2023年新高二暑假講義12講第10講 橢圓含答案

2023年新高二暑假講義第10講橢圓新課標(biāo)要求經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)。知識梳理1．平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距．2．焦點在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，焦點坐標(biāo)為(±c,0)，焦點在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，焦點坐標(biāo)為(0，±c)．其中a，b，c的關(guān)系為a2＝b2＋c2.3.橢圓的簡單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)圖形范圍－a≤x≤a－b≤y≤b－a≤y≤a－b≤x≤b對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：(0,0)焦點F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，－c)焦距|F1F2|＝2c頂點A1(－a,0)，A2(a,0)；B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)；B1(－b,0)，B2(b,0)軸長長軸長2a，短軸長2b離心率e＝eq\f(c,a)∈(0,1)4．點與橢圓的位置關(guān)系設(shè)點P(x0，y0)，橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．eq\a\vs4\al(位,置,關(guān),系)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(點P在橢圓上?\f(x\o\al(2,0),a2)＋\f(y\o\al(2,0),b2)＝1,點P在橢圓內(nèi)?\f(x\o\al(2,0),a2)＋\f(y\o\al(2,0),b2)＜1,點P在橢圓外?\f(x\o\al(2,0),a2)＋\f(y\o\al(2,0),b2)＞1))5．直線與橢圓的位置關(guān)系及判定位置關(guān)系公共點個數(shù)組成的方程組的解判定方法(利用判別式Δ)相交2個2個解Δ＞0相切1個1個解Δ＝0相離0個無解Δ＜0名師導(dǎo)學(xué)知識點1橢圓定義的應(yīng)用【例1-1】(1)已知定點F1，F(xiàn)2，其中F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)，動點P滿足|PF1|＋|PF2|＝8，則動點P的軌跡是()A．橢圓 B．圓C．直線 D．線段(2)若P是以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上一點，則△PF1F2的周長等于()A．16 B．18C．20 D．不確定【例1-2】若方程eq\f(x2,16－m)＋eq\f(y2,m＋9)＝1表示焦點在y軸上的橢圓，則實數(shù)m的取值范圍是()A．－9＜m＜16 B．－9＜m＜eq\f(7,2)C.eq\f(7,2)＜m＜16 D．m＞eq\f(7,2)【變式訓(xùn)練1-1】設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1的兩個焦點，P是橢圓上一點，且點P到兩個焦點的距離之差為2，則△PF1F2是()A．鈍角三角形 B．銳角三角形C．斜三角形 D．直角三角形【變式訓(xùn)練1-2】若方程x2＋ky2＝3表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)k的取值范圍是________．知識點2求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例2-1】求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)焦點坐標(biāo)分別為(0，－2)，(0,2)，且經(jīng)過點(4，3eq\r(2))；(2)a＝8，c＝6；(3)經(jīng)過兩點(eq\r(3)，－2)，(－2eq\r(3)，1)．【變式訓(xùn)練2-1】已知F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)是橢圓C的兩個焦點，過F2且垂直于x軸的直線交橢圓C于A，B兩點，且|AB|＝3，則橢圓C的方程為()A.eq\f(x2,2)＋y2＝1 B．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D．eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1知識點3橢圓的簡單幾何性質(zhì)【例3-1】求橢圓4x2＋9y2＝36的長軸長、焦距、焦點坐標(biāo)、頂點坐標(biāo)和離心率．【變式訓(xùn)練3-1】若直線x－2y＋2＝0經(jīng)過橢圓的一個焦點和一個頂點，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\f(x2,5)＋y2＝1B.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,5)＝1C.eq\f(x2,5)＋y2＝1或eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,5)＝1D．以上答案都不對知識點4根據(jù)橢圓的性質(zhì)求橢圓的方程【例4-1】根據(jù)下列條件，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)長軸長為10，離心率為eq\f(3,5)；(2)焦點在x軸上，且一個焦點與短軸的兩個端點的連線互相垂直，焦距為6.【變式訓(xùn)練4-1】(1)已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，離心率為eq\f(\r(3),2)，且橢圓C上一點到兩個焦點的距離之和為12，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________．(2)若橢圓eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,m)＝1的離心率為eq\f(1,2)，則m＝__________.知識點5橢圓離心率的應(yīng)用【例5-1】我國自主研制的第一個月球探測器——“嫦娥一號”衛(wèi)星在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射后，在地球軌道上經(jīng)歷3次調(diào)相軌道變軌，奔向月球，進(jìn)入月球軌道，“嫦娥一號”軌道是以地心為一個焦點的橢圓，設(shè)地球半徑為R，衛(wèi)星近地點，遠(yuǎn)地點離地面的距離分別是eq\f(R,2)，eq\f(5R,2)(如圖所示)，則“嫦娥一號”衛(wèi)星軌道的離心率為()A.eq\f(1,5) B．eq\f(2,3)C.eq\f(2,5) D．eq\f(1,3)【例5-2】若橢圓上存在點P，使得P到兩個焦點的距離之比為2∶1，求這個橢圓離心率的取值范圍．【變式訓(xùn)練5-1】已知直線l：y＝kx與橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)交于A，B兩點，其中右焦點F的坐標(biāo)為(c,0)，且AF與BF垂直，則橢圓C的離心率的取值范圍為()A.[eq\f(\r(2),2)，1） B．（0，eq\f(\r(2),2)）C.（eq\f(\r(2),2)，1） D．（0，eq\f(\r(2),2)]知識點6直線與橢圓的位置關(guān)系【例6-1】已知橢圓C：eq\f(x2,4)＋y2＝1.(1)若(eq\r(3)，n)在橢圓內(nèi)，求實數(shù)n的取值范圍；(2)m為何值時，直線y＝x＋m與橢圓C相交、相切、相離？【變式訓(xùn)練6-1】直線y＝x＋2與橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,3)＝1有兩個公共點，則m的取值范圍是()A．m＞1 B．m＞1且m≠3C．m＞3 D．m＞0且m≠3知識點7弦長問題【例7-1】求直線y＝x＋1被橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1所截得的弦長．【變式訓(xùn)練7-1】已知直線l：y＝kx＋1與橢圓eq\f(x2,2)＋y2＝1交于M，N兩點，且|MN|＝eq\f(4\r(2),3)，則k＝________.知識點8直線與橢圓的綜合應(yīng)用【例8-1】設(shè)橢圓C：eq\f(x2,2)＋y2＝1的右焦點為F，過F的直線l與橢圓C交于A，B兩點，點M的坐標(biāo)為(2,0)．(1)當(dāng)l與x軸垂直時，求直線AM的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點，證明：∠OMA＝∠OMB.【變式訓(xùn)練8-1】如果點M(x，y)在運(yùn)動過程中總滿足關(guān)系式eq\r(x－2\r(2)2＋y2)＋eq\r(x＋2\r(2)2＋y2)＝4eq\r(3).(1)說明M的軌跡是什么曲線并求出它的軌跡方程；(2)設(shè)直線l：y＝－x＋m(m∈R)與點M的軌跡交于不同兩點A，B，且|AB|＝3eq\r(2)，若點P(x0,2)滿足(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，求x0.名師導(dǎo)練3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程A組-[應(yīng)知應(yīng)會]1．對于m，n，“mn>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示的曲線是橢圓”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．方程eq\r(x＋12＋y2)＋eq\r(x－12＋y2)＝2表示()A．橢圓 B．圓C．直線 D．線段3．橢圓5x2＋ky2＝5的一個焦點是(0,2)，則k的值為()A．1 B．－eq\f(3,5)C.eq\f(3,5) D．254．已知△ABC的周長為18，|AB|＝8，A(－4,0)，B(4,0)，|CA|<|CB|，則點C的軌跡方程為()A.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0)B.eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1(y≠0)C.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0，x<0)D.eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1(y≠0，x<0)5．設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)分別為(－1,0)，(1,0)，條件甲：點C滿足eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＞0；條件乙：點C的坐標(biāo)是方程eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(y≠0)的解．則甲是乙的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不是充分條件也不是必要條件6．已知橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其兩焦點，P為橢圓上任意一點．則|PF1|·|PF2|的最大值為()A．16 B．4C．8 D．27．設(shè)P是橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1上的點，若F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，則|PF1|＋|PF2|等于________．8．橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,2)＝1的焦點為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上，若|PF1|＝4，則|PF2|＝________，∠F1PF2＝________.9．若橢圓eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1上一點P與其兩焦點F1，F(xiàn)2連線的夾角為直角，則|PF1|·|PF2|＝________.10．(1)已知橢圓的焦點為F1(－1,0)和F2(1,0)，P是橢圓上的一點，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中項，求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,m2)＝1(m＞0)，且焦距為6，求實數(shù)m的值．11．已知P為橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(4y2,75)＝1上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的焦點，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面積．12．已知點A，B的坐標(biāo)分別是A(0，－1)，B(0,1)，直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是－t，t∈(0,1]．求M的軌跡方程，并說明曲線的類型．B組-[素養(yǎng)提升]已知橢圓C的焦點為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，過F2的直線與橢圓C交于A，B兩點．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則橢圓C的方程為()A.eq\f(x2,2)＋y2＝1 B．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D．eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1 3.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)A組-[應(yīng)知應(yīng)會]1．短軸長等于8，離心率等于eq\f(3,5)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,64)＝1B.eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,64)＝1或eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,100)＝1C.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1D.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1或eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝12．(開封模擬)已知焦點在x軸上的橢圓的離心率為eq\f(1,2)，且它的長軸長等于圓C：x2＋y2－2x－15＝0的半徑，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1C.eq\f(x2,4)＋y2＝1 D．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝13．以橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的短軸頂點為焦點，離心率e＝eq\f(1,2)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\f(y2,36)＋eq\f(x2,27)＝1 B．eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,27)＝1C.eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,75)＝1 D．eq\f(y2,100)＋eq\f(x2,75)＝14．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則橢圓C的離心率為()A.eq\f(\r(6),3) B．eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),3) D．eq\f(1,3)5．我們把離心率為黃金比eq\f(\r(5)－1,2)的橢圓稱為“優(yōu)美橢圓”．設(shè)F1，F(xiàn)2是“優(yōu)美橢圓”C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩個焦點，則橢圓C上滿足∠F1PF2＝90°的點P的個數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．46．已知焦點在x軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋y2＝1(a>0)，過焦點F作x軸的垂線交橢圓于A，B兩點，且|AB|＝1，則該橢圓的離心率為()A.eq\f(\r(3),2) B．eq\f(1,2)C.eq\f(\r(15),4) D．eq\f(\r(3),3)7．已知F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩個焦點，P為橢圓上一點，且eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝c2，則此橢圓離心率的取值范圍是________．8．已知F1，F(xiàn)2是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的兩個焦點，P為橢圓短軸的端點，且∠F1PF2＝90°，則該橢圓的離心率為________．9．設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1的兩個焦點，M為橢圓C上一點且在第一象限．若△MF1F2為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為________．10．已知橢圓的中心在原點，對稱軸是坐標(biāo)軸，離心率e＝eq\f(\r(3),2)，且過點P(2,3)，求此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．11．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的上頂點坐標(biāo)為(0，eq\r(3))，離心率為eq\f(1,2).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)P為橢圓上一點，A為橢圓左頂點，F(xiàn)為橢圓右焦點，求eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))的取值范圍．12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)．已知點(1，e)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e，\f(\r(3),2)))都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率．求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．B組-[素養(yǎng)提升]已知橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的左焦點為F，點P在橢圓上且在x軸的上方，若線段PF的中點在以原點O為圓心，|OF|為半徑的圓上，則直線PF的斜率是________．3.1.3直線與橢圓的位置關(guān)系A(chǔ)組-[應(yīng)知應(yīng)會]1．過橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,3)＝1(a＞eq\r(3))的焦點，作垂直于x軸的直線，交橢圓于A，B兩點，若|AB|＝eq\f(3,2)，則a的值為()A．4 B．2C．3 D．92．過坐標(biāo)原點，作斜率為eq\r(2)的直線，交橢圓eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1于A，B兩點，則|AB|的長為()A．2 B．4C.eq\f(4\r(3),3) D．eq\f(2\r(3),3)3．已知圓M：x2＋y2＋2mx－3＝0(m＜0)的半徑為2，橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,3)＝1的左焦點為F(－c,0)，若經(jīng)過F點且垂直于x軸的直線l與圓M相切，則a的值為()A.eq\f(3,4) B．1C．2 D．44．設(shè)直線l過橢圓C的一個焦點，且與C的一條對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，|AB|為長軸長的一半，則C的離心率為()A.eq\f(1,4) B．eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(2),4)5．已知F1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩個焦點，P在橢圓上，∠F1PF2＝α，且當(dāng)α＝eq\f(2π,3)時，△F1PF2的面積最大，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1 B．eq\f(x2,14)＋eq\f(y2,5)＝1C.eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,6)＝1 D．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝16．在焦距為2c的橢圓M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，則“b<c”是“橢圓M上至少存在一點P，使得PF1⊥PF2”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．已知橢圓的方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,m2)＝1(m＞0)，如果直線y＝eq\f(\r(2),2)x與橢圓的一個交點M在x軸的射影恰為橢圓的右焦點F，則橢圓的離心率為________．8．(唐山模擬)設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點，經(jīng)過F1的直線交橢圓C于A，B兩點，若△F2AB是面積為4eq\r(3)的等邊三角形，則橢圓C的方程為________________．9．(懷化模擬)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩焦點分別為F1，F(xiàn)2，若橢圓上存在點P，使得∠F1PF2＝120°，則橢圓的離心率的取值范圍是________．10．(撫順模擬)M(eq\r(2)，1)在橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上，且點M到橢圓兩焦點的距離之和為2eq\r(5).(1)求橢圓C的方程；(2)已知動直線y＝k(x＋1)與橢圓C相交于A，B兩點，若P－eq\f(7,3)，0，求證：eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))為定值．11．已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，且焦點在x軸上，又橢圓截直線y＝x＋2所得線段長為eq\f(16\r(2),5)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．12．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左，右焦點，M是橢圓C上一點且MF2與x軸垂直，直線MF1與橢圓C的另一個交點為N.(1)若直線MN的斜率為eq\f(3,4)，求C的離心率；(2)若直線MN在y軸上的截距為2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.B組-[素養(yǎng)提升](日照模擬)已知橢圓E：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的一個頂點為H(2,0)，對于x軸上的點P(t,0)，橢圓E上存在點M，使得MP⊥MH，則實數(shù)t的取值范圍是________．第10講橢圓新課標(biāo)要求經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)。知識梳理1．平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距．2．焦點在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，焦點坐標(biāo)為(±c,0)，焦點在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，焦點坐標(biāo)為(0，±c)．其中a，b，c的關(guān)系為a2＝b2＋c2.3.橢圓的簡單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)圖形范圍－a≤x≤a－b≤y≤b－a≤y≤a－b≤x≤b對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：(0,0)焦點F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，－c)焦距|F1F2|＝2c頂點A1(－a,0)，A2(a,0)；B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)；B1(－b,0)，B2(b,0)軸長長軸長2a，短軸長2b離心率e＝eq\f(c,a)∈(0,1)4．點與橢圓的位置關(guān)系設(shè)點P(x0，y0)，橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．eq\a\vs4\al(位,置,關(guān),系)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(點P在橢圓上?\f(x\o\al(2,0),a2)＋\f(y\o\al(2,0),b2)＝1,點P在橢圓內(nèi)?\f(x\o\al(2,0),a2)＋\f(y\o\al(2,0),b2)＜1,點P在橢圓外?\f(x\o\al(2,0),a2)＋\f(y\o\al(2,0),b2)＞1))5．直線與橢圓的位置關(guān)系及判定位置關(guān)系公共點個數(shù)組成的方程組的解判定方法(利用判別式Δ)相交2個2個解Δ＞0相切1個1個解Δ＝0相離0個無解Δ＜0名師導(dǎo)學(xué)知識點1橢圓定義的應(yīng)用【例1-1】(1)已知定點F1，F(xiàn)2，其中F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)，動點P滿足|PF1|＋|PF2|＝8，則動點P的軌跡是()A．橢圓 B．圓C．直線 D．線段(2)若P是以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上一點，則△PF1F2的周長等于()A．16 B．18C．20 D．不確定【分析】根據(jù)橢圓的定義求解．【解析】(1)∵|F1F2|＝8，∴|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，∴點P的軌跡是線段F1F2，故選D.(2)由eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1可知，c2＝a2－b2＝25－9＝16，∴c＝4，故F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)．∴|F1F2|＝8，根據(jù)橢圓的定義，可知|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，∴△PF1F2的周長為10＋8＝18，故選B.【答案】(1)D(2)B【例1-2】若方程eq\f(x2,16－m)＋eq\f(y2,m＋9)＝1表示焦點在y軸上的橢圓，則實數(shù)m的取值范圍是()A．－9＜m＜16 B．－9＜m＜eq\f(7,2)C.eq\f(7,2)＜m＜16 D．m＞eq\f(7,2)【分析】方程表示焦點在y軸上的橢圓，表明方程中y2下面對應(yīng)的分母大于x2下面對應(yīng)的分母，由此建立關(guān)于m的不等式組，求得實數(shù)m的取值范圍．【解析】依題意，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(16－m＞0，,m＋9＞0，,m＋9＞16－m，))解得eq\f(7,2)＜m＜16.【答案】C【變式訓(xùn)練1-1】設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1的兩個焦點，P是橢圓上一點，且點P到兩個焦點的距離之差為2，則△PF1F2是()A．鈍角三角形 B．銳角三角形C．斜三角形 D．直角三角形【解析】由題意，得|PF1|＋|PF2|＝8，|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3，又∵c2＝4，∴c＝2，2c＝4，即|F1F2|＝4.∴|PF2|2＋|F1F2|2＝|PF1|2，∴△PF1F2為直角三角形．【答案】D【變式訓(xùn)練1-2】若方程x2＋ky2＝3表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)k的取值范圍是________．【解析】將方程化為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,\f(3,k))＝1，由于它表示焦點在x軸上的橢圓，所以有3＞eq\f(3,k)＞0，解得k＞1.【答案】(1，＋∞)知識點2求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例2-1】求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)焦點坐標(biāo)分別為(0，－2)，(0,2)，且經(jīng)過點(4，3eq\r(2))；(2)a＝8，c＝6；(3)經(jīng)過兩點(eq\r(3)，－2)，(－2eq\r(3)，1)．【分析】(1)中有兩種方法，一是定義法，二是根據(jù)點在橢圓上求解；(2)中由于焦點所在的坐標(biāo)軸不確定，故分情況討論；(3)可利用橢圓的一般方程求解．【解】(1)解法一：由題意，得2a＝eq\r(4－02＋3\r(2)＋22)＋eq\r(4－02＋3\r(2)－22)＝(6＋eq\r(2))＋(6－eq\r(2))＝12，解得a＝6.又c＝2，∴b2＝a2－c2＝32.∴所求的橢圓的方程為eq\f(x2,32)＋eq\f(y2,36)＝1.解法二：∵橢圓的焦點在y軸上，設(shè)所求的橢圓方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(16,b2)＋\f(18,a2)＝1，,a2－b2＝4，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝36，,b2＝32.))∴所求的橢圓方程為eq\f(x2,32)＋eq\f(y2,36)＝1.(2)∵a＝8，c＝6，∴b2＝a2－c2＝64－36＝28.當(dāng)焦點在x軸上時，橢圓方程為eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,28)＝1；當(dāng)焦點在y軸上時，橢圓的方程為eq\f(y2,64)＋eq\f(x2,28)＝1.故所求的橢圓方程為eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,28)＝1或eq\f(y2,64)＋eq\f(x2,28)＝1.(3)設(shè)所求的橢圓的方程為Ax2＋By2＝1，其中A＞0，B＞0.由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3A＋4B＝1，,12A＋B＝1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝\f(1,15)，,B＝\f(1,5).))故所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,5)＝1.【變式訓(xùn)練2-1】已知F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)是橢圓C的兩個焦點，過F2且垂直于x軸的直線交橢圓C于A，B兩點，且|AB|＝3，則橢圓C的方程為()A.eq\f(x2,2)＋y2＝1 B．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D．eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1【解析】∵|AB|＝3，∴|AF2|＝eq\f(3,2)，∴在Rt△AF1F2中，|AF1|2＝eq\f(9,4)＋4＝eq\f(25,4)，即|AF1|＝eq\f(5,2)，∴|AF1|＋|AF2|＝4＝2a，即a＝2.∵c＝1，∴b＝eq\r(3)，∴橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.【答案】C知識點3橢圓的簡單幾何性質(zhì)【例3-1】求橢圓4x2＋9y2＝36的長軸長、焦距、焦點坐標(biāo)、頂點坐標(biāo)和離心率．【分析】欲解此題，需將橢圓化成標(biāo)準(zhǔn)形式，再確定焦點的位置及a，b，c的值，然后求解．【解】橢圓方程可變形為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，∴a＝3，b＝2，∴c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(9－4)＝eq\r(5).∴橢圓的長軸長和焦距分別為2a＝6,2c＝2eq\r(5)，焦點坐標(biāo)為F1(－eq\r(5)，0)，F(xiàn)2(eq\r(5)，0)，頂點坐標(biāo)為A1(－3,0)，A2(3,0)，B1(0，－2)，B2(0,2)，離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),3).【變式訓(xùn)練3-1】若直線x－2y＋2＝0經(jīng)過橢圓的一個焦點和一個頂點，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\f(x2,5)＋y2＝1B.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,5)＝1C.eq\f(x2,5)＋y2＝1或eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,5)＝1D．以上答案都不對【解析】直線與坐標(biāo)軸交于(0,1)，(－2,0)，當(dāng)焦點在x軸上時，c＝2，b＝1，∴a2＝5，∴方程為eq\f(x2,5)＋y2＝1；當(dāng)焦點在y軸上時，c＝1，b＝2，∴a2＝5，∴方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,5)＝1.【答案】C知識點4根據(jù)橢圓的性質(zhì)求橢圓的方程【例4-1】根據(jù)下列條件，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)長軸長為10，離心率為eq\f(3,5)；(2)焦點在x軸上，且一個焦點與短軸的兩個端點的連線互相垂直，焦距為6.【分析】欲求橢圓的方程，只需確定a，b的值，確定焦點所在的坐標(biāo)軸即可．【解】(1)由題意，得2a＝10，∴a＝5.又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,5)，∴c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.當(dāng)焦點在x軸上時，橢圓方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1；當(dāng)焦點在y軸上時，橢圓方程為eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,16)＝1.(2)∵焦距為6，∴2c＝6，∴c＝3.∵B1F⊥B2F，∴∠B1FO＝45°，∴|OB1|＝|OF|，∴b＝c＝3，∴a2＝b2＋c2＝18.∵焦點在x軸上，∴所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1.【變式訓(xùn)練4-1】(1)已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，離心率為eq\f(\r(3),2)，且橢圓C上一點到兩個焦點的距離之和為12，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________．(2)若橢圓eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,m)＝1的離心率為eq\f(1,2)，則m＝__________.【解析】(1)由題意，知2a＝12，∴a＝6.又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，∴c＝3eq\r(3).∴b2＝a2－c2＝36－27＝9.又∵焦點在x軸上，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1.(2)由題意，得e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，∴a2＝4c2＝4(a2－b2)，∴3a2＝4b2，當(dāng)焦點在x軸上時，a2＝2，b2＝eq\f(3,2)，即m＝eq\f(3,2)，當(dāng)焦點在y軸上時，b2＝2，a2＝m，a2＝eq\f(4,3)b2＝eq\f(8,3)，即m＝eq\f(8,3)，∴m＝eq\f(3,2)或eq\f(8,3).【答案】(1)eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1(2)eq\f(3,2)或eq\f(8,3)知識點5橢圓離心率的應(yīng)用【例5-1】我國自主研制的第一個月球探測器——“嫦娥一號”衛(wèi)星在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射后，在地球軌道上經(jīng)歷3次調(diào)相軌道變軌，奔向月球，進(jìn)入月球軌道，“嫦娥一號”軌道是以地心為一個焦點的橢圓，設(shè)地球半徑為R，衛(wèi)星近地點，遠(yuǎn)地點離地面的距離分別是eq\f(R,2)，eq\f(5R,2)(如圖所示)，則“嫦娥一號”衛(wèi)星軌道的離心率為()A.eq\f(1,5) B．eq\f(2,3)C.eq\f(2,5) D．eq\f(1,3)【分析】欲求離心率，只需由橢圓的幾何性質(zhì)分析得到a、c的值，再由e＝eq\f(c,a)計算可得．【解析】由題意，得a＋c＝eq\f(5,2)R＋R，a－c＝eq\f(R,2)＋R，∴a＝eq\f(5,2)R，c＝R，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(R,\f(5R,2))＝eq\f(2,5)，故選C.【答案】C【例5-2】若橢圓上存在點P，使得P到兩個焦點的距離之比為2∶1，求這個橢圓離心率的取值范圍．【分析】應(yīng)利用|PF|范圍，再求e范圍．【解】設(shè)|PF1|∶|PF2|＝2∶1，即|PF1|＝2|PF2|，又|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF2|＝eq\f(2a,3).又∵a－c≤|PF2|≤a＋c，∴a－c≤eq\f(2a,3)≤a＋c，解得e≥eq\f(1,3).又0＜e＜1，∴eq\f(1,3)≤e＜1.【變式訓(xùn)練5-1】已知直線l：y＝kx與橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)交于A，B兩點，其中右焦點F的坐標(biāo)為(c,0)，且AF與BF垂直，則橢圓C的離心率的取值范圍為()A.[eq\f(\r(2),2)，1） B．（0，eq\f(\r(2),2)）C.（eq\f(\r(2),2)，1） D．（0，eq\f(\r(2),2)]【解析】由題意得AF與BF垂直，運(yùn)用直角三角形斜邊的中線即為斜邊的一半，可得|OA|＝|OF|＝c.由|OA|＞b，即c＞b，得c2＞b2＝a2－c2，即c2＞eq\f(1,2)a2.又0<e<1，解得eq\f(\r(2),2)＜e＜1.【答案】C知識點6直線與橢圓的位置關(guān)系【例6-1】已知橢圓C：eq\f(x2,4)＋y2＝1.(1)若(eq\r(3)，n)在橢圓內(nèi)，求實數(shù)n的取值范圍；(2)m為何值時，直線y＝x＋m與橢圓C相交、相切、相離？【分析】對于(1)利用點與橢圓的位置關(guān)系求解；對于(2)，將直線與橢圓聯(lián)立，利用判別式求解．【解】(1)∵(eq\r(3)，n)在橢圓內(nèi)，∴eq\f(3,4)＋n2＜1，解得－eq\f(1,2)＜n＜eq\f(1,2).∴n的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))).(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,\f(x2,4)＋y2＝1，))得5x2＋8mx＋4m2－4＝0，Δ＝64m2－4×5×(4m2－4)＝16(4m2－5m2＋5)＝16(5－m2)．當(dāng)Δ＝16(5－m2)＞0，即－eq\r(5)＜m＜eq\r(5)時，直線與橢圓相交；當(dāng)Δ＝16(5－m2)＝0，即m＝±eq\r(5)時，直線與橢圓相切；當(dāng)Δ＝16(5－m2)＜0，即m＞eq\r(5)或m＜－eq\r(5)時，直線與橢圓相離．【變式訓(xùn)練6-1】直線y＝x＋2與橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,3)＝1有兩個公共點，則m的取值范圍是()A．m＞1 B．m＞1且m≠3C．m＞3 D．m＞0且m≠3【解析】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋2，,\f(x2,m)＋\f(y2,3)＝1，))得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0.由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝16m2－4m3＋m＞0，,m＞0，,m≠3，))解得m＞1且m≠3.【答案】B知識點7弦長問題【例7-1】求直線y＝x＋1被橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1所截得的弦長．【分析】將直線與橢圓方程聯(lián)立，再套弦長公式可求出弦長．【解】設(shè)直線y＝x＋1與橢圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋1，,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，))得3x2＋4x－2＝0.①由題意，得方程①有兩根x1，x2，根據(jù)韋達(dá)定理，得x1＋x2＝－eq\f(4,3)，x1x2＝－eq\f(2,3)，∴|AB|＝eq\r(1＋k2)|x2－x1|＝eq\r(2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(2)·eq\r(\f(16,9)＋\f(8,3))＝eq\f(4\r(5),3).∴直線y＝x＋1被eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1所截得的弦長為eq\f(4\r(5),3).【變式訓(xùn)練7-1】已知直線l：y＝kx＋1與橢圓eq\f(x2,2)＋y2＝1交于M，N兩點，且|MN|＝eq\f(4\r(2),3)，則k＝________.【解析】設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,\f(x2,2)＋y2＝1，))得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，所以x1＋x2＝－eq\f(4k,1＋2k2)，x1x2＝0.由|MN|＝eq\f(4\r(2),3)，得(1＋k2)(x1－x2)2＝eq\f(32,9)，所以(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝eq\f(32,9)，即(1＋k2)eq\f(－4k,1＋2k2)2＝eq\f(32,9)，化簡得k4＋k2－2＝0，所以k2＝1，所以k＝±1.【答案】±1知識點8直線與橢圓的綜合應(yīng)用【例8-1】設(shè)橢圓C：eq\f(x2,2)＋y2＝1的右焦點為F，過F的直線l與橢圓C交于A，B兩點，點M的坐標(biāo)為(2,0)．(1)當(dāng)l與x軸垂直時，求直線AM的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點，證明：∠OMA＝∠OMB.【分析】(1)由橢圓C的方程可求得右焦點F的坐標(biāo)，由于l⊥x軸，從而求出A的坐標(biāo)，進(jìn)一步可求得AM的方程；(2)對直線l分三種情況討論：當(dāng)直線l與x軸重合時，可直接求得∠OMA＝∠OMB；當(dāng)直線l⊥x軸時，可直接求得∠OMA＝∠OMB；當(dāng)直線l與x軸不重合也不垂直時，可設(shè)l的方程為y＝k(x－1)(k≠0)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用斜率公式表示出kMA＋kMB.把直線l的方程代入橢圓C的方程，消去y轉(zhuǎn)化為x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可證明kMA＋kMB＝0，從而證得∠OMA＝∠OMB.【解】(1)由橢圓方程為eq\f(x2,2)＋y2＝1，得F(1,0)，當(dāng)l與x軸垂直時，l的方程為x＝1.由已知可求得，點A的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(2),2)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(\r(2),2))).又M(2,0)，所以AM的方程為y＝－eq\f(\r(2),2)x＋eq\r(2)或y＝eq\f(\r(2),2)x－eq\r(2).(2)當(dāng)l與x軸重合時，∠OMA＝∠OMB；當(dāng)l⊥x軸時，OM為AB的垂直平分線，所以∠OMA＝∠OMB；當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時，設(shè)l的方程為y＝k(x－1)(k≠0)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1<eq\r(2)，x2<eq\r(2)，則直線MA，MB的斜率之和為kMA＋kMB＝eq\f(y1,x1－2)＋eq\f(y2,x2－2).由y1＝kx1－k，y2＝kx2－k，得kMA＋kMB＝eq\f(2kx1x2－3kx1＋x2＋4k,x1－2x2－2).將y＝k(x－1)代入eq\f(x2,2)＋y2＝1，得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0.所以x1＋x2＝eq\f(4k2,2k2＋1)，x1x2＝eq\f(2k2－2,2k2＋1).則2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝eq\f(4k3－4k－12k3＋8k3＋4k,2k2＋1)＝0，所以kMA＋kMB＝0，故MA，MB的傾斜角互補(bǔ)，從而∠OMA＝∠OMB.綜上，∠OMA＝∠OMB.【變式訓(xùn)練8-1】如果點M(x，y)在運(yùn)動過程中總滿足關(guān)系式eq\r(x－2\r(2)2＋y2)＋eq\r(x＋2\r(2)2＋y2)＝4eq\r(3).(1)說明M的軌跡是什么曲線并求出它的軌跡方程；(2)設(shè)直線l：y＝－x＋m(m∈R)與點M的軌跡交于不同兩點A，B，且|AB|＝3eq\r(2)，若點P(x0,2)滿足(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，求x0.【解】(1)M的軌跡是橢圓．由題中關(guān)系式，可得M(x，y)到(2eq\r(2)，0)，(－2eq\r(2)，0)的距離之和為4eq\r(3).∴2a＝4eq\r(3)，a＝2eq\r(3)，c＝2eq\r(2)，∴b2＝a2－c2＝12－8＝4，∴M的軌跡方程為eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB＝eq\r([1＋－12]·[x1＋x22－4x1x2])＝3eq\r(2)，即(x1＋x2)2－4x1x2＝9，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋m，,\f(x2,12)＋\f(y2,4)＝1，))得4x2－6mx＋3m2－12＝0，∴x1＋x2＝eq\f(3,2)m，x1x2＝eq\f(3m2－12,4)，∴eq\f(9,4)m2－4·eq\f(3m2－12,4)＝9，得m2＝4，∴m＝±2.又(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0等價于P與AB中點連線與AB垂直，設(shè)AB中點為Q，則kPQ＝1，即eq\f(\f(y1＋y2,2)－2,\f(x1＋x2,2)－x0)＝1，代入得x0＝eq\f(m,2)＋2，∴x0＝3或1.名師導(dǎo)練3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程A組-[應(yīng)知應(yīng)會]1．對于m，n，“mn>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示的曲線是橢圓”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解析】若方程mx2＋ny2＝1表示橢圓，則m>0，n>0，且m≠n，可推得mn>0.反之不成立，所以“mn>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示的曲線是橢圓”的必要不充分條件．【答案】B2．方程eq\r(x＋12＋y2)＋eq\r(x－12＋y2)＝2表示()A．橢圓 B．圓C．直線 D．線段【解析】設(shè)P(x，y)，A(－1,0)，B(1,0)，則方程表示|PA|＋|PB|＝2，而|AB|＝2.∴|PA|＋|PB|＝|AB|，∴方程表示線段AB.【答案】D3．橢圓5x2＋ky2＝5的一個焦點是(0,2)，則k的值為()A．1 B．－eq\f(3,5)C.eq\f(3,5) D．25【解析】將橢圓5x2＋ky2＝5化為標(biāo)準(zhǔn)方程x2＋eq\f(y2,\f(5,k))＝1，由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(5,k)>1，,\f(5,k)－1＝4，))∴k＝1.【答案】A4．已知△ABC的周長為18，|AB|＝8，A(－4,0)，B(4,0)，|CA|<|CB|，則點C的軌跡方程為()A.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0)B.eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1(y≠0)C.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0，x<0)D.eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1(y≠0，x<0)【解析】∵|CA|＋|AB|＋|CB|＝18，|AB|＝8，∴|CA|＋|CB|＝10>|AB|，∴點C的軌跡是橢圓，且2a＝10,2c＝8，∴a＝5，c＝4，∴b2＝a2－c2＝9，∴橢圓方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1.又∵|CA|<|CB|，∴x<0，y≠0.【答案】C5．設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)分別為(－1,0)，(1,0)，條件甲：點C滿足eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＞0；條件乙：點C的坐標(biāo)是方程eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(y≠0)的解．則甲是乙的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不是充分條件也不是必要條件【解析】∵設(shè)C(x，y)，且eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，∴eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(x＋1，y)·(x－1，y)＝(x＋1)(x－1)＋y2＝x2＋y2－1＝x2＋3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x2,4)))－1＝eq\f(1,4)x2＋2＞0.∴甲是乙的必要不充分條件．【答案】B6．已知橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其兩焦點，P為橢圓上任意一點．則|PF1|·|PF2|的最大值為()A．16 B．4C．8 D．2【解析】設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，則m＋n＝2a＝4，|PF1|·|PF2|＝mn≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋n,2)))2＝4(當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝2時，等號成立)．【答案】B7．設(shè)P是橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1上的點，若F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，則|PF1|＋|PF2|等于________．【解析】|PF1|＋|PF2|＝2a＝6.【答案】68．橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,2)＝1的焦點為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上，若|PF1|＝4，則|PF2|＝________，∠F1PF2＝________.【解析】∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又|PF1|＝4，∴|PF2|＝2.又|F1F2|＝2c＝2eq\r(7)，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)＝eq\f(16＋4－28,2×4×2)＝－eq\f(1,2)，又∠F1PF2∈(0，π)，∴∠F1PF2＝eq\f(2,3)π.【答案】2eq\f(2,3)π9．若橢圓eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1上一點P與其兩焦點F1，F(xiàn)2連線的夾角為直角，則|PF1|·|PF2|＝________.【解析】由題意，得|PF1|＋|PF2|＝14，|F1F2|＝10.∵|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|＝|F1F2|2.∴|PF1|·|PF2|＝48.【答案】4810．(1)已知橢圓的焦點為F1(－1,0)和F2(1,0)，P是橢圓上的一點，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中項，求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,m2)＝1(m＞0)，且焦距為6，求實數(shù)m的值．【解】(1)∵F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，∴|F1F2|＝2.又|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中項，∴|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4＝2a，∴a＝2，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.又此橢圓焦點在x軸上，∴所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)∵2c＝6，∴c＝3.當(dāng)橢圓的焦點在x軸上時，則a2＝25，b2＝m2，則a2－b2＝25－m2＝c2＝9.∴m2＝25－9＝16，又m＞0，∴m＝4.當(dāng)橢圓的焦點在y軸上時，a2＝m2，b2＝25，c2＝a2－b2＝m2－25＝9，∴m2＝34.又m＞0，∴m＝eq\r(34).綜上，實數(shù)m的值為4或eq\r(34).11．已知P為橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(4y2,75)＝1上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的焦點，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面積．【解】在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°，即|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|，由橢圓定義，得10＝|PF1|＋|PF2|，|F1F2|＝5，代入上式得|PF1|·|PF2|＝25，∴S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|sin60°＝eq\f(25\r(3),4).12．已知點A，B的坐標(biāo)分別是A(0，－1)，B(0,1)，直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是－t，t∈(0,1]．求M的軌跡方程，并說明曲線的類型．【解】設(shè)M(x，y)，則kBM＝eq\f(y－1,x－0)(x≠0)，kAM＝eq\f(y－－1,x－0)(x≠0)，由題意，得kBMkAM＝－t，即eq\f(y－1,x－0)·eq\f(y－－1,x－0)＝－t(x≠0)，整理得y2＋eq\f(x2,\f(1,t))＝1(x≠0)．①當(dāng)t∈(0,1)時，M的軌跡為橢圓(除去A和B兩點)；②當(dāng)t＝1時，M的軌跡為圓(除去A和B兩點)．B組-[素養(yǎng)提升]已知橢圓C的焦點為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，過F2的直線與橢圓C交于A，B兩點．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則橢圓C的方程為()A.eq\f(x2,2)＋y2＝1 B．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D．eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1【解析】設(shè)|F2B|＝x，則|AF2|＝2x，|BF1|＝3x，∴|BF1|＋|BF2|＝4x＝2a，∴x＝eq\f(a,2)，|AF2|＝a，則由橢圓定義|AF1|＝a，在△AF1F2和△AF1B中，根據(jù)余弦定理，cosA＝eq\f(a2＋a2－4,2a2)＝eq\f(a2＋\f(9,4)a2－\f(9,4)a2,2a·\f(3,2)a)，解得a2＝3，c2＝1，b2＝2.則橢圓C的方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.【答案】B 3.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)A組-[應(yīng)知應(yīng)會]1．短軸長等于8，離心率等于eq\f(3,5)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,64)＝1B.eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,64)＝1或eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,100)＝1C.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1D.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1或eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1【解析】∵離心率e＝eq\f(3,5)，短軸長為8，∴eq\f(c,a)＝eq\f(3,5)，b＝4，又a2－b2＝c2，解得a2＝25，b2＝16.∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1或eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,16)＝1.【答案】D2．(開封模擬)已知焦點在x軸上的橢圓的離心率為eq\f(1,2)，且它的長軸長等于圓C：x2＋y2－2x－15＝0的半徑，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1C.eq\f(x2,4)＋y2＝1 D．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1【解析】由圓C：x2＋y2－2x－15＝0，得(x－1)2＋y2＝16，∴圓C的半徑r＝4，∴2a＝4，a＝2.又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.又焦點在x軸上，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.【答案】A3．以橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的短軸頂點為焦點，離心率e＝eq\f(1,2)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\f(y2,36)＋eq\f(x2,27)＝1 B．eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,27)＝1C.eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,75)＝1 D．eq\f(y2,100)＋eq\f(x2,75)＝1【解析】由題意得，所求橢圓中c＝3，e＝eq\f(1,2)＝eq\f(c,a)，a＝6，b2＝36－9＝27，焦點在y軸上，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,36)＋eq\f(x2,27)＝1.【答案】A4．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則橢圓C的離心率為()A.eq\f(\r(6),3) B．eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),3) D．eq\f(1,3)【解析】由題意知，以A1A2為直徑的圓的圓心為(0,0)，半徑為a.又直線bx－ay＋2ab＝0與圓相切，∴圓心到直線的距離d＝eq\f(2ab,\r(a2＋b2))＝a，解得a＝eq\r(3)b，∴eq\f(b,a)＝eq\f(1,\r(3))，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3))))2)＝eq\f(\r(6),3).【答案】A5．我們把離心率為黃金比eq\f(\r(5)－1,2)的橢圓稱為“優(yōu)美橢圓”．設(shè)F1，F(xiàn)2是“優(yōu)美橢圓”C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩個焦點，則橢圓C上滿足∠F1PF2＝90°的點P的個數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．4【解析】如圖所示，在Rt△OF1B中，|F1B|＝a，|OF1|＝c，則sin∠F1BO＝eq\f(|OF1|,|F1B|)＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5)－1,2)<eq\f(\r(2),2)，∴∠F1BO<45°，∴∠F1BF2<90°.又∵∠F1PF2≤∠F1BF2，∴滿足∠F1PF2＝90°的點P不存在．【答案】A6．已知焦點在x軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋y2＝1(a>0)，過焦點F作x軸的垂線交橢圓于A，B兩點，且|AB|＝1，則該橢圓的離心率為()A.eq\f(\r(3),2) B．eq\f(1,2)C.eq\f(\r(15),4) D．eq\f(\r(3),3)【解析】∵橢圓eq\f(x2,a2)＋y2＝1的焦點在x軸上，∴焦點坐標(biāo)為(±eq\r(a2－1)，0)．由題意，得eq\f(a2－1,a2)＋y2＝1，∴y＝±eq\f(1,a).∵|AB|＝1，∴eq\f(2,a)＝1，∴a＝2，∴c＝eq\r(a2－1)＝eq\r(3)，∴離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2).【答案】A7．已知F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩個焦點，P為橢圓上一點，且eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝c2，則此橢圓離心率的取值范圍是________．【解析】設(shè)P(x，y)，則eq\o(PF1,\s\up6(→))＝(x＋c，y)，eq\o(PF2,\s\up6(→))＝(x－c，y)，∴eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝x2－c2＋y2＝c2，即x2＋y2＝2c2，即橢圓上存在點P，使得|PO|＝eq\r(2)c，又|PO|∈[b，a]∴b≤eq\r(2)c≤a，b2≤2c2≤a2，由a2－c2≤2c2，得e≥eq\f(\r(3),3)，由2c2≤a2，e2≤eq\f(1,2)，∴e≤eq\f(\r(2),2)，∴e∈eq\f(\r(3),3)，eq\f(\r(2),2).【答案】eq\f(\r(3),3)，eq\f(\r(2),2)8．已知F1，F(xiàn)2是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的兩個焦點，P為橢圓短軸的端點，且∠F1PF2＝90°，則該橢圓的離心率為________．【解析】由題，可知|OP|＝|OF2|，∴b＝c，∴a2＝2c2，∴e2＝eq\f(1,2)，即e＝eq\f(\r(2),2).【答案】eq\f(\r(2),2)9．設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1的兩個焦點，M為橢圓C上一點且在第一象限．若△MF1F2為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為________．【解析】設(shè)M(m，n)，m，n＞0，橢圓C：eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1的a＝6，b＝2eq\r(5)，c＝4，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,3)，由M為橢圓C上一點且在第一象限，得|MF1|＞|MF2|.又△MF1F2為等腰三角形，可能|MF1|＝2c或|MF2|＝2c，即有6＋eq\f(2,3)m＝8，即m＝3，n＝eq\r(5)，或6－eq\f(2,3)m＝8，即m＝－3＜0，舍去．綜上，M(3，eq\r(15))．【答案】(3，eq\r(15))10．已知橢圓的中心在原點，對稱軸是坐標(biāo)軸，離心率e＝eq\f(\r(3),2)，且過點P(2,3)，求此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解】①當(dāng)焦點在x軸上時，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(\r(3),2)，,\f(4,a2)＋\f(9,b2)＝1，,a2＝b2＋c2，))解得a2＝40，b2＝10，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,40)＋eq\f(y2,10)＝1；②當(dāng)焦點在y軸上時，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(\r(3),2)，,\f(9,a2)＋\f(4,b2)＝1，,a2＝b2＋c2，))解得a2＝25，b2＝eq\f(25,4)，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,\f(25,4))＝1.綜上，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,40)＋eq\f(y2,10)＝1或eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,\f(25,4))＝1.11．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的上頂點坐標(biāo)為(0，eq\r(3))，離心率為eq\f(1,2).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)P為橢圓上一點，A為橢圓左頂點，F(xiàn)為橢圓右焦點，求eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))的取值范圍．【解】(1)由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝\r(3)，,\f(c,a)＝\f(1,2)，,a2＝b2＋c2.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝\r(3)，,c＝1.))∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)由(1)得，A(－2,0)，F(xiàn)(1,0)，設(shè)P(x，y)，則eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－2－x，－y)，eq\o(PF,\s\up6(→))＝(1－x，－y)，∴eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))＝(－2－x)(1－x)＋y2＝x2＋x－2＋3－eq\f(3,4)x2＝eq\f(1,4)x2＋x＋1＝eq\f(1,4)(x＋2)2(－2≤x≤2)．∴eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))∈[0,4]．12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)．已知點(1，e)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e，\f(\r(3),2)))都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率．求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解】由題設(shè)，知a2＝b2＋c2，e＝eq\f(c,a)，由點(1，e)在橢圓上，得eq\f(12,a2)＋eq\f(e2,b2)＝1，即eq\f(1,a2)＋eq\f(c2,a2b2)＝1，∴b2＋c2＝a2b2，∴a2＝a2b2，∴b2＝1，∴c2＝a2－1.由點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e，\f(\r(3),2)))在橢圓上，得eq\f(e2,a2)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2,b2)＝1，即eq\f(c2,a4)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2,1)＝1，∴eq\f(a2－1,a4)＋eq\f(3,4)＝1，整理得a4－4a2＋4＝0，解得a2＝2.∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,2)＋y2＝1.B組-[素養(yǎng)提升]已知橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的左焦點為F，點P在橢圓上且在x軸的上方，若線段PF的中點在以原點O為圓心，|OF|為半徑的圓上，則直線PF的斜率是________．【解析】如圖，設(shè)右焦點為F1，PF中點為M，則OM為△FPF1的中位線，由題意，得|OF|＝2，則|OM|＝2，|PF1|＝4，又|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF|＝2，在△PFF1中，cos∠PFF1＝eq\f(16＋4－16,2×4×2)＝eq\f(1,4)，∴sin∠PFF1＝eq\f(\r(15),4)，∴k＝tan∠PFF1＝eq\r(15).【答案】eq\r(15)3.1.3直線與橢圓的位置關(guān)系A(chǔ)組-[應(yīng)知應(yīng)會]1．過橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,3)＝1(a＞eq\r(3))的焦點，作垂直于x軸的直線，交橢圓于A，B兩點，若|AB|＝eq\f(3,2)，則a的值為()A．4 B．2C．3 D．9【解析】∵|AB|＝eq\f(2b2,a)＝eq\f(6,a)＝eq\f(3,2)，∴a＝4.【答案】A2．過坐標(biāo)原點，作斜率為eq\r(2)的直線，交橢圓eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1于A，B兩點，則|AB|的長為()A．2 B．4C.eq\f(4\r(3),3) D．eq\f(2\r(3),3)【解析】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(2)x，,x2＋4y2＝12，))得x2＝eq\f(4,3)，解得x＝±eq\f(2\r(3),3)，∴|AB|＝eq\r(1＋k2)|x2－x1|＝eq\r(3)×eq\f(4\r(3),3)＝4.【答案】B3．已知圓M：x2＋y2＋2mx－3＝0(m＜0)的半徑為2，橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,3)＝1的左焦點為F(－c,0)，若經(jīng)過F點且垂直于x軸的直線l與圓M相切，則a的值為()A.eq\f(3,4) B．1C．2 D．4【解析】圓M的方程可化為(x＋m)2＋y2＝3＋m2，則由題意得m2＋3＝4，即m2＝1(m＜0)，∴m＝－1，則圓心M的坐標(biāo)為(1,0)．由題意知，直線l的方程為x＝－c，又∵直線l與圓M相切，∴c＝1，∴a2－3＝1，∴a＝2.【答案】C4．設(shè)直線l過橢圓C的一個焦點，且與C的一條對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，