2023高考數(shù)學(xué)大二輪刷題-理數(shù)第一部分考點十三

考點十三數(shù)列綜合問題

A卷

一、選擇題

1.若數(shù)列｛斯｝滿足飆+1+m=（-1產(chǎn)％則數(shù)列｛?。那?0項和為（）

A.-100B.100C.-110D.110

答案A

—

解由Cln+1+Un=（-1）”?〃，?（導(dǎo)（72+471——1,473+4Z4=—3,。5+C16—5,...,

419+020=—19,｛Cln｝的刖20項和為<21+6Z2+...+419+（120=—1—3—...—19=

1+19

xl0=-100.

2.（2021.山西太原二模）已知斐波那契螺旋線被譽(yù)為自然界最完美的“黃金螺

旋線”，它的畫法是:以斐波那契數(shù)列（即m=。2=1,斯+2=斯+1+麗〃€柏）的各

項為邊長的正方形拼成長方形，然后在每個正方形中畫一個圓心角為90。的圓弧,

將這些圓弧依次連起來的弧線就是斐波那契螺旋線.自然界存在很多斐波那契螺

旋線的圖案，例如向日葵、鸚鵡螺等.如圖為該螺旋線的一部分，則第七項所對

應(yīng)的扇形的弧長為（）

答案C

解析由斐波那契數(shù)的規(guī)律可知，從第三項起，每一個數(shù)都是前兩個數(shù)之和,

從而可知斐波那契數(shù)的前七個數(shù)分別是1,1,2,3,5,8,13.即第7項為13,所以第7項

所構(gòu)成的扇形的半徑為13,所以其對應(yīng)的扇形的弧長為支故選C.

3.已知數(shù)列｛z｝的首項m=21,且滿足(2〃-5)如+1=(2〃-3)%+4〃2-16〃+

15,則｛而｝中最小的一項是()

A?。5B.aeC.aiD.as

答案A

解析由已知得箸:、+1,丹=-7,所以數(shù)歹I"蠟飛｝是首項為-

Zn—3in—jZ—Jin—J

7,公差為1的等差數(shù)列，至色、=-7+(n-l)=n-8,則a,=(2〃-5)(〃-8)=2層

In-j

21

-21n+40,因為友=5.25,所以｛4,｝中最小的一項是第5項.故選A.

1+?！?/p>

4.(2021.內(nèi)蒙古呼和浩特一模)若數(shù)列｛斯｝滿足ai=2,an+i=~一(〃WN*),

1-Cln

則該數(shù)列的前2021項的乘積是()

A.-2B.-1C.2D.1

答案C

1+Un

1?+。〃+11+11--—----11

解析由遞推關(guān)系式，得。，+2=「7-=-iTT=-廣，則斯+4=---=

1—Cln+11+UnCln+2

a”，」.｛z｝是以4為周期的一個周期數(shù)列.計算可得切=2,G=-3,。3=-/

6?4=p。5=2,,;.aia2a3。4=1,.,?ara21.ja2020.a202i=Q2021=ai=2.故選C.

5.已知數(shù)列｛“"｝的通項公式為。"="+芋，則|ai-。2|+|。2-。3|+…+|。99-

aiool=()

A.150B.162C.180D.210

答案B

解析由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)〃00時，數(shù)列｛?。f減；當(dāng)〃N10時，數(shù)

列｛如｝遞增.所以|ai-a2\+\ai-a^+...+|g)-aiool=(ai-ai)+Q-<23)+...+(09

-tzio)+(an-4zio)+(a12-an)+...+(aioo-099)=a\-aio+aioo-aio=1+100-(10

+10）+（100+1）-（10+10）=162.

6.（2021?四川成都二診）已知數(shù)列｛而｝的前〃項和S”滿足S,,=n2,記數(shù)列

120

.藐77的前〃項和為了"，則使得"的〃的最大值為（）

A.17B.18C.19D.20

答案C

解析當(dāng)〃=1時，ai=Si=1;當(dāng)n>2時,an=Sn-i=n2-（n-l）2=2n-1；

而ai=2x1-1=1也符合=2〃一1,所以an=2n-I,nGN*.又一"-=J（°1]

Clndn+1，2〃-1

1、一—1,11111、1,1、

.第p，所以F（一爐-/…+亦T-汨7T）=2X（1-五77）=

Z777，若加壽則大看〈券，解得〃<20,因為〃6N*,所以〃的最大值為19.

故選C.

7.(2021?山西長治二中第六次模擬)在數(shù)列｛斯｝及｛5｝中,an+l=an+bn+

設(shè)C”=2"（：+｝）,則數(shù)列｛CH｝

On+bn,bn\=an+bn-y]On+hn,41=1,b\=1

+UnDn

的前〃項和為（）

A.2"1_叭/〃_]B.2l,+'-2n

C.3-2"+2n-4D.2n+2-4

答案D

解析由題設(shè)知，。"+1+bn+i=2（a（+bn）,an+\bn+1=2%,而ai+bi=2,a\b\

=1,??.｛a”+從｝是首項為2,公比為2的等比數(shù)列，｛&及｝是首項為1,公比為2

112,,（4Z/>+bit）2"'

的等比數(shù)列，二。"+加=2",anbn=T',則C"=2"（￡+濡）=~=2^

4（1-2"）、

=2"+1，，數(shù)列｛C"｝的前〃項和為Tn二.一1.一一=2"2_4.故選D.

1-Z

8.(2021.海南中學(xué)高三第五次模擬)已知函數(shù)y=/(x)的定義域為(0,+8),當(dāng)

x>\時，加)>0；對任意的x,>'€(0,+8),於)+?=於少)成立.若數(shù)列｛"〃｝滿

足ai=?l),且犬。"+1)=.*2斯+1)(〃€N*),則。2020的值為()

A.21009-1B.21010-1C.22019-1D.22020-1

答案C

解析當(dāng)X>1時，危)>0,在(0,+8)上任取兩數(shù)叫X2,且X1<X2,令資=攵>1,

則;(幻>0.，兀切=穴去。=穴幻即凡r)在(0,+8)上是單調(diào)增函數(shù).令X

=y=i,則次1)+火i)=/U),解得火D=o.而數(shù)列｛。〃｝滿足0=/U)=o,..?犬小+0

=fl2an+1),?€N*,：.an+1=2a>i+1,則以+i+1=2(“”+1),.,.數(shù)列｛a”+1｝是首

項為1,公比為2的等比數(shù)列，得m+1=2"；.?,=2"7-1,故。202。=22°19一

1.故選C.

二、填空題

9.(2021?河南鄭州高三第一次質(zhì)量檢測)數(shù)列｛小｝中,0=2,a,n+n=aman,若

以+2+或+3+…+以+”=2"-2§,貝ljk=.

答案3

Cln1

解析因為防=2,amn=aan,所以?！?1=。以1,所以=-+二41=2,｛。〃｝是

+fnCln

A+3

等比數(shù)列,公比為2.所以a,,=2".因為ak+2+以+3+...+ak+n=”+2+...+2k

+ii=2?+口_2^+2=215—25,所以后=3.

/?-7*

10.已知二蛆(〃WN*),設(shè)?！睘閿?shù)列他〃｝的最大項，貝【]〃?=.

答案8

x-7I—I—

解析因為函數(shù)y=.56在(一8,5啦)，(5啦，+QO)上單調(diào)遞減，結(jié)合該

函數(shù)圖象可得。8>。9>……>。7,即。8為數(shù)列｛而｝的最大項，故根=8.

11.(2021.廣東興寧市第一中學(xué)模擬)已知函數(shù)式〃)=/cos(〃7i),且雨=犬〃)+

fin+1),貝|J0+Q2+…+420=.

答案-20

22

解析當(dāng)n為奇數(shù)時,an=危)+危+1)=ncos(?7i)+(n+1)-COS[(H+1)K]=(n

22

+1)2-序=2〃+1.當(dāng)n為偶數(shù)時,an=/(n)+1)=ncos(nK)+(n+l)-cos[(n+

‘2〃+1,〃為奇數(shù)，

1)兀]=_(〃+1/=-2n-1.an=Cl\+。2+…+

⑵?+1),〃為偶數(shù),

020=3-5+7-9+11-13+...+39-41=(3-5)+(7-9)+(11-13)+...+(39-

41)=(-2)xl0=-20.

12.(2021.陜西西安交大附中四模)在數(shù)列但”｝中，ai=2,且①+⑧」=：

Un

+2(?>2),貝IJ數(shù)歹ij｛±2一[,上弓｝的前2021項和為

Z.Cln―十乙

2021

答案2022

n

解析,/a+a_i=+2(n>2),：.(a+a_\)(a-i)=n+2(a?-a

nnCln_1nnnn

i),即晶一忌_i—_i=〃，?,.-1>—_i—1)~=〃(〃22),_i—1)?—(a〃

_2-l)2=n-l,(<22-l)2-(ai-I)2=2,將以上各式累加，可得(汝-l)2-(ai

一1)2=〃+(〃_1)+...+2,將0=2代入，可得(如-1)2=1+2+…+〃=

〃5+1)]_2\1]_

2'(&-1)2=〃(〃+1)=2(「Rf)'則2忌-4a”+2=

4(/1)2=!-=二數(shù)列12忌二"+2｝的前2021項和為1J+3J+…

1112021

+2021-2022=1_2022=2022'

三、解答題

13.(2021.河南鄭州第二次質(zhì)量預(yù)測)已知數(shù)列｛念｝滿足ai=1,S“=

(rt+1)an

2?

(1)求數(shù)列｛z｝的通項公式；

,2a+1一

(2)若2=(-I)-----n---數(shù)列｛兒｝的前〃項和為乙，求乃021.

ClnCln+1

(九+1)Un

解(由

1)m=l,Sn=2,①

可得論2時，Sn.]=12—，②

(〃+l)anna.\

由①一②可得Z=SLS〃_1=n

、1d\

為(幾1—HCln-1,即—[=...=[=1,

nn-Ii

可得an=n,上式對n=1也成立，

則數(shù)列■〃｝的通項公式為an=n,neN*.

,2a”+12〃+1

⑵兒二（一］嚴(yán)|不=（一1）""；77”17

=（T）W（%占），

(1+1)-(|+|)+(|+1)-...+1_2023

所以72021=1+2022=2022"

14.在數(shù)列｛〃"｝中，a\=^,(4/z-2)??+1=(2n+l)a?.

⑴設(shè)兒=表7,證明｛瓦｝是等比數(shù)列，并求｛?。耐椆?

乙n—1

⑵設(shè)S"為數(shù)列他"｝的前〃項和，證明：S，v3.

解（1）因為m=g,（4/2-2）0?+1=（2?+1）an,

CLn+1

bn^=2^\'

、bn+\(2〃-1)an+l1

所以丁=(2/7+1)a?=2'

?,a\1

又=T=2,

所以｛a｝是首項為:，公比為:的等比數(shù)列.

12n-1

-1-日〃〃,

于W〃-1=加==2??故QK—2〃?

1352〃-1

(2)證明：由(1)知S"=/+了+m+…①

由①-②可得,

=g+2x[(1)2+(g)3+(1)4+...+(1)n]-=1+1-T

13

一1

2/7-3

+=1

2n12(2n+<2>故S,<3.

B卷

一、選擇題

1.(2021.河南商丘、新鄉(xiāng)部分高中聯(lián)考)數(shù)學(xué)中有各式各樣富含詩意的曲線，

螺旋線就是其中比較特別的一類.螺旋線這個名詞來源于希臘文，它的原意是“旋

卷''或“纏卷小明對螺旋線有著濃厚的興趣，用以下方法畫出了如圖所示的螺旋

線.具體作法是：先作邊長為1的正三角形ABC,分別記射線AC,BA,CB為h,

h,h,以。為圓心、Q?為半徑作劣弧交人于點。；以A為圓心、AG為半

徑作劣弧G4交，2于點4;以3為圓心、84為半徑作劣弧A/囪交/3于點囪；…,

X-■'sZS

依此規(guī)律作下去，就得到了一系列圓弧形成的螺旋線.記劣弧3。的長，劣弧G4

/、

的長，劣弧A/B/的長，…依次為02,。3,,貝IJ0+。2+...+。9=()

答案A

27c

解析由題意可知，第"個劣弧的半徑為〃，圓心角為不，所以第〃個劣弧

.2兀2〃?！?、，2兀八八2兀9x10“

的弧長an=-r-n=-^-,所以?i+02+...+?9=yx(l+2+...+9)=-p<-y=30兀.

故選A.

2.(2021.河北衡水中學(xué)第二次聯(lián)考)若P(〃)表示正整數(shù)〃的個位數(shù)字,Z=P(〃2)

-尸(2〃)，數(shù)列｛Z｝的前〃項和為S”，則52021=()

A.-1B.0C.1009D.1011

答案C

解析由題意得?1=-1,?2=0,43=3,。4=一2,45=5,06=4,47=5,

?8=-2,。9=-7,aio=0,aw=-1,ai2=0,,所以數(shù)列｛斯｝為周期數(shù)列,且

周期為10,因為Sio=5,所以S2021=5x202+(-1)=1009,故選C.

3.(2021?北京高考)數(shù)列｛詼｝是遞增的整數(shù)數(shù)列,且*3,⑶+及+…+%=

100,則〃的最大值為()

A.9B.10C.11D.12

答案C

解析若要使“盡可能的大，則功和數(shù)列的遞增幅度要盡可能小，不妨設(shè)數(shù)

3+13

列｛為｝是首項為3,公差為1的等差數(shù)列，其前〃項和為S,,則a”=〃+2,Su=-y-

3+14

xll=88<100,Si2=-^—xl2=102>100,所以〃的最大值為11.故選C.

4.(2021?河南駐馬店四校聯(lián)考)數(shù)列｛如｝滿足斯+1+(-1嚴(yán)％”=2〃，則數(shù)列卻“｝

的前60項和等于()

A.1830B.1820C.1810D,1800

答案D

解析當(dāng)〃為正奇數(shù)時，由題意可得a”+i+m=2”,an+2-an+\=2n+2,兩

式相加得?！?斯+2=4〃+2;當(dāng)〃為正偶數(shù)時,由題意可得a“+i-斯=2〃，an+2+

an+\=2n+2,兩式相減得aa+a”+2=2.因此，數(shù)列｛m｝的前60項和為[⑷+⑸+

(。5+47)+…+(<257+4759)]+[(?2+44)+(。6+。8)+…+("58+6Z60)]=(4+2+4x5+2

(6+4x57+2)X15

+...+4x57+2)+2x15=30+--------5--------=180。.故選D.

5.(2021?江西上饒六校高三第二次聯(lián)考)已知公比不為1的等比數(shù)列｛a“｝,存

21

在s,f€N‘，滿足外功=曷，則1+五的最小值為()

A-12B16C30D8

答案C

解析設(shè)等比數(shù)列｛&｝的公比為g1,.??存在s,Z6N*,滿足〃心=曷，」.aQ'

2121

+L2=aQ6,化為s+/=8,.?.s=8_f,/€[1,7]且1WN",設(shè)加）+三,

21（3r-8）（r+8）r81

."?）=（8-）2-喬=2尸（8-/）2，，函數(shù)/W在1，3單調(diào)遞減，在

-?871-單調(diào)遞增，?.”N*,且42）=記7，.*3）=毋17直7>17濟(jì)的2最1小值為布17

故選C.

6.（2021.中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測試）數(shù)列｛&“｝滿足a\=a,an+\=m+a｛a

€R）,且⑸歸2,則。的取值范圍是（）

A.[-2,2]B.[-2,0]

C.0,1D.-2,1

答案D

2

解析令。1=1,可得a2=F+l=2,?3=2+1=5,所以airl,可排除A;

先用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)g號時，I。忌當(dāng)〃=1時，可得|以|=|。舊成立，假

1

2-

+4

設(shè)〃=—Z€N*)時,OSaq時，M與成立，當(dāng)〃=攵+1時，ak+\=al+a<(y)

=；,所以對于V〃€N*,|??|<|<2,所以當(dāng)0,1時，命題成立，可排除B；

又由。=-1時，02=（-1）2-1=0,03=-1,04=0,。5=-1,…，此時數(shù)列滿

足同W2,結(jié)合選項，可得-2,1.故選D.

7.（2021.安徽合肥第二次教學(xué)質(zhì)量檢測）某校建立了一個數(shù)學(xué)網(wǎng)站，本校師生

可以用特別密碼登錄網(wǎng)站免費下載學(xué)習(xí)資源.這個特別密碼與圖數(shù)表有關(guān).數(shù)表

構(gòu)成規(guī)律是：第一行數(shù)由正整數(shù)從小到大排列得到，下一行數(shù)由前一行每兩個相

鄰數(shù)的和寫在這兩個數(shù)正中間下方得到.以此類推.每年的特別密碼是由該年年

份及圖表中第年份行（如2019年即為第2019行）自左向右第一個數(shù)的個位數(shù)字構(gòu)

成的五位數(shù).如：2020年特別密碼前四位是2020,第五位是第2020行自左向右

第1個數(shù)的個位數(shù)字.依此規(guī)則，2021年的特別密碼是（）

12345678...

3579111315...

81216202428...

2028364452...

A.20212B.20214C.20216D.20218

答案C

解析由數(shù)表可得，每一行的數(shù)都構(gòu)成等差數(shù)列，且第〃行的公差是2-，

記第〃行的第加個數(shù)為人〃，㈤，則有大〃,1）=大〃一1,1）+1〃-1,2）=2向?一1,1）

1

+-+-f”,11

2Z4故數(shù)列^的—｝構(gòu)成一個首項為5,

公差為:的等差數(shù)列，所以/_=（〃+1>2-2,故加，1）=（〃+1>2"-2,所以

第n行第1個數(shù)是（〃+1>2"-2.又因為2的1次方，個位是2,2的2次方，個位是

4,2的3次方，個位是8,2的4次方，個位是6,2的5次方，個位是2,（開始循環(huán)）,

2019=4x504+3,故第2021行的第一個數(shù)為（2021+。啰M-2的末位，是8x2=

16的6,故2021年的特別密碼是20216.故選C.

8.（2021.江西上饒二模）函數(shù)/W=2sinr-x（x〉0）的所有極大值點從小到大排

成數(shù)列｛Z｝,設(shè)S”是數(shù)列｛以｝的前〃項和,則COSS202I=（）

A.1B.gC.D.0

答案B

解析由已知/（x）=2cosx-1,由2cosx-1=0得cosx=；,x=2kn+x=

2kn一kWZ,易知當(dāng)2kn-^<x<2kn+界6Z）時，/（x）>0,當(dāng)2kn+^<x<2（k+1）兀

-界€Z）時，/（尤）<0,所以於）的極大值點是x=2E+*ZWZ,所以&=2（〃-

7T7T?！ǎāā?）

1）兀+q,｛曲是等差數(shù)歹人公差1=2兀，首項為切=?52021=202lx-+---------

x2兀=673兀+了+〃（〃一1）兀，〃（〃一1）是偶數(shù)，所以COSS2021=cos（兀+丁）=cos（2兀

-1）:小梟/故選18.

二、填空題

9.在數(shù)列{以}中，y]an+\+n+\=yjan+n+In-1,ai=0,則as=.

答案2492

解析令bn=[“"+〃，貝ljbn+i-bn=1n-\,b\=1,.,.bs=ba-bi+hi-be+...

+Z22-Z?i+/?i=13+11+...+1+1=50,.'.yjas+8=50,.'.as=2492.

10.（2021.安徽滁州重點中學(xué)質(zhì)量檢測）已知數(shù)列{a”},?i=2,S,為數(shù)列伍〃}

的前〃項和，且對任意e2,都有〃=1，則3，}的通項公式為.

Clnon-on

|2,〃二1,

答案Cln=|____2

In（n-1）n>2

、1/,2an2⑸-S〃-i）2（S〃-S〃_i）1

解析當(dāng)論2時'由anSn-S}.=10Sn-S}.=--Sn^Sn二^工

1111

=-及S=-=-1.(j-)是以;為首項，;為公差的等差數(shù)列.???亍=?

02

2-

S"=Q當(dāng)0―2時,O-n=Sn-Sn-\=--〃_]=一.（〃_]）>?',a,1=

2,/?=1,

-71\2-

n（?-1）

11.(2021.河北衡水中學(xué)高三四調(diào))已知數(shù)列｛",｝滿足an=

1,〃=1,

定義使?…“(ZCN*)為整數(shù)的k的值

log（"+2）（〃+3）,且“€N，：,

叫做“幸福數(shù)”，則區(qū)間[1,2020]內(nèi)所有“幸福數(shù)”的和為.

答案1349

解析當(dāng)k=1時，“1=1,k=1為幸福數(shù)；當(dāng)k>2時，a\-ai-ay...-ak=

Iog45-log56?…?logot+2）/+3）=log4（%+3）,令log4（Z+3）=〃z,7/z€Z,貝lj3+3=4%

：.k=4m-3.由2<k=4m-3<2020,5<4m<2023,/.2S?W5.故“幸福數(shù)”的和為1+

4(45-1)

(4*2-3)+(43-3)+(44—3)+(45-3)=--~~:--15=1349.

4—1

12.(2021.江西六校聯(lián)考)定義函數(shù)./U)=Rx]],其中㈤表示不超過x的最大

整數(shù)，例如，=-2,⑵=2,當(dāng)x\[0,〃)，〃WN*時，於)的值

域為A“，記集合A”中元素的個數(shù)為a〃，則I7+I7+I7+…+1一的

O1—1。3-1(24-142021-1

值為.

受案幽

口木2021

"0,x€[0,1),

1,%€[1,2),

2,[2,3),

解析根據(jù)題意得，［幻=<3,x€[3,4),進(jìn)而得中]=

4,x€[4,5),

????

1,x€[zt-1,ri),

。xW[0,1),

x,[1,2),

lx,x€[2,3),

<3x,x€[3,4),所以網(wǎng)幻］在各區(qū)間中的元素個數(shù)為

4x,x€[4,5),

、(Z2-1)X,X€[/I-1,〃),

1,1,2,3,4......n-\,所以當(dāng)x€[0,〃)，〃WN*時，/(x)的值域為4,集合4中元

素的個數(shù)為an,滿足小=1+1+2+3+4+…+-1)=1+

(/I-1)[1+(/?-1)]n2-n+2”、，n(/?-1)?、，1

所以一]=>所以

N5=54,乙5Un—71=

2一11、―1111一/11

1----n-=2(---------),所以-----+-----+-----+...+------7=2(7—5+5

(〃-1)〃n-1〃ai-1。3-1Q4-142021-11LL

_11_11_4040

-3+,-+2020-2021）=2（-2（）21）=202T

三、解答題