2023版新高考新教材高考總復(fù)習(xí) 第7章 數(shù)列 真題及答案

第七章數(shù)列

7.1等差數(shù)列

考點(diǎn)一等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和

1.(2015課標(biāo)II文55分)設(shè)S”是等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和.若ai+a3+as=3,則Ss=()

A.5B.7C.9D.11

答案A:｛a“｝為等差數(shù)列,:.ai+as=2a3,

得3a3=3,則a3=l,

2

.-.S5==5a3=5,故選A.

2.(2015課標(biāo)I文,7,5分)已知｛a“是公差為I的等差數(shù)列,S”為｛an｝的前n項(xiàng)和.若SH=4S4,則aio=()

1719

A.2B.2C.10D.I2

■X7*=1)J?

答案B由SB=4SJ得8ai+2xi=4x.解得aiJj.aio=ai+9d=",故選B.

評(píng)析本題主要考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,計(jì)算準(zhǔn)確是解題關(guān)鍵.屬容易題.

3.(2015浙江理,3,5分)已知｛a“｝是等差數(shù)列.公差d不為零.前n項(xiàng)和是S”.若a&was成等比數(shù)列，則()

A.aid>0,dS4>0B.aid<0,dS4<0

C.aid>0,dS4<0D.aid<0,dS4>0

55

/一一

答案B由=a3a&得⑶+2d)⑶+7d)=(ai+3d)2,整理得d(5d+3ai)=0,又dW0「.a尸-%廁aid=-^d2<O,X'.,

22

S4=4ai+6d=-=-七2Vo.故選B.

4.(2013課標(biāo)I理,7,5分)設(shè)等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,若Sm一尸2sm=0,Sm+尸3.則m=()

A3B.4C.5D.6

答案C解法—:'.'Sm-l=-2,Sm=0,Sm+l=3,「.am=Sm-Sm」=2,am+l=Sm+|-Sm=3,...公差d=am+|-am=1.由

n(n—1)nfn—1)

Sn=nai+"d=nai+"

mO|"1-------=0,

②

得

1—m

由①得a產(chǎn)2，代入②可得m=5.

解法二:??數(shù)列｛加｝為等差數(shù)歹I」,且前n項(xiàng)和為Sn,

?。?/p>

???數(shù)列也為等差數(shù)列.

Jr5M三T、

,即K-I+HR,解得m=5.經(jīng)檢驗(yàn)為原方程的解.故選C.

5.（2016課標(biāo)1,3,5分）已知等差數(shù)列⑶｝前9項(xiàng)的和為27ao=8,則aioo=（）

A.100B.99C.98D.97

59=901+—d=27.

=O|+9d=8

答案C設(shè)｛a“的公差為d.由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及通項(xiàng)公式，得r解、得

思路分析用ai,d表示S%aio冽方程組求出ai,d,從而可求得ai（x）.

6.（2014天津理,11,5分）設(shè)｛4,｝是首項(xiàng)為如公差為-1的等差數(shù)列,S”為其前n項(xiàng)和.若Si,S2s成等比數(shù)列則ai

的值為

答案2

解析S尸ai,S2=2ai-l,S4=4ai-6.故(2ai-l)2=aix(4ai-6),解得ai=-2

7.（2013課標(biāo)II理,16,5分）等差數(shù)列⑶｝的前n項(xiàng)和為Sn.已知Sio=O,Si5=25jMnSn的最小值為

答案-49

0-i)+45d=0,

21+105d=25.

解析由Sn=nai+d得I"

2

解得ai=-3,d=‘，

?R-1)21

則Sn=-3n+2**=^(n2-IOn),

所以nSn=*(n3-1On2),

令f(x)=3(x」0x2),

則si(小當(dāng)*丸a

20

3

當(dāng)xe時(shí)，f(x)遞增，又6<<7,f(6)=-48,

f(7)=-49,所以nSn的最小值為-49.

評(píng)析本題考查了數(shù)列與函數(shù)的應(yīng)用.考查了數(shù)列的基本運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)求最值.本題易忽略n的取值范圍.

8.(2013課標(biāo)II文,17,12分)已知等差數(shù)列出｝的公差不為零何=25,且4加加3成等比數(shù)列.

(1)求｛an｝的通項(xiàng)公式；

(2)求ai+a4+a?+...+a3n-2.

解析(1)設(shè)｛&,｝的公差為d.由題意.得乜ami3,

BP(ai+10d)2=ai(ai+12d).

于是d(2ai+25d)=0.

又ai=25,所以d=0(舍去)或d=-2.

故an=-2n+27.

(2)令Sn=31+34+37+...+33n-2.

由⑴知a3n-2=-6n+31,故⑶㈤是首項(xiàng)為25,公差為-6的等差數(shù)列.從而

n

2

Sn=(ai+33n-2)

n

=2(-6n+56)

=-3n2+28n.

9.(2012湖北，理18,文20,12分)已知等差數(shù)列⑶｝前三項(xiàng)的和為-3,前三項(xiàng)的積為8.

(1)求等差數(shù)列｛a"的通項(xiàng)公式；

⑵若a2,a3,a.成等比數(shù)列,求數(shù)列(必|｝的前n項(xiàng)和.

p?^+3d=-3.

解析(1)設(shè)等差數(shù)列｛a?｝的公差為d.則a?=ai+d,a3=ai+2d,由題意得〃武1+^乂片+狗產(chǎn)&

解得或〃=工

所以由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得an=2-3(n-1)=-3n+5或an=-4+3(n-1)=3n-7.

故an=-3n+5或an=3n-7.

(2)當(dāng)an=-3n+5吐a2,a3向分別為-1,-4,2,不成等比數(shù)列;

當(dāng)a?=3n-7時(shí)段如向分別為-1,2,4成等比數(shù)列，滿足條件.

3n+7,n=1,2,

故|an|=|3n-7|二』?"3'

記數(shù)列｛樂|｝的前n項(xiàng)和為Sn.

當(dāng)n=l時(shí),Si=|ai|=4;當(dāng)n=2時(shí),S2=|ai|+|a2|=5;

當(dāng)n23時(shí),Sn=S2+|a3|+|a4什…+|斕=5+(3*3-7)+(3*4-7)+…+(3n?7)

(=-2)[2+(3?―7)]311

=5+"=^n2-n+10.

當(dāng)n=2時(shí)，滿足此式,

[4.n=l?

綜上n>1-

評(píng)析本題考查等差、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí).考查運(yùn)算求解能力.

10.(2014大綱全國(guó)文』7,10分)數(shù)列⑸｝滿足ai=1,a2=2,an+2=2an+i-an+2.

(1)設(shè)bn=an+l-an,證明｛bn｝是等差數(shù)列;

(2)求｛an｝的通項(xiàng)公式.

解析⑴證明:由an+2=2an+|-an+2得，

3n+2-3n+l=2n+l~3n+2,即bn+l=bn+2.

又bi=a2-ai=l,

所以｛bn｝是首項(xiàng)為I,公差為2的等差數(shù)列.(5分)

(2)由⑴得bn=1+2(11-1),即an+i-an=2n-1.(8分)

,■

于是首,)=首3一辦

所以an+i-ai=n2,SPan+i=n2+ai.

又ai=l,所以｛a“的通項(xiàng)公式為an=n2-2n+2.(10分)

評(píng)析本題著重考查等差數(shù)列的定義、前n項(xiàng)和公式及“累加法”求數(shù)列的通項(xiàng)等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查運(yùn)算

變形的能力.

11.(2014課標(biāo)I理,17,12分)已知數(shù)列⑶｝的前n項(xiàng)和為5詢=1削#0抱前+尸入S『l,其中人為常數(shù),

(1明:an+2-an=入；

(2)是否存在人,使得｛a“為等差數(shù)列?并說明理由.

解析(1)證明:由題設(shè)ar>an+尸入Sn-1,知an+ian+2=ASn+|-L兩式相減得,an+i(an+2-an)=:an+i.

由于@11+1力0,可|以3n+2~3n=A.

⑵存在.由ai=l,aia2=Aai-l,可得@2=入-1,由（1）知再3=人+1.令2a2=ai+a3,解得入=4.

故an+2-an=4,由此可得,｛a2n-i）是首項(xiàng)為1,公差為4的等差數(shù)列,a2ni=l+（n-l）?4=4n-3;

｛a2n｝是首項(xiàng)為3,公差為4的等差數(shù)列,a2n=3+（n-l）?4=4n-1.

所以3n=2n-1,3n+1-3n=2.

因此存在入=4,使得｛a“為等差數(shù)列.

評(píng)析本題主要考查an與Sn的關(guān)系及等差數(shù)列的定義，考查學(xué)生的邏輯思維能力及分析解決問題的能力.

考點(diǎn)二等差數(shù)列的性質(zhì)

1.（2015廣東理[0,5分）在等差數(shù)列⑶｝中，若a3+a4+a5+a6+a尸25,則a2+as=.

答案10

解析利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得a3+a?=a4+a6=2a5,從而a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25,故a5=5,所以a2+a8=2a5=10.

2.（2015陜西文,13,5分）中位數(shù)為1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項(xiàng)為2015,則該數(shù)列的首項(xiàng)為.

答案5

解析設(shè)該數(shù)列的首項(xiàng)為ai,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得ai+2015=2x1010,從而ai=5.

3.（2014北京理,12,5分）若等差數(shù)列｛an｝滿足a74-as+a9>O,a7+aio<O,MSn=時(shí),｛an｝的前n項(xiàng)和最大.

答案8

解析根據(jù)題意知a7+as+a9=3a8>0,即as>0.

,

又a8+a9=a7+aio<O,/.a9<Or.Sn=8時(shí),｛an｝的前n項(xiàng)和最大.

[]

第七章數(shù)列

7.1等差數(shù)列

三年模擬

一、選擇題

1.（2022太原一模,3）設(shè)Sn為等差數(shù)列｛加｝的前n項(xiàng)和，若a尸2商+25=10,則S6=（）

A.26B.27C.28D.29

答案B設(shè)等差數(shù)列時(shí)的公差為d.因?yàn)閍i=2,a3+a5=10,所以a1+2d+ai+4d=1（）,解得d=l,

6x（6~l）

2

所以S6=6ai+xd=27,故選B.

2.（2022銀川一模,6）設(shè)Sn是等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，若S5（）-S47=12,WJS97=（）

A.198B.388C.776D.2021

答案B由S50-S47=12得a48+a49+a50=3a49=12,即a49=4,所以S97=2=97孫=388.故

選B.

^12^10

3.（2022太原二模.6）等差數(shù)列｛加｝的前n項(xiàng)和為S?若五記-=2,則公差d=（）

A.lB.2

C.-lD.-2

答案D

Sn=nai+

爭(zhēng)可*以1=al+陪府以票—之=：質(zhì)以數(shù)列倒是首5t為人公差為:

的賓數(shù)碼而蜷-*2X：

=2所以d=-2.故選D.

4.（2022安徽滁州二模,5）已知｛%｝是公差不為零的等差數(shù)列，若

a3+am=a4+ak,ai+a5=2ak,m,k￡N：貝（Jm+k=（）

A.7B.8C.9D.10

答案A由等差數(shù)列的性質(zhì)得,3+m=4+k,l+5=2k,所以k=3,m=4,故m+k=7,故選A.

%=1JU—

5.（2022陜西咸陽一模,8）設(shè)S”是等差數(shù)列｛加｝的前n項(xiàng)和，若而一工工等于（）

BL-

A103

|D-l

c*■

答案A根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得S4,S8-S4,S|2-S8,SQS12成等差數(shù)列

-=St9lS438-S4^12-S8^16-

%3

S12是以S4為首奧S4為公差的攣鐮列JNS8=3s4asi6=10S4,'^-=^

.故選A.

解題關(guān)鍵若數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列，則S4,S8-S4s20,S|6-Si2也成等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列

的性質(zhì)，判斷數(shù)列S8,S.與S4的關(guān)系，是解答本題的關(guān)鍵.

6.(2022安徽江淮十校三模.11)已知等差數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)山=1,且2a4=a3+9,正項(xiàng)等比數(shù)列

1

｛bn｝的首項(xiàng)b|=4且32g=b3,若數(shù)列｛4,｝的前n項(xiàng)和為Sn,則數(shù)列2SJ的最大項(xiàng)的值為

()

\B-lC；

A*1D.2

答案C設(shè)等差數(shù)列｛a"的公差為d,由2曲=a3+9,得2(ai+3d)=ai+2d+9,即

22

2(l+3d)=l+2d+9,故d=2,貝IIan=ai+(n-l)d=2n-l,Sn=nai+d=n.

設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛bj的公比為q(q>0)油32g=b3相32(b4)2=bq2,所以

32*)I=1q2^Sq=1jMbn=blqn-1

貝"漿6=^^喈

21

當(dāng)0<n^2時(shí)，?>1,即ci<C2<C3；

<L0P<3>c4>c5>.JJi以最大度<3=b3s3=^=-

當(dāng)n>3時(shí)，'》■

故選C.

7.(2022房山二模,9)已知數(shù)列｛%｝是公差為d的等差數(shù)列，且各項(xiàng)均為正整數(shù)，如果

ai=3,an=45,那么n+d的最小值為()

A.13B.14C.17D.18

答案B在等差數(shù)列｛aj中,ai=3,an=45,...3+d(n-l)=45W

d(n-l)=42=lx42=2x21=3xl4=6x7=7x6=14x3=21x2=42xl,故d=l,n=43或d=2,n=22或

d=3,n=15或d=6,n=8或d=7,n=7或d=14,n=4或d=21,n=3或d=42,n=2,所以n+d的最小值

為14.

8.(2022通州期中,7)已知等差數(shù)列⑶｝的前n項(xiàng)和為S”,若$3=9,$6=63,貝Ua?+a8+a9等于

()

A.63B.71C.99D.117

答案C由等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和性質(zhì)，得5356、359&也成等差數(shù)列.即

2(S6-S3)=S3+S9$6,因?yàn)镾3=9,S6=63,所以S9=162,因此a?+a8+a9=S9-S6=162-63=99.故選C.

9.(2022西安四模,6)等差數(shù)列｛踴｝的公差為2,前n項(xiàng)和為S”若am=5,則Sm的最大值為

()

A.3B.6C.9D.12

答案C..,公差d=2,am=5,...ai+2(m-1)=5,...21=7-201,

222

Sm=mai+x2=m(7-2m)+m(m-1)=-m+6m=-(m-3)+9.

???當(dāng)m=3時(shí),Sm的最大值為9,故選C.

10.(2022河南平頂山月考,4)在等差數(shù)列｛an｝中,a3+a產(chǎn)lO,a8+a1o=14,則Si3=()

A.60B.64C.78D.84

答案Ca3+a7=2a5=10,/.a5=5.

又a8+aio=2a9=14,39=7,

13（q+<H3）二

ASi3=22=78.故選C.

11.（多選）（2022石家莊二中開學(xué)考試,11）設(shè)數(shù)列｛a,,｝是等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)和,a>0且

S6=S9,M（）

A,d>0

B.as=0

C.S7或S8為Sn的最大值

D.SS>S6

6x59xfl

—+—

答案BC「aiX）且S6=S%，6ai+22d.化簡(jiǎn)得ai+7d=0,可得a8=0,d<0.，S7

或S8為的最大值,S5Vs6.故選BC.

12.（多選）（2022江蘇蘇州調(diào)研,10）設(shè)S“是公差為d（d*0）的無窮等差數(shù)列｛a0｝的前n項(xiàng)和，

則下列命題正確的是（）

A.若d<（）,則數(shù)列S｝有最大值

B.若數(shù)列｛S,,｝有最大項(xiàng).則d<0

C.若對(duì)任意的neN*,Se>Sn恒成立，則Sn>0

D.若對(duì)任意的neN*,均有Sn>0加Sn+i>S”恒成立

答案ABD對(duì)于選項(xiàng)A,B,顯然Sn對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)有最大值時(shí)d<0,且若d<0,則｛S,,｝有最

大項(xiàng),故選項(xiàng)A.B正確:對(duì)于選項(xiàng)C,令Sn=n2-2n,則數(shù)列｛SJ遞增，但S尸-1<0,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)D,若對(duì)任意的neN”,均有S“>0則a>0,d>0,故｛SJ必為遞增數(shù)列，即S“i>Sn恒成

立,故選項(xiàng)D正確.故選ABD.

二、填空題

13.（2022太原模擬,15）已知正項(xiàng)數(shù)列｛即｝中問=1m=2,2屆亡1+吃，*2）,*=1鵬數(shù)列

｛bn｝的前n項(xiàng)和為Sn,則S33的值是

答案3

解析因?yàn)?續(xù)亡1+吃1睚2),所以數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為1,公差為2馬=3的等差數(shù)列,所

.萬蛻

N=l+3(n—1)=3n—2an=V3n-2.^J6lbn=—V3n-24-^hrFl

-6Q河雙數(shù)列｛bn｝的前n3(和Sn=1[(百一1)+—百)+._+

CV3n+l-^n3)]=1G/3n+l

-1),

1

則$33=&(10」)=3.

至

14.(2022陜西質(zhì)檢,16)已知等差數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為Sn，若S7<0,S8>0,則"*的取值范圍

是.

答案(-00,-1)

解析等差數(shù)列｛冊(cè)｝

中s=

^^^2=?^l=7a4<Oj!la4Vop又S8=?^^=4(a4+a5)><M!)a4+a5>

。網(wǎng)aSAa4齊以至

?4

<-l.

15.(2022延慶二?！?)已知向量序列:ai,a2#3,…,an,?..和向量d滿足:|ai|=2,|d|=l,a/d=-l.定義

an-an-i=d(n=2,3,4,??.),則0|的最小值為.

答案百

解析由an-a*d(n=2,3,4,...),可得數(shù)列｛aj為等差數(shù)列，則a?=ai+(n-l)d,則

|an|=

a2

4l+⑴-1)呼=dm+2al(mljd=^4+(h-iy-Zfn-l)=

^(n-2p+3

但當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)等號(hào)成立故1詞的最小值為例

N.

(…)2

16.(2022河南洛陽模擬,15)已知x>O,y>O,a,x,y,b成等差數(shù)列,c,x,y,d成等比數(shù)列則一的

最小值是.

答案4

(?tA)2_(.立)2_辦3M—2+124rz

解析由題意得a+b=x+y,cd=xy,從而一^一F-——石—一百，

(EF_2]/廿—

因?yàn)閤>0,y>0,所以由基本不等式得一^一?[2+0=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào).

三、解答題

—,bn=^-

17.(2022天津五十七中線上測(cè)試』9)在數(shù)列｛a“｝中肉=l,a用=1--其中neN*.

(1)證明數(shù)列｛、｝是等差數(shù)歹！I,并寫出證明過程:

(2)設(shè)Cn=，數(shù)列｛Cn｝的前n項(xiàng)和為Tn,求Tn；

(3)已知當(dāng)neN且nz6時(shí),(N削，其中m=l,2,...,n,求滿足等式

3n+4+…+(n+2)n=(bn+3盧的所有n的值之和.

解析⑴證明:bn+「b產(chǎn)f20,1XrJ-l-'=1,.?.數(shù)列｛bn｝是公差為1的等差

數(shù)歹

21

⑵：bi='-'=1bn=1+(n-l)xl=n.

4小T

Ac?=^l=2nxW,

*=2卜?+2?+3?+…E朗

兩式相減得A?[酊酊酊…+?*，◎

?

故T-xW/nx?=?-C?+4n)xl

(3)由(2)得等式3n+4'U...+(n+2)n=(bn+3盧可化為3n+4n+...+(n+2)n=(n+3)n,

京):京匚「第)二

即

.(，-三+(1黑)++(1-各_]

當(dāng)"N*且n>6時(shí),，其中m=l,2,...,n,

...($)*?(1-審6_

...($)：&就.*朗就式必?5

.?.當(dāng)nz6H^,3n+4n+...+(n+2)n<(n+3)n.

當(dāng)n=l,2,3,4,5時(shí)，經(jīng)驗(yàn)算,n=2,3時(shí)等式成立.

.?.滿足等式3n+4n+...+(n+2)n=(bn+3盧的所有n的值為2,3,其和為5.

思路分析(1)根據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行證明;

(2)根據(jù)bn可得Cn=2nxO,然后利用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和;

(3)先把條件3n+4n+...+(n+2)n=(bn+3戶轉(zhuǎn)化為I1+(X-/+…+('-箱)=1,結(jié)合題

意及等比數(shù)列求和得出n>6時(shí)無解.驗(yàn)證前5項(xiàng)可得所有滿足題意的n值，進(jìn)而得到結(jié)果.

18.(2022天津南開中學(xué)二模,18)已知數(shù)列｛aj的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是

首項(xiàng)為2的等比數(shù)列.數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足S3=a4,a3+a5=2+a*

(1)求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式;

(2)求數(shù)列｛aj的前2k項(xiàng)和S2k;

(3)在數(shù)列｛踴｝中,是否存在連續(xù)的三項(xiàng)am,am+i,am+2,按原來的順序成等差數(shù)列?若存在,求

出所有滿足條件的正整數(shù)m的值:若不存在，說明理由.

解析(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列的公比為q,則ai=l,a2=2,a3=l+d,a4=2q,a5=l+2d.

V83=34,，l+2+(l+d)=2q,即4+d=2q①，

又33+35=2+04,.**l+d+l+2d=2+2q,fiP3d=2q②，

由①②解得d=2,q=3.

-,

,對(duì)于keN*,有a2kT=l+(k-l)2=2k-l,a2k=2-3k”^an4232ji=2kkeN*.

(2)S2k=(ai+a3+…+a2k-i)+(a2+a4+…+a2k)=[l+3+…+(2k-l)]+2(l+3+3?+…+3"')=

21-3=k2-l+3k.

(3)在數(shù)列｛aj中，僅存在連續(xù)的三項(xiàng)ai,a2,a3,按原來的順序成等差數(shù)列，此時(shí)正整數(shù)m的值

為1,下面說明理由.

若am=a2k(ksN*),則由am+am+2=2ara+i,152x3k"+2x3k=2(2k+l),化簡(jiǎn)得4?3"=2k+l,此式左邊

為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，不可能成立.

若am=a2k」(keN*),貝ij由am+am+2=2am+3得(2k-D+(2k+l)=2x2x3k」,化簡(jiǎn)得k=3。

kfc+1_k_1-2&

令Tk=*(keN*),則Tk+l-Tk^河子"<0.

因此』=TAT2>T3>…,故只有「=1,

此時(shí),k=l,m=2x1-1=1.

綜上,在數(shù)列｛an｝中，僅存在連續(xù)的三項(xiàng)ai,a2,a羽按原來的順序成等差數(shù)列，此時(shí)正整數(shù)m的

值為1.

19.(2022天津十二區(qū)縣重點(diǎn)學(xué)校二模,19)已知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為

An,a7=15,A7=63;數(shù)列｛如｝的前n項(xiàng)和為Brl,2Bn=3bn-3(neN*).

(1)求數(shù)列｛%｝,｛、｝的通項(xiàng)公式；

百

(2)求數(shù)列3的前n項(xiàng)和Sn;

y￡

⑶求證：I8*<2.

解析(1)數(shù)列｛aj是等差數(shù)列，設(shè)公差為d,

件

7=Oj+6d=15,+6d=15,

|.7X(7-I)rf__化

+3d=9.

則2￡

解得ai=3,d=2,/.an=2n+l,neN*.

V2Bn=3bn-3,

...當(dāng)n=l時(shí),2Bi=3bi-3,解得bi=3.

當(dāng)n>2時(shí),2Bn-i=3bn1-3,

<

/.2Bn-2Bn-i=(3bn-3)-(3bn-i-3)=3bn-3bn-i,nGN,

整理得bn=3bz,...數(shù)列｛bn｝是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列,bn=3',neN*.

n(3+2n4-l)G-馬

2+2)2

(2)由⑴可得An二2=n(n+2),neN*,...,"^

Sn=

11

擊+導(dǎo)提g2A

-+——-—+i——~43

n*1n4-lnw+2島+右):比+，5

2_彳」_+」_)或七

結(jié)果是42vH-1n+2/42("1)①+2)都給分

3(1-色y丹1)

⑶證明:由⑴可得Bn=22,neN*,

__2iH-l_2&+1

可得『空二丁,

證法一：二?3L1=3x3n/-1=2x3n"+3*1J-122乂3向,

22RH-122w1-lte+1

=XX

3^TJ2X，1

-+3

令T尸?

Ml.2?H-1

爭(zhēng)"十/1

M-l

|TOL=1+2X(X+A+...+^^FT

兩式相減可得3m不我

1

X擊)Ml?A1、2E_421rt4

F——中_1+八仁-尹r廠

=l+2x3

iH-2

，Tn=2f

x*=除隹1+率+半++小壬

.?.1年3\3-1ST…步3)《2■步<2

證法二:當(dāng)n>2時(shí)3-1=(1+2尸142+4<2+...+<?x2n-l><2+Cjx2+<5x22-l>2n+1,

,〈絲三■可.2"1v

根據(jù)“若a>b>0,m>0,則'F'手了中，

X&=2x包+器+型++已］三*.2X3.尸8+D

?自&sx品1十西十西十”-￡+*pr+-+―于—

2x32x4__2x(?+l)

令丁下胃Jk

1T_2>3,2x42E2xgl)

m*r+=叱

兩式相減可得

2__22X12X12X1_2x(n+l)2X0+1)712x&Fl)7

彳1=彳十村十聲十一十F-/T=家十二一千I=7-3一/1=彳

2n+5

k

2+1.4+1&M21H-12

.舐=標(biāo)至其I十禾三

今6璃=那<2.

爭(zhēng),下面用分析法證/2<2

證法三:令品=認(rèn)1、*，

出勺0P證劣也幺<2

要證.二產(chǎn)"?41廣2

即證(4n+6)(3L1)<(2n+l)(3n+1-l),

即證-2n-5v(2n-3)3*'①.

當(dāng)neN?時(shí)，①式顯然成立,

^=ixCcl+c2+-+cn)=ix6+s+-+^)Jxl+lxl+-+l

(T=2啕=*X(1$)2

20.(2022南開中學(xué)學(xué)情調(diào)查四,18)設(shè)｛拆｝是等差數(shù)列,｛悅｝是等比數(shù)列，公比大于0,其前n

項(xiàng)和為S￡neN*).已知bi=l,b3=b2+2h=a3+a5,b5=a4+2a6.

⑴求｛aj和｛b,J的通項(xiàng)公式；

1

盧］的苗n項(xiàng)和為TILTHcn=A、112n-i+

⑵設(shè)數(shù)列｛(/2

X-5-.

(3)求―4、

解析(1)設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d,等比數(shù)列｛bn｝的公比為q(q>0).

因?yàn)閎i=l,b3=b2+2,所以qJq+2,解得q=2(舍負(fù)),

n

所以bn=2-'.

因?yàn)閎4=a3+a5,bs=a4+2a6,所以2ai+6d=8,3ai+l3d=16,解得a1=d=l,所以an=n.

⑵由⑴知(-1廣=(-1)n,所以T2n=O,T2n.,=-l.

士要ibZn—1+三等b2n=b2n—1十三

所以Cn=42n=4".

(3)由⑴和⑵知4

X-5-

記Pn=E53,

/冷+“心=譬-7(1塌

①-②得,-3Pn=-n,

Ml+1

所以凡=丁百.

1

21.(2022成都模擬』8)已知數(shù)歹(]⑶｝中,ai=*,an+i+an=2n.

(1)求證:｛跖｝為等差數(shù)列;

(2)設(shè)bn=Z、-2a2n,Tn為數(shù)列｛、｝的前n項(xiàng)和，求T”的最小值.

解析⑴證明:由an+i+an=2n,得an+an-i=2(n-l)(nz2),所以an+i-an-i=2(nN2),即數(shù)列面｝的奇數(shù)

項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)均是公差為2的等差數(shù)列.

由ai=2

n—

PI1+(1)x2=2n—1=2n—1—

222

所以a2n.i=

1

-

-+(n—1)X2=2n—三聲以an=n一2

a2n二22

所以an+i-an=(n+l)N('=1

所以⑶｝是首項(xiàng)為之,公差為1的等差數(shù)列.

(2)bn=2^l-2a2n=2x2n-(4n-l).

V5x迎叁吧上過=顯

所以1產(chǎn)之122-(2n-l)-n(2n+l),

n

所以Tn+1-Tn=V2(2n+1—1)—fn+1)⑵1+3)-A^(2-1)+n(2n+1)=-(4n+3).當(dāng)n<3

時(shí),Tn+]-Tn<0；

2^2

當(dāng)n>4時(shí)，令cn=-(4n+3),

.3.1.1

2^^22：2J;2

則cn+i-cn=-(4n+7)-+4n+3=-4,

7^j7^；2"：

易知數(shù)列｛-4｝是遞增數(shù)列,則心-4>0,

9

22_

P/lCn+l>Cn,故C/C4=-19>0,所以Tn+l-Tn>0.

所以T1>T2>T3>T4<T5<T6<…，

所以(Tn)min=T4=15e>36.

[]

第七章數(shù)列

7.1等差數(shù)列

五年高考

考點(diǎn)一等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和

1.(2015重慶25分，基礎(chǔ)性)在等差數(shù)列｛aj中，若a?=4,a4=2,貝ija6=()

A.-lB.OC.lD,6

答案B

2.(2015浙江,3,5分，基礎(chǔ)性)已知｛4,｝是等差數(shù)列，公差d不為零，前n項(xiàng)和是Sn.若a3,a4,a8

成等比數(shù)列，貝女)

A.aid>0,dS4>0B.a)d<0,dS4<0

C.aid>0,dS4<0D.aid<0,dS4>0

答案B

3.（2014遼寧,8,5分，基礎(chǔ)性）設(shè)等差數(shù)列｛4,｝的公差為d.若數(shù)列］｛尸」為遞減數(shù)列廁

（）

A.d<0B.d>0

C.aid<0D.ajd>0

答案c

4.（2019課標(biāo)I理,9,5分,基礎(chǔ)性）記Sn為等差數(shù)列｛aI1｝的前n項(xiàng)和.已知S4=0,a5=5,則（）

A.an=2n-5B.an=3n-10

i

2

C.Sn=2n-8nD.Sn="n2-2n

答案A

5.（2022全國(guó)乙文』3,5分.基礎(chǔ)性）記S”為等差數(shù)列出｝的前n項(xiàng)和.若2s3=3Sz+6,則公差

d=.

答案2

6.（2020江蘇,11,5分，綜合性）設(shè)佰如｝是公差為d的等差數(shù)列,｛許｝是公比為q的等比數(shù)列.

已知數(shù)列｛an+bn｝的前n項(xiàng)和Sn=n2-n+2n-l（neN"）則d+q的值是.

答案4

7.（2020課標(biāo)11文,14,5分，基礎(chǔ)性）記S”為等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和.若ai=-2,a2+a6=2廁

Sio=.

答案25

8.（2020新高考I,14,5分，綜合性）將數(shù)列｛2n-l｝與｛3n-2｝的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列

｛an｝,則｛an｝的前n項(xiàng)和為.

答案3n2-2n

9.(2019課標(biāo)in文,14,5分，基礎(chǔ)性)記Sn為等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和.若a3=5,a7=13J0

Sio=-

答案100

10.(2019課標(biāo)III理,14,5分.基礎(chǔ)性)記S”為等差數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和.若a#0,a2=3ai,則

樂二

答案4

2S,

11.(2022全國(guó)甲，理17,文18,12分，基礎(chǔ)性)記S”為數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和.已知"+n=2an+l.

(1)證明:｛a0｝是等差數(shù)列：

⑵若如⑶曲成等比數(shù)列，求S”的最小值.

解析⑴證明:由已知條件玄+11=2%,+1可得，

2Sn=2nan+n-n2①，當(dāng)n>2時(shí).由①可得2Sn-i=2(n-l>an-i+(n-l)-(n-D2②，由an=Sn-Sn-i及①-②

可得,(2n-2)an-(2n-2)an-i=2n-2,nw2,且neN*,

即a『az=l,因此同｝是等差數(shù)列,公差為1.

⑵?.,a4,a7,a9成等比數(shù)列，且a4=ai+3,a7=ai+6,a9=a(+8,t^=a4-a9,EP(ai+6)2=(ai+3)(ai+8),

解得ai=-12,.?.等差數(shù)列｛a,,｝的通項(xiàng)公式為an=-12+(n-l)l=n-13,

?+■).1_251/2S\262S

.e=21,2-Tn=-F

??Qn-9

VneN*,當(dāng)n=12或n=13時(shí),Sn最小，

最小值為?78.

12.(2021新高考H,17,綜合性)記Sn為公差不為零的等差數(shù)列｛五｝的前n項(xiàng)和，若

a3=S5,a2，H4=S4.

(1)求｛an｝的通項(xiàng)公式;

(2)求使得Spa”成立的n的最小值.

解析(1)設(shè)等差數(shù)列｛aj的公差為

d,d*().a3=S5nai+2d=5ai+l()dn4ai+8d=0叫+2d=0nai=-2d,①a2-a4=S4n(ai+d)(ai+3d)=4ai+6d,

②

將①代入②得-d2=-2dnd=0(舍)或d=2,

ai=-2d=-4,/.an=-4+(n-1)x2=2n-6.

⑵由⑴知a?=2n-6,

22

Sn=nai+d=-4n+n(n-1)=n-5n.

22

Sn>an<?n-5n>2n-6<^n-7n+6>0o(n-1)(n-6)>0,

解得nvl(舍)或n>6；n為正整數(shù),???n的最小值為7.

考點(diǎn)二等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用

1.(2022新高考H,3,5分，創(chuàng)新性)圖1是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu),AA；BB；CC',DD'是桁,

相鄰桁的水平距離稱為步.垂直距離稱為舉.圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖，其中

DD),CC1,BB|,AA1是舉,OD|,DG,CBI,BA|是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為

出=05出=—些=憶料

001g61M1=k3.已知k1,k2,k3成公差為0.1的等差數(shù)列,且直線OA的

斜率為0.725,則k3=()

圖1

圖2

A.0.75B.0.8C,0.85D.0.9

答案D

2.（2011全國(guó),4,5分，基礎(chǔ)性）設(shè)S”為等差數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和，若ai=l,公差d=2,Sk+2-Sk=24,

則k=（）

A.8B.7C.6D.5

答案D

3.（2013課標(biāo)全國(guó)I,7,5分，基礎(chǔ)性）設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和為Sn,SSm.i=-2,Sm=0,Sm+i=3,

則m=（）

A.3B.4C.5D.6

答案C

4.（2020課標(biāo)H理.4,5分，應(yīng)用性）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所,分上、中、下三層.

上層中心有一塊圓形石板（稱為天心石）.環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外

每環(huán)依次增加9塊.下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊,向外每環(huán)依次也增加9

塊.已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板（不含天心

石）（）

A.3699塊B.3474塊

C.3402塊D.3339塊

答案c

5.(2020北京,8,4分,綜合性)在等差數(shù)列區(qū)｝中向=-9再5=-1.記T戶出2..a(11=1,2,...),則數(shù)列

｛Tn｝()

A.有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)B.有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)

C.無最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)D.無最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)

答案B

6.(2019江蘇,8,5分，基礎(chǔ)性)已知數(shù)列｛an｝(neN*)是等差數(shù)列,S0是其前n項(xiàng)和.若

a2a5+a8=0,S9=27,則Sg的值是.

答案16

0n￥14為奇數(shù)，

7.(2021新高考I,17,10分，綜合性)已知數(shù)列⑶｝滿足山=1而+尸&為例.

(1)記bn=a2n,寫出bl,b2,并求數(shù)列｛b,J的通項(xiàng)公式；

⑵求｛a0｝的前20項(xiàng)和.

解析⑴由題意得a2n+產(chǎn)a2n+2抱2n+2=a2n+l+l,

所以a2n+2=a2n+3,即bn+產(chǎn)bn+3,且51=32=31+1=2,

所以數(shù)列｛bn｝是以2為首項(xiàng),3為公差的等差數(shù)列，

所以bi=2,b2=5,bn=2+(n-1)x3=3n-1.

⑵當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),an=an+i-1.

設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為S?,

貝llS2o=ai+a2+...+a2o

二(ai+a?+…+a]9)+32+34+…+a2o)

二[(@2?1)+(初-1)+…+(a2。-1)]+(a2+a4+...+a2o)

=2(32+34+...+320)-10,

10x9

2

由(1)可知a2+a4+...+a20=bi+b2+...+bi0=10x2+x3=155,故S20=2x155-10=300,即｛an｝的前

2()項(xiàng)和為300.

解題關(guān)鍵一是對(duì)已知關(guān)系式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)而利用等差數(shù)列定義求得數(shù)列｛、｝的通項(xiàng)公

式;二是利用分組求和的方式對(duì)S2o進(jìn)行重組變形，結(jié)合a?與bn的關(guān)系求得結(jié)果.

8.(2021全國(guó)甲理,18,12分，綜合性)已知數(shù)列｛.｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，記S”為｛aj的前n項(xiàng)和,

從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件.證明另