江蘇省常州市14校聯(lián)盟2024學年高二數(shù)學第一學期期末聯(lián)考試題含解析

江蘇省常州市14校聯(lián)盟2024學年高二數(shù)學第一學期期末聯(lián)考試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在平面直角坐標系中，拋物線上點到焦點的距離為3，則焦點到準線的距離為（）A. B.C.1 D.2．盤子里有肉餡、素餡和豆沙餡的包子共個，從中隨機取出個，若是肉餡包子的概率為，不是豆沙餡包子的概率為，則素餡包子的個數(shù)為（）A. B.C. D.3．已知函數(shù)的導數(shù)為，則等于（）A.0 B.1C.2 D.44．在等差數(shù)列中，其前項和為.若，是方程的兩個根，那么的值為（）A.44 B.C.66 D.5．由小到大排列的一組數(shù)據(jù)：，其中每個數(shù)據(jù)都小于，另一組數(shù)據(jù)2、的中位數(shù)可以表示為（）A. B.C. D.6．已知橢圓的一個焦點坐標為，則的值為（）A. B.C. D.7．已知，向量，，若，則x的值為（）A.-1 B.1C.-2 D.28．下列命題中的假命題是()A.若log2x<2,則0<x<4B.若與共線,則與的夾角為0°C.已知各項都不為零的數(shù)列{an}滿足an+1-2an=0,則該數(shù)列為等比數(shù)列D.點(π,0)是函數(shù)y=sinx圖象上一點9．如圖1所示，拋物面天線是指由拋物面（拋物線繞其對稱軸旋轉形成的曲面）反射器和位于其焦點上的照射器（饋源，通常采用喇叭天線）組成的單反射面型天線，廣泛應用于微波和衛(wèi)星通訊等，具有結構簡單、方向性強、工作頻帶寬等特點.圖2是圖1的軸截面，，兩點關于拋物線的對稱軸對稱，是拋物線的焦點，是饋源的方向角，記為.焦點到頂點的距離與口徑的比為拋物面天線的焦徑比，它直接影響天線的效率與信噪比等.若饋源方向角滿足，則該拋物面天線的焦徑比為（）A. B.C. D.210．在平面區(qū)域內(nèi)隨機投入一點P，則點P的坐標滿足不等式的概率是（）A. B.C. D.11．已知命題：，使；命題：，都有，則下列結論正確的是（）A.命題“”是真命題： B.命題“”是假命題：C.命題“”是假命題： D.命題“”是假命題12．在中國共產(chǎn)黨建黨100周年之際,廣安市某中學組織了“黨史知識競賽”活動,已知該校共有高中學生1000人,用分層抽樣的方法從該校高中學生中抽取一個容量為25的樣本參加活動,其中高二年級抽取了8人,則該校高二年級學生人數(shù)為()A.960 B.720C.640 D.320二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：按照以上排列的規(guī)律，第行從左向右的第2個數(shù)為____________.14．點為雙曲線上一點，為焦點，如果則雙曲線的離心率為___________.15．已知直線與直線平行，則實數(shù)______16．我國著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難人微”.事實上，很多代數(shù)問題可以轉化為幾何問題加以解決，如：與相關的代數(shù)問題可以轉化為點與點之間距離的幾何問題.結合上述觀點，可得方程的解是__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知定點，動點與連線的斜率之積.（1）設動點的軌跡為，求的方程；（2）若是上關于軸對稱的兩個不同點，直線與軸分別交于點.試判斷以為直徑的圓是否過定點，如經(jīng)過，求出定點坐標；如不過定點，請說明理由.18．（12分）已知函數(shù)（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間和最值；（Ⅱ）設，證明：當時，19．（12分）△的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知（1）求角B的大小；（2）若△不為鈍角三角形，且，，求△的面積20．（12分）已知橢圓，四點中，恰有三點在橢圓上（1）求橢圓的方程；（2）設直線不經(jīng)過點，且與橢圓相交于不同的兩點．若直線與直線的斜率之和為，證明：直線過一定點，并求此定點坐標21．（12分）已知：，有，：方程表示經(jīng)過第二、三象限的拋物線，.（1）若是真命題，求實數(shù)的取值范圍；（2）若“”是假命題，“”是真命題，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）要設計一種圓柱形、容積為500mL的一體化易拉罐金屬包裝，如何設計才能使得總成本最低？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】根據(jù)給定條件求出拋物線C的焦點、準線，再利用拋物線的定義求出a值計算作答.【題目詳解】拋物線的焦點，準線，依題意，由拋物線定義得，解得，所以拋物線焦點到準線的距離為.故選：D2、C【解題分析】計算出肉餡包子和豆沙餡包子的個數(shù)，即可求得素餡包子的個數(shù).【題目詳解】由題意可知，肉餡包子的個數(shù)為，從中隨機取出個，不是豆沙餡包子的概率為，則該包子是豆沙餡包子的概率為，所以，豆沙餡包子的個數(shù)為，因此，素餡包子的個數(shù)為.故選：C.3、A【解題分析】先對函數(shù)求導，然后代值計算即可【題目詳解】因為，所以.故選：A4、D【解題分析】由，是方程的兩個根，利用韋達定理可知與的和，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得與的和等于，即可求出的值，然后再利用等差數(shù)列的性質(zhì)可知等于的11倍，把的值代入即可求出的值.【題目詳解】因為，是方程的兩個根，所以，而，所以，則,故選：.5、C【解題分析】先根據(jù)題意對數(shù)據(jù)進行排列，然后由中位數(shù)的定義求解即可【題目詳解】因為由小到大排列的一組數(shù)據(jù)：，其中每個數(shù)據(jù)都小于，所以另一組數(shù)據(jù)2、從小到大的排列為，所以這一組數(shù)的中位數(shù)為，故選：C6、B【解題分析】根據(jù)題意得到得到答案.【題目詳解】橢圓焦點在軸上，且，故.故選：B.7、D【解題分析】根據(jù)給定條件利用空間向量垂直的坐標表示計算作答.【題目詳解】因向量，，，則，解得，所以x的值為2.故選：D8、B【解題分析】四個選項中需要分別利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，向量共線的定義，等比數(shù)列的定義以及三角函數(shù)圖像判斷，根據(jù)題意結合知識點，即可得出結果.【題目詳解】選項A，由于此對數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增，并且結合對數(shù)函數(shù)定義域，即可求得結果，所以是真命題；選項B，向量共線，夾角可能是或，所以是假命題；選項C，將式子變形可得，符合等比數(shù)列定義，所以是真命題；選項D，將點代入解析式，等號成立，所以是真命題；故選B.【題目點撥】本題考查命題真假的判定，根據(jù)題意結合各知識點即可判斷真假，需要熟練掌握對數(shù)函數(shù)、等比數(shù)列、向量夾角以及三角函數(shù)的基本性質(zhì).9、B【解題分析】建立平面直角坐標系，利用題設條件得到得點坐標，代入拋物線方程化簡即可求解【題目詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系，設拋物線的方程為（）在中，則所以則所以，所以將代入拋物線方程中得所以或即或（舍）當時，故選：B10、A【解題分析】根據(jù)題意作出圖形，進而根據(jù)幾何概型求概率的方法求得答案.【題目詳解】根據(jù)題意作出示意圖，如圖所示：于，所求概率.故選：A.11、B【解題分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷命題為假命題，由判斷命題為真命題，從而得出答案.【題目詳解】因為的值域為，所以命題為假命題因為，所以命題為真命題則命題“”是假命題，命題“”是假命題，命題“”是真命題，命題“”是真命題故選：B12、D【解題分析】由分層抽樣各層成比例計算即可【題目詳解】設高二年級學生人數(shù)為,則,解得故選:D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】通過觀察、分析、歸納，找出規(guī)律運算求解即可【題目詳解】前行共有正整數(shù)個，即個，因此第行第個數(shù)是全體正整數(shù)中第個，即為故答案為：14、【解題分析】利用雙曲線的定義、離心率的計算公式、兩角和差的正弦公式即可得出.【題目詳解】由可得，根據(jù)雙曲線的定義可得：，.故答案為：15、【解題分析】分類討論，兩種情況，結合直線平行的知識得出實數(shù).【題目詳解】當時，直線與直線垂直；當時，，則且，解得.故答案為：16、【解題分析】根據(jù)題意，列方程計算即可【題目詳解】因為，所以，可轉化為點到點和點的距離之和為，所以點在橢圓上，則，解得.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）以為直徑的圓過定點，定點坐標為和.【解題分析】(1)設動點的坐標，利用斜率坐標公式結合已知列式即可作答.(2)設上任意一點，求出點M，N的坐標，再求出以為直徑的圓的方程即可分析作答.【小問1詳解】設點，則直線PA，PB的斜率分別為：，，依題意，，化簡整理得：，所以的方程是：.【小問2詳解】由(1)知，令是上任意一點，則點，直線：，則點，直線：，則點，以MN為直徑的圓上任意一點，當點Q與M，N都不重合時，，有，當點Q與M，N之一重合時，也成立，因此，以MN為直徑的圓的方程為：，化簡整理得：，而，即，則以MN為直徑的圓的方程化為：，顯然當時，恒有，即圓恒過兩個定點和，所以以為直徑的圓過定點，定點坐標為和.【題目點撥】知識點睛：以點為直徑兩個端點的圓的方程是：.18、（Ⅰ）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；最小值為，無最大值；（Ⅱ）證明見解析【解題分析】（Ⅰ）根據(jù)導函數(shù)的正負即可確定單調(diào)區(qū)間，由單調(diào)性可得最值點；（Ⅱ）構造函數(shù)，利用導數(shù)可確定單調(diào)性，結合的正負可確定的零點的范圍，進而得到結論.【題目詳解】（Ⅰ）由題意得：定義域為，，當時，；當時，；的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為的最小值為，無最大值（Ⅱ）設，則，令得：當時，；當時，，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減由（Ⅰ）知：，可得：，，可得：，即又，當時，，即當時，【題目點撥】思路點睛：本題考查導數(shù)在研究函數(shù)中的應用，涉及到函數(shù)單調(diào)性和最值的求解、利用導數(shù)證明不等式等知識；利用導數(shù)證明不等式的關鍵是能夠通過移項構造的方式，構造出新的函數(shù)，通過的單調(diào)性，結合零點所處的范圍可分析得到結果.19、（1）或；（2）.【解題分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角關系可得，再由三角形內(nèi)角的性質(zhì)求其大小即可.（2）由（1）及題設有，應用余弦定理求得、，最后利用三角形面積公式求△的面積【小問1詳解】由正弦定理得：，又，所以，又B為△的一個內(nèi)角，則，所以或；【小問2詳解】由△不為鈍角三角形，即，又，，由余弦定理，，得（舍去負值），則∴20、（1）（2）證明見解析，定點【解題分析】（1）先判斷出在橢圓上，再代入求橢圓方程；（2）假設斜率存在，設出直線，利用斜率之和為，求出之間的關系，即可求出定點，再說明斜率不存在時，直線仍過該點即可.【小問1詳解】由對稱性同時在橢圓上或同時不在橢圓上，從而在橢圓上，因此不在橢圓上，故在橢圓上，將，代入橢圓的方程，解得，所以橢圓的方程為【小問2詳解】當直線斜率存在時，令方程為，由得所以得方程為，過定點當直線斜率不存在時，令方程為，由，即解得此時直線方程為，也過點綜上，直線過定點.【題目點撥】本題關鍵點在于先假設斜率存在，設出直線，利用題目所給條件得到之間的關系，即可求出定點，再說明斜率不存在時，直線仍過該點即可，屬于定點問題的常見解法，注意積累掌握.21、（1）（2）【解題分析】（1）將問題轉化為不等式對應的方程無解，進而根據(jù)根的判別式小于0，計算即可；（2）根據(jù)且、或命題的真假判斷命題p、q的真假，列出對應的不等式組，解之即可.【小問1詳解】由條件知，恒成立，只需的.解得.【小問2詳解】若為真命題，則，解得.若“”是假