高中數(shù)學第四章導數(shù)應用4.1.2函數(shù)的極值筆記北師大版選修

函數(shù)的極值

1.創(chuàng)設情境引入課題“橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同”說的是廬山的高低起伏錯落有致，在群山中各個山峰的頂端雖然不一定是群山的最高處，但它卻是附近的最高點.如圖為某同學繪制的廬山主峰剖面圖。

2.提出問題分析探究問題1：觀察圖像，在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)值有何特點？問題2：函數(shù)值在定義域內(nèi)一定是最大值嗎？問題3：對于函數(shù)在，上，其單調(diào)性與導函數(shù)的符號有何特點？問題4：函數(shù)在上，結論如何？

3.抽象概括形成概念函數(shù)的極值（1）極大值：在包含的一個區(qū)間內(nèi)，函數(shù)在任意一點的函數(shù)值都小于或等于

點的函數(shù)值，稱點為函數(shù)的極大值點，其函數(shù)值為函數(shù)的極大值。（2）極小值：在包含的一個區(qū)間內(nèi),函數(shù)在任意一點的函數(shù)值都大于或等于點的函數(shù)值，稱點為函數(shù)的極小值點，其函數(shù)值為函數(shù)的極小值。（3）極值：極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點。

4.循序漸進完善新知概念辨析：(i)極值是一個局部概念。由定義可知極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或者最小。并不意味它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最小。(ii)函數(shù)的極值不是唯一的。即函數(shù)在某區(qū)間上或者定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個。(iii)極大值與極小值之間無確定關系。即極大值未必大于極小值。(iv)函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點不能成為極值點。

4.循序漸進完善新知小組合作探究：（極值與導數(shù)的關系）

結合問題3和極值的定義，如何求函數(shù)的極值呢？問題3：對于函數(shù)在，上，其單調(diào)性與導函數(shù)的符號有何特點？②如果函數(shù)在區(qū)間上是遞減的，在區(qū)間上是遞增的，則是極小值點，是極小值。①如果函數(shù)在區(qū)間上是遞增的，在區(qū)間上是遞減的，則是極大值點，是極大值。函數(shù)極值的判定

4.循序漸進完善新知（1）根據(jù)定義，利用函數(shù)單調(diào)性判別：①如果函數(shù)在區(qū)間上是遞增的，在區(qū)間上是遞減的，則是極大值點，是極大值。②如果函數(shù)在區(qū)間上是遞減的，在區(qū)間上是遞增的，則是極小值點，是極小值。4.循序漸進完善新知（2）利用導數(shù)和單調(diào)性的關系，圖表判別：①極大值的判定+0-

增加極大值

減?、跇O小值的判定-0+

減小極小值

增加

5.新知演練形成反饋例1求下列函數(shù)的極值.（1）（2）

5.新知演練形成反饋例1:求下列函數(shù)的極值.（1）（2）求函數(shù)的極值點的步驟：1.確定函數(shù)定義域，并求出導數(shù).2.解方程.3.對于方程的每個解，分析在左右兩側(cè)的符號（即的單調(diào)性），確定極值點：（1）若在兩側(cè)的符號“左正右負”，則為極大值點；（2）若在兩側(cè)的符號“左負右正”，則為極小值點；（3）若在兩側(cè)的符號相同，則不是極值點.解：由題意得

5.新知演練形成反饋0+0+

增加

增加

由極值的定義得，此函數(shù)無極值.例2:判斷函數(shù)有無極值.

對于可導函數(shù)，導數(shù)為零的點不一定是極值點，而極值點的導數(shù)一定為零。導數(shù)為零是函數(shù)有極值的必要不充分條件。

5.新知演練形成反饋練習：求函數(shù)

的極值.解：由題意得函數(shù)的定義域為0(0,3)3——+極小值故當時，函數(shù)有極小值

5.新知演練形成反饋鏈接高考：例3：若函數(shù)在R上只有一個零點，求常數(shù)k的取值范圍.規(guī)律方法：1、本題的關鍵是根據(jù)單調(diào)性和極值的關系畫草圖。2、極值問題的綜合應用主要涉及到極值的正用和逆用，以及與單調(diào)性問題的綜合。

5.新知演練形成反饋互動探究

在本例中，若函數(shù)在R上恰有三個不同的零點，求常數(shù)k的取值范圍.求函數(shù)的極值點的步驟：（1）求函數(shù)定義域；（2）求出導數(shù)（3）解方程（4）列表，判斷極值.6.回顧反思總結提煉

課堂小結:（1）通過本節(jié)課的學習，學生要掌握求函數(shù)極值的基本步驟。（2）對于可導函數(shù)，導數(shù)為零的點不一定是極值點，而極值點的導數(shù)一定為零。導數(shù)為零是函數(shù)有極值的必要不充分條件。（3）函數(shù)極值是函數(shù)部分區(qū)域的特征，極值點一定是某一區(qū)間內(nèi)的點，而不能