第九章數(shù)字濾波器的分類及結(jié)構(gòu)

第九章數(shù)字濾波器的分類及結(jié)構(gòu)第一頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四數(shù)字濾波器的實質(zhì)是用有限精度算法實現(xiàn)的離散時間LSI系統(tǒng)，以完成對信號進行濾波處理的功能。其輸入是一組由模擬信號經(jīng)過抽樣和量化的數(shù)字信號，輸出是經(jīng)過處理的另一組數(shù)字信號。數(shù)字濾波器既可以是一臺由數(shù)字硬件裝配成的用于完成濾波計算功能的專用機，也可以是由通用計算機完成的一組運算程序。本章主要介紹數(shù)字濾波器的分類及結(jié)構(gòu)。第二頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四數(shù)字濾波器的分類數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)的表示方法IIR濾波器的結(jié)構(gòu)FIR濾波器的結(jié)構(gòu)離散時間系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)第三頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四根據(jù)單位沖激響應(yīng)h(n)的時間特性分類：無限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器（IIR）有限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器（FIR）根據(jù)實現(xiàn)方法和形式分類:遞歸型數(shù)字濾波器非遞歸型數(shù)字濾波器根據(jù)頻率特性分類：低通數(shù)字濾波器高通數(shù)字濾波器帶通數(shù)字濾波器帶阻數(shù)字濾波器1.濾波器的分類第四頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四數(shù)字濾波器可以用一個差分方程來描述：由上式可以看出，實現(xiàn)一個數(shù)字濾波器需要幾種基本的運算單元：加法器、單位延遲和常數(shù)乘法器。這些基本的單元可以有兩種表示方法：方框圖法和信號流圖法，因此一個數(shù)字濾波器也可也有兩種表示方法：方框圖法和信號流圖法。2.數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)的表示方法z-1+單位延遲乘常數(shù)相加z-1aa第五頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四考慮如下二階數(shù)字濾波器的信號流圖：x(n)處稱為輸入節(jié)點或源節(jié)點，y(n)處稱為輸出節(jié)點或阱節(jié)點，其余節(jié)點稱為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點。節(jié)點之間用有向支路連接，每個節(jié)點可以有幾條輸入支路和幾條輸出支路，節(jié)點值等于它所有輸入支路的信號之和，而輸入支路的信號值等于這一支路起點處的節(jié)點信號值乘以之路上的傳輸系數(shù)。延遲算子z-1表示單位延遲。2.數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)的表示方法21z-14z-1a2a153x(n)y(n)b0第六頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四源節(jié)點沒有輸入支路，阱節(jié)點沒有輸出支路。如果某節(jié)點有一個輸入，一個或多個輸出，該節(jié)點稱為分支節(jié)點。如果某節(jié)點有兩個或兩個以上的輸入，該節(jié)點稱為相加器。各節(jié)點值為：對分支節(jié)點2有，故2.數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)的表示方法21z-14z-1a2a153x(n)y(n)b0第七頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四IIR濾波器的特點：單位沖激響應(yīng)h(n)是無限長的；系統(tǒng)函數(shù)在有限Z平面上（0<|z|<∞）有極點存在；結(jié)構(gòu)上存在著輸出到輸入的反饋。3.IIR濾波器的結(jié)構(gòu)第八頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四數(shù)字濾波器可用差分方程來描述：也可以用系統(tǒng)函數(shù)來表示：3.IIR濾波器的結(jié)構(gòu)第九頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四表示為兩個系統(tǒng)級聯(lián)的形式：稱為直接Ⅰ型結(jié)構(gòu)。3.IIR濾波器的結(jié)構(gòu)H1(z)H2(z)x(n)y(n)y′(n)z-1-aN-1b1x(n)y′(n)b0z-1z-1b2bM-1bMz-1z-1z-1-a2-a1-aNy(n)第十頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四直接Ⅰ型的變型：3.IIR濾波器的結(jié)構(gòu)H2(z)H1(z)x(n)y(n)y′(n)z-1-aN-1b1x(n)y′(n)b0z-1z-1b2bM-1bMz-1z-1z-1-a2-a1-aNy(n)第十一頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)（典范型）:3.IIR濾波器的結(jié)構(gòu)H2(z)H1(z)x(n)y(n)y′(n)-aN-1b1x(n)y′(n)b0b2bM-1bMz-1z-1z-1-a2-a1-aNy(n)第十二頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四習(xí)題：已知數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)畫出該濾波器的直接型結(jié)構(gòu)。解答：如右圖所示。直接型結(jié)構(gòu)的特點:所需要的延遲單元最少；系統(tǒng)調(diào)整不方便；受有限字長影響較大。3.IIR濾波器的結(jié)構(gòu)-4x(n)z-1z-1y(n)z-1811-25/4-3/41/8第十三頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四對系統(tǒng)函數(shù)H(z)進行因式分解：式中M=M1+2M2,N=N1+2N2。級聯(lián)型結(jié)構(gòu)圖：3.IIR濾波器的結(jié)構(gòu)xk(n)z-1z-1yk(n)β1kβ2kα2kα1k……第十四頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四習(xí)題：已知數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)畫出該濾波器的級聯(lián)型結(jié)構(gòu)。解答：級聯(lián)型結(jié)構(gòu)的特點:所用存儲單元較少；系數(shù)調(diào)整方便，便于準(zhǔn)確實現(xiàn)系統(tǒng)的零極點；受有限字長影響較大。3.IIR濾波器的結(jié)構(gòu)z-1z-1y(n)-1.4-0.81.2x(n)z-1z-1-0.8-0.90.53第十五頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四對系統(tǒng)函數(shù)H(z)進行因式分解：上式中N=N1+2N2。當(dāng)M<N

時，公式中不包含最后一項。當(dāng)M=N時，最后一項變成G0。一般IIR系統(tǒng)皆滿足M<N的條件。當(dāng)M=N時，有式中[(N+1)/2]表示(N+1)/2的整數(shù)部分。當(dāng)N為奇數(shù)時，包含一個一階分式，即有α2k=β2k=0。此即IIR濾波器的并聯(lián)結(jié)構(gòu)。3.IIR濾波器的結(jié)構(gòu)第十六頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四習(xí)題：已知數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)畫出該濾波器的并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。解答：3.IIR濾波器的結(jié)構(gòu)x(n)z-1-0.50.2516z-1z-18y(n)-1620第十七頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四FIR濾波器的特點：單位沖激響應(yīng)h(n)是有限長的；系統(tǒng)函數(shù)在|z|>0處收斂，極點全部在z=0處；結(jié)構(gòu)上不存在輸出到輸入的反饋。4.FIR濾波器的結(jié)構(gòu)第十八頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四數(shù)字濾波器可用一個差分方程來描述：對于FIR濾波器則有：直接型結(jié)構(gòu)：4.FIR濾波器的結(jié)構(gòu)z-1z-1z-1x(n)b(0)y(n)b(1)b(2)b(M)b(M-1)第十九頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四把FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)用二階因子乘積表示：級聯(lián)型結(jié)構(gòu)：x(n)z-1β01y(n)z-1z-1z-1z-1z-1β11β21β02β12β22β0[N/2]β1[N/2]β2[N/2]4.FIR濾波器的結(jié)構(gòu)第二十頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四前已證明，當(dāng)FIR系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)滿足時，該系統(tǒng)具有線性相位。類型Ⅰ濾波器：，且N為奇數(shù)。4.FIR濾波器的結(jié)構(gòu)令m=N-1-n第二十一頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四類型Ⅰ濾波器的結(jié)構(gòu)：x(n)y(n)z-1z-1z-1z-1z-1z-1z-1z-1h(0)h(1)h(2)h[(N-1)/2]h[(N-3)/2]z-1z-14.FIR濾波器的結(jié)構(gòu)第二十二頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四類型Ⅱ濾波器：，且N為偶數(shù)。x(n)y(n)z-1z-1z-1z-1z-1z-1z-1z-1h(0)h(1)h(2)h(N/2-2)z-1z-1z-1h(N/2-1)4.FIR濾波器的結(jié)構(gòu)第二十三頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四類型Ⅲ濾波器：，且N為奇數(shù)。x(n)y(n)z-1z-1z-1z-1z-1z-1z-1-z-1h(0)h(1)h(2)h[(N-3)/2]z-1z-14.FIR濾波器的結(jié)構(gòu)第二十四頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四類型Ⅳ濾波器：，且N為偶數(shù)。x(n)y(n)z-1z-1z-1z-1z-1z-1z-1z-1h(0)h(1)h(2)h(N/2-2)z-1z-1-z-1h(N/2-1)4.FIR濾波器的結(jié)構(gòu)第二十五頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四給定一個FIR系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為h(n),n=0,1,…,N-1,其系統(tǒng)函數(shù)和h(n)的DFT分別為：顯然，H(k)實際上是H(z)在單位圓上的N個值，即H(k)是H(jω)在頻域的抽樣。因此，我們可以用H(k)來表示H(z)，即:4.FIR濾波器的結(jié)構(gòu)第二十六頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四H(z)可看做是兩個子系統(tǒng)級聯(lián)。一個是FIR子系統(tǒng)H1(z)，一個是IIR子系統(tǒng)H2(z)。FIR子系統(tǒng)由N個延時單元組成，系統(tǒng)函數(shù)為H1(z)，該系統(tǒng)在單位圓上有N個等分的零點：頻率響應(yīng)：4.FIR濾波器的結(jié)構(gòu)2π/Nω0“梳狀濾波器”第二十七頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四IIR子系統(tǒng)由N個一階系統(tǒng)并聯(lián)組成，系統(tǒng)函數(shù)為該系統(tǒng)有N

個極點：IIR系統(tǒng)與FIR系統(tǒng)級聯(lián)后，N

個IIR系統(tǒng)在單位圓上的極點正好和FIR系統(tǒng)在單位圓上的零點相互抵消，所以整個系統(tǒng)是FIR系統(tǒng)，稱為FIR系統(tǒng)的頻率抽樣型結(jié)構(gòu)。4.FIR濾波器的結(jié)構(gòu)第二十八頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四4.FIR濾波器的結(jié)構(gòu)x(n)z-1y(n)H(0)H(1)H(k-1)z-1z-1-z-N1/N第二十九頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四頻率抽樣型結(jié)構(gòu)的優(yōu)點：系統(tǒng)在頻率采樣點ω=2πk/N上的響應(yīng)等于H(k)，因此改變H(k)就等于改變了系統(tǒng)的頻率響應(yīng)；只要h(n)的長度N相同，不論頻率響應(yīng)如何，梳狀濾波器以及個N一階網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)相同，便于標(biāo)準(zhǔn)化和模塊化。缺點：穩(wěn)定性差；有限字長效應(yīng)導(dǎo)致零極點不能完全相消，從而造成系統(tǒng)不穩(wěn)定。結(jié)構(gòu)中系數(shù)為復(fù)數(shù)，因此運算量大。利用H(k)的對稱性可以一定程度上降低計算量。4.FIR濾波器的結(jié)構(gòu)第三十頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四快速卷積結(jié)構(gòu)：N≥Nh+Nx-1,N=2m4.FIR濾波器的結(jié)構(gòu)h(n)

Nh點序列X補零N點

DFT運算補零N點

DFT運算N點

IDFT運算x(n)

Nx點序列X(k)H(k)y(n)第三十一頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四一個M階的FIR系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)可以寫作：上式中假定H(z)=B(z)的首項系數(shù)等于1，表示M階FIR系統(tǒng)的第i個系數(shù)，該系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)如下圖：5.離散時間系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)x(n)y(n)z-1z-1z-1p0(n)q0(n)p1(n)q1(n)p2(n)q2(n)pM-1(n)qM-1(n)pM(n)qM(n)-k1-k1-k2-k2z-1-kM-kM第三十二頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四Lattice結(jié)構(gòu)（格型結(jié)構(gòu)）的特點：Lattice結(jié)構(gòu)有M

個參數(shù)，共需2M次乘法，M次延遲。直接型結(jié)構(gòu)有M

個參數(shù)，共需M+1次乘法，M次延遲。5.離散時間系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)x(n)y(n)z-1z-1z-1p0(n)q0(n)p1(n)q1(n)p2(n)q2(n)pM-1(n)qM-1(n)pM(n)qM(n)-k1-k1-k2-k2z-1-kM-kMLattice結(jié)構(gòu)直接型結(jié)構(gòu)z-1z-1z-1x(n)y(n)b(1)b(2)b(M)b(M-1)第三十三頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四信號的傳遞是從左至右，中間沒有反饋回路，所以這是一個FIR系統(tǒng)。5.離散時間系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)x(n)y(n)z-1z-1z-1p0(n)q0(n)p1(n)q1(n)p2(n)q2(n)pM-1(n)qM-1(n)pM(n)qM(n)-k1-k1-k2-k2z-1-kM-kM第三十四頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四信號流圖中的基本單元具有如下關(guān)系：其中：5.離散時間系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)-1與FFT算法中的蝶形單元做比較：z-1pm-1(n)qm-1(n)pm(n)qm(n)-km-km第三十五頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四定義：為輸入端x(n)至第m個基本單元后所對應(yīng)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，

對應(yīng)上端，

對應(yīng)下端。5.離散時間系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)x(n)z-1z-1z-1p0(n)q0(n)p1(n)q1(n)p2(n)q2(n)pm-1(n)qm-1(n)pm(n)qm(n)-k1-k1-k2-k2z-1-kM-kM第三十六頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四如何由給定的系數(shù)b(1),b(2),…,b(M)求出Lattice結(jié)構(gòu)的參數(shù)k1,k2,…,kM

呢？兩端分別除以P0(z)

和Q0(z),得：5.離散時間系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)z-1pm-1(n)qm-1(n)pm(n)qm(n)-kM-kM第三十七頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四由前面的定義可知：，則有歸納得出：5.離散時間系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)第三十八頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四將的定義帶入上式類似的有5.離散時間系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)第三十九頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四可按照如下步驟求出參數(shù)k1,k2,…,kM：步驟1由上述關(guān)系式，首先得到步驟2由kM及系數(shù)求出的系數(shù)

，或者由下式直接求出，那么。步驟3重復(fù)步驟2，即可全部求出。

5.離散時間系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)第四十頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四習(xí)題：一個FIR系統(tǒng)的零點分別在和0.8處，求其Lattice結(jié)構(gòu)。解答：首先寫出系統(tǒng)函數(shù)可知：5.離散時間系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)第四十一頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四因此有：可知：進一步：最后：Lattice結(jié)構(gòu)：5.離散時間系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)x(n)z-1z-1z-10.738498-0.648y(n)-0.648-0.702590.738498-0.70259第四十二頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四5.離散時間系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)z-1pm-1(n)qm-1(n)pm(n)qm(n)-km-kmz-1pm(n)qm(n)pm-1(n)qm-1(n)-kmkm第四十三頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四IIR系統(tǒng)（全極點）的Lattice結(jié)構(gòu)圖：5.離散時間系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)x(n)y(n)z-1pM(n)pM-1(n)p1(n)p0(n)pM-2(n)z-1z-1q1(n)q0(n)qM(n)qM-1(n)pM-2(n)kM-kMk1-k1kM-1-kM-1第四十四頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四令M=1，則：5.離散時間系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)第四十五頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四令M=2，則：5.離散時間系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)第四十六頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四5.離散時間系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)由此類推，若定義：則有：第四十七頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四對比FIR系統(tǒng)與IIR系統(tǒng)：結(jié)論：

參數(shù)k1,k2,…,kM

的求解方法同F(xiàn)IR系統(tǒng)完全一樣。5.離散時間系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)z-1pm-1(n)qm-1(n)pm(n)qm(n)-km-kmz-1pm(n)qm(n)pm-1(n)qm-1(n)km-km第四十八頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四習(xí)題：一個IIR系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為，求其Lattice結(jié)構(gòu)。解答：已求出則：5.離散時間系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)x(n)z-1z-1z-10.738498-0.648y(n)0.6480.70259-0.738498-0.70259第四十九頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四一個既具有零點又具有極點的IIR系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)：5.離散時間系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)x(n)y(n)z-1pM(n)pM-1(n)p1(n)p0(n)pM-2(n)z-1z-1q1(n)q0(n)qM(n)qM-1(n)kM-kMk1-k1kM-1-kM-1cMc0cM-1c1第五十頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四若，即為全極點系統(tǒng)。5.離散時間系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)x(n)z-1pM(n)pM-1(n)p1(n)p0(n)pM-2(n)z-1z-1q1(n)q0(n)qM(n)qM-1(n)kM-kMk1-k1kM-1-kM-1cMc0cM-1c1y(n)第五十一頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四若，則為FIR系統(tǒng)的直接實現(xiàn)形式。5.離散時間系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)x(n)z-1pM(n)pM-1(n)p1(n)p0(n)pM-2(n)z-1z-1q1(n)q0(n)qM(