|k|，k為一整數(shù))階對角陣，其第k條對角線的元素值即為向量的元素值。注意：當(dāng)k＞0，則該對角線位于主對角線的上方第k條；當(dāng)k＜0，該對角線位于主對角線的下方第|k|條；當(dāng)k=0，則等同于diag(V)。用diag建立的對角陣必是方陣。第八頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期四一、特殊矩陣的實現(xiàn)【例2】已知向量v，試建立以向量v作為主對角線的對角陣A；建立分別以向量v作為主對角線兩側(cè)的對角線的對角陣B和C。MATLAB程序如下：v=[1;2;3];%建立一個已知的向量vA=diag(v)A=100020003B=diag(v,1)B=0100002000030000C=diag(v,-1)C=0000100002000030第九頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期四6.從矩陣中提取某對角線我們也可以用diag從矩陣中提取某對角線構(gòu)成一個向量。設(shè)A為m*n階矩陣，diag(A)將從矩陣A中提取其主對角線產(chǎn)生一個具有min(m,n)個元素的向量。diag(A,k)的功能是：當(dāng)k＞0，則將從矩陣A中提取位于主對角線的上方第k條對角線構(gòu)成一個具有n-k個元素的向量；當(dāng)k＜0，則將從矩陣A中提取位于主對角線的下方第|k|條對角線構(gòu)成一個具有m+k個元素的向量；當(dāng)k=0，則等同于diag(A)。一、特殊矩陣的實現(xiàn)第十頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期四【例3】已知矩陣A，試從矩陣A分別提取主對角線及它兩側(cè)的對角線構(gòu)成向量B、C和D。MATLAB程序如下：A=[123;456];%建立一個已知的23階矩陣A%按各種對角線情況構(gòu)成向量B、C和DB=diag(A)B=15C=diag(A,1)C=26D=diag(A,-1)D=4一、特殊矩陣的實現(xiàn)第十一頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期四7.上三角陣：使用格式為triu(A)、triu(A,k)設(shè)A為m*n階矩陣，triu(A)將從矩陣A中提取主對角線之上的上三角部分構(gòu)成一個m*n階上三角陣；triu(A,k)將從矩陣A中提取主對角線第|k|條對角線之上的上三角部分構(gòu)成一個m*n階上三角陣。注意：這里的k與diag(A,k)的用法類似，當(dāng)k＞0，則該對角線位于主對角線的上方第k條；當(dāng)k＜0，該對角線位于主對角線的下方第|k|條；當(dāng)k=0，則等同于triu(A)一、特殊矩陣的實現(xiàn)第十二頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期四例4】試分別用triu(A)、triu(A,1)和、triu(A,-1)從矩陣A提取相應(yīng)的上三角部分構(gòu)成上三角陣B、C和D。MATLAB程序如下：A=[123;456;789;987];%構(gòu)成各種情況的上三角陣B、C和DB=triu(A)B=123056009000C=triu(A,1)D=triu(A,-1)一、特殊矩陣的實現(xiàn)第十三頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期四一、特殊矩陣的實現(xiàn)8.下三角陣：使用格式為tril(A)、tril(A,k)tril的功能是從矩陣A中提取下三角部分構(gòu)成下三角陣。用法與triu相同。第十四頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期四9.空矩陣在MATLAB里，把行數(shù)、列數(shù)為零的矩陣定義為空矩陣?？站仃囋跀?shù)學(xué)意義上講是空的，但在MATLAB里確實很有用的。例如A=[0.10.20.3;0.40.50.6];B=find(A>1.0)B=[]這里[]是空矩陣的符號，B=find(A>1.0)表示列出矩陣A中值大于1.0的元素的序號。當(dāng)不能滿足括號中的條件時，返回空矩陣。另外，也可以將空矩陣賦給一個變量，如：B=[]一、特殊矩陣的實現(xiàn)第十五頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期四二、矩陣的特征值與特征向量第十六頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期四對于N階方陣A，所謂A的特征值問題是：求數(shù)λ和N維非零向量x（通常為復(fù)數(shù)），使之滿足下式：A.x=λ*x則稱λ為矩陣A的一個特征值（特征根），而非零向量x為矩陣A的特征值λ所對應(yīng)的特征向量。對一般的N階方陣A，其特征值通常為復(fù)數(shù)，若A為實對稱矩陣，則A的特征值為實數(shù)。二、矩陣的特征值與特征向量第十七頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期四MATLAB提供的內(nèi)部函數(shù)eig可以用來計算特征值與特征向量。eig函數(shù)的使用格式有五種，其中常見的有E=eig(A)、[V,D]=eig(A)和[V,D]=eig(A,’nobalance’)三種，另外兩種格式用來計算矩陣的廣義特征值與特征向量：E=eig(A,B)和[V,D]=eig(A,B)。二、矩陣的特征值與特征向量第十八頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期四(1)E=eig(A)：由eig(A)返回方陣A的N個特征值，構(gòu)成向量E；(2)[V,D]=eig(A)：由eig(A)返回方陣A的N個特征值，構(gòu)成N*N階對角陣D，其對角線上的N個元素即為相應(yīng)的特征值，同時將返回相應(yīng)的特征向量賦予N階方陣V的對應(yīng)列，且A、V、D滿足A*V=V*D；(3)[V,D]=eig(A,’nobalance’)：本格式的功能與格式(2)一樣，只是格式(2)是先對A作相似變換(balance)，然后再求其特征值與相應(yīng)的特征向量；而本格式則事先不作相似變換；二、矩陣的特征值與特征向量第十九頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期四【例5】試用格式(1)求下列對稱矩陣A的特征值；用格式(2)求A的特征值和相應(yīng)的特征向量，且驗證之。A=[1.00001.00000.50001.00001.00000.25000.50000.25002.0000];執(zhí)行eig(A)將直接獲得對稱矩陣A的三個實特征值：二、矩陣的特征值與特征向量第二十頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期四eig(A)ans=-0.01661.48012.5365而下列命令則將其三個實特征值作為向量賦予變量E：E=eig(A)E=-0.01661.48012.5365二、矩陣的特征值與特征向量第二十一頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期四三、行列式的值第二十二頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期四MATLAB提供的內(nèi)部函數(shù)det用來計算矩陣的行列式的值。設(shè)矩陣A為一方陣(必須是方陣)，求矩陣A的行列式值的格式為：det(A)。注意：本函數(shù)同樣能計算通過構(gòu)造出的稀疏矩陣的行列式的值。三、行列式的值【例6】利用隨機(jī)函數(shù)產(chǎn)生一個三階方陣A，然后計算方陣之行列式的值。A=rand(3)A=0.95010.48600.45650.23110.89130.01850.60680.76210.8214det(A)第二十三頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期四四、矩陣求逆及其線性代數(shù)方程組求解第二十四頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期四1.矩陣求逆若方陣A,B滿足等式A*B=B*A=I

(I為單位矩陣)則稱A為B的逆矩陣，或稱B為A的逆矩陣。這時A，B都稱為可逆矩陣(或非奇異矩陣、或滿秩矩陣)，否則稱為不可逆矩陣(或奇異矩陣、或降秩矩陣)。四、矩陣求逆及其線性代數(shù)方程組求解第二十五頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期四【例7】試用inv函數(shù)求方陣A的逆陣A-1賦值給B，且驗證A與A-1是互逆的。A=[1-11;5-43;211];B=inv(A)B=-1.40000.40000.20000.2000-0.20000.40002.6000-0.60000.2000A*B=B*Aans=1.00000.00000.00000.00001.00000.00000.00000.00001.0000四、矩陣求逆及其線性代數(shù)方程組求解第二十六頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期四2.矩陣求逆解法利用求系數(shù)矩陣A的逆陣A-1，我們可以得到矩陣求逆解法。對于線性代數(shù)方程組Ax=b，等號兩側(cè)各左乘A-1，有：A-1Ax=A-1b由于A-1A=I，故得：x=A-1b四、矩陣求逆及其線性代數(shù)方程組求解第二十七頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期四【例8】試用矩陣求逆解法求解例7中矩陣A為系數(shù)矩陣的線性代數(shù)方程組Ax=b的解。A=[1-11;5-43;211];b=[2;-3;1];x=inv(A)*bx=-3.80001.40007.2000四、矩陣求逆及其線性代數(shù)方程組求解第二十八頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期四3.直接解法對于線性代數(shù)方程組Ax=b，我們可以運(yùn)用左除運(yùn)算符“\”像解一元一次方程那樣簡單地求解：x=A\b當(dāng)系數(shù)矩陣A為N*N的方陣時，MATLAB會自行用高斯消去法求解線性代數(shù)方程組。若右端項b為N*1的列向量，則x=A\b可獲得方程組的數(shù)值解x（N*1的列向量）；若右端項b為N*M的矩陣，則x=A\b可同時獲得同一系數(shù)矩陣A