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第四章三角函數(shù)、解三角形第一節(jié)任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)(全國(guó)卷5年2考)【知識(shí)梳理】1.任意角的概念(1)角的概念:角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著_____從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形.端點(diǎn)(2)角的分類:按旋轉(zhuǎn)方向分為_(kāi)__角、___角、___角;按終邊位置分為_(kāi)____角、_____角.(3)終邊相同的角:與角α終邊相同的角的集合:S={β|β=_________________}.正負(fù)零象限軸線α+k·360°,k∈Z2.弧度制(1)弧度角:長(zhǎng)度等于_______的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角;1弧度=______.(2)弧長(zhǎng)、扇形面積的公式:設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l,圓心角大小為α(rad),半徑為r,則l=______,扇形的面積為S=_____=__________.半徑長(zhǎng)α·r3.任意角的三角函數(shù)(1)定義:設(shè)α是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),那么sinα=__,cosα=__,tanα=__.yx(2)幾何表示:三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示,正弦線的起點(diǎn)都在x軸上,余弦線的起點(diǎn)都是原點(diǎn),正切線的起點(diǎn)都是(1,0),如圖中有向線段MP,OM,AT分別叫做角α的_______、_______和_______.正弦線余弦線正切線【常用結(jié)論】1.明晰角的概念(1)第一象限角未必是銳角,但銳角一定是第一象限角.(2)不相等的角未必終邊不相同,終邊相同的角也未必相等.2.角的應(yīng)用的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí),要注意角的單位必須是弧度.(2)在同一個(gè)問(wèn)題中采用的度量制度必須一致,不能混用.3.三角函數(shù)值的符號(hào)口訣三角函數(shù)值在各象限的符號(hào):一全正、二正弦、三正切、四余弦.4.三角函數(shù)定義的推廣設(shè)點(diǎn)P(x,y)是角α終邊上任意一點(diǎn)且不與原點(diǎn)重合,r=|OP|,則sinα=,cosα=,tanα=.【基礎(chǔ)自測(cè)】題組一:走出誤區(qū)1.判斷正誤(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)小于90°的角是銳角. (

)(2)銳角是第一象限角,反之亦然. (

)(3)將表的分針撥快5分鐘,則分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度是30°.(

)(4)相等的角終邊一定相同,終邊相同的角也一定相等.(

)提示:根據(jù)任意角的概念知(1)(2)(3)(4)均是錯(cuò)誤的.答案:(1)×

(2)×

(3)×

(4)×2.已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(-1,2),則sinα= (

)

【解析】選B.因?yàn)閨OP|=(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),所以sinα=3.已知扇形的圓心角為60°,其弧長(zhǎng)為2π,則此扇形的面積為_(kāi)_______.

【解析】設(shè)此扇形的半徑為r,由題意得r=2π,所以r=6,所以此扇形的面積為×2π×6=6π.答案:6π題組二:走進(jìn)教材1.(必修4P5T4改編)下列與的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是 (

)A.2kπ+45°(k∈Z)

B.k·360°+π(k∈Z)C.k·360°-315°(k∈Z)

D.kπ+(k∈Z)【解析】選C.由定義知終邊相同的角的表達(dá)式中不能同時(shí)出現(xiàn)角度和弧度,應(yīng)為+2kπ或k·360°+45°(k∈Z).2.(必修4

P20

A組T2改編)已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(-8m,-6sin30°)(m≠0),且cosα=-,則m的值為 (

)A.-

B.

C.-

D.【解析】選B.由P(-8m,-3)(m≠0)知點(diǎn)P位于第三或第四象限,又因?yàn)閏osα=-<0,故α是第三象限角,因此m>0,又因?yàn)閏osα=,所以m=.考點(diǎn)一象限角與終邊相同的角【題組練透】1.設(shè)θ是第三象限角,且則是 (

)A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角【解析】選B.因?yàn)棣仁堑谌笙藿?所以π+2kπ<θ<+2kπ(k∈Z),故+kπ<<+kπ(k∈Z),當(dāng)k=2n(n∈Z)時(shí),+2nπ<<+2nπ(n∈Z),是第二象限角,當(dāng)k=2n+1時(shí),+2nπ<<+2nπ(n∈Z),是第四象限角,又即cos<0,因此是第二象限角.2.若角α=45°+k·180°,k∈Z,則角α的終邊落在 (

)A.第一或第三象限B.第一或第二象限C.第二或第四象限D(zhuǎn).第三或第四象限【解析】選A.當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),令k=2n,α=45°+n·360°,此時(shí)α為第一象限角,排除C,D;當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),令k=2n+1,α=225°+n·360°,此時(shí)α是第三象限角,排除B;所以角α的終邊落在第一或第三象限.3.下列各角中,與角330°的終邊相同的是(

)A.150°

B.-390°

C.510°

D.-150°【解析】選B.與角330°的終邊相同的角為α=k·360°+330°(k∈Z),令k=-2,可得α=-390°.4.(2018·福州模擬)與-2010°終邊相同的最小正角是________.

【解析】因?yàn)?2010°=(-6)×360°+150°,所以150°與-2010°終邊相同,又終邊相同的兩個(gè)角相差360°的整數(shù)倍,所以在0°~360°中只有150°與-2010°終邊相同,故與-2010°終邊相同的最小正角是150°.答案:150°【互動(dòng)探究】若將題1中的條件“θ是第三象限角”變?yōu)椤唉仁堑谝幌笙藿恰?其他條件不變,結(jié)論又如何呢?【解析】選C.因?yàn)棣仁堑谝幌笙藿?所以2kπ<θ<+2kπ(k∈Z),故kπ<+kπ(k∈Z),當(dāng)k=2n(n∈Z)時(shí),2nπ<<2nπ+(n∈Z),是第一象限角,當(dāng)k=2n+1時(shí),π+2nπ<<+2nπ(n∈Z),是第三象限角,又因?yàn)榧碿os<0,故是第三象限角.(3)起始、終止邊界對(duì)應(yīng)角α,β再加上360°的整數(shù)倍,即得區(qū)間角集合.2.象限角的兩種判斷方法(1)圖象法:在平面直角坐標(biāo)系中,作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角.(2)轉(zhuǎn)化法:先將已知角化為k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式,即找出與已知角終邊相同的角α,再由角α終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角.【拓展】求或nθ(n∈N*)所在象限的方法(1)將θ的范圍用不等式(含有k)表示.(2)兩邊同除以n或乘以n.(3)對(duì)k進(jìn)行討論,得到或nθ(n∈N*)所在的象限.提醒:注意“順轉(zhuǎn)減,逆轉(zhuǎn)加”的應(yīng)用,如角α的終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°可得角α+180°的終邊,類推可知α+k·180°(k∈Z)表示終邊落在角α的終邊所在直線上的角.考點(diǎn)二弧度制、扇形的弧長(zhǎng)及面積公式的應(yīng)用【典例】(1)已知扇形的面積為2,扇形的圓心角的弧度數(shù)是,則扇形的周長(zhǎng)為_(kāi)_______.

(2)已知扇形的圓心角為α,所在圓的半徑為r.①若α=120°,r=6,求扇形的弧長(zhǎng);②若扇形的周長(zhǎng)為24,當(dāng)α為多少弧度時(shí),該扇形面積S最大;并求出最大面積. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)【解析】(1)設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l,半徑為R,由題意可得:

解得:l=2,R=2,則扇形的周長(zhǎng)為:l+2R=4+2.答案:4+2

(2)①因?yàn)棣?120°=120×r=6,所以l=α·r=×6=4π;②設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l,則l+2r=24,即l=24-2r(0<r<12).扇形的面積S=l·r=(24-2r)×r=-r2+12r=-(r-6)2+36,所以當(dāng)且僅當(dāng)r=6時(shí),S有最大值36,此時(shí)l=24-2×6=12,所以α==2rad.【誤區(qū)警示】切記在利用公式S=αR2求扇形面積時(shí)α的單位是弧度而并非度,因此本題解答過(guò)程中將120°先化為了弧度,再代入公式求解.【規(guī)律方法】應(yīng)用弧度制解決問(wèn)題的方法(1)利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí),要注意角的單位必須是弧度.(2)求扇形面積最大值的問(wèn)題時(shí),常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題,利用配方法使問(wèn)題得到解決.(3)在解決弧長(zhǎng)問(wèn)題和扇形面積問(wèn)題時(shí),要合理地利用圓心角所在的三角形.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,卷一《方田》三三二:“今有宛田,下周三十步,徑十六步.問(wèn)為田幾何?”譯成現(xiàn)代漢語(yǔ)其意思為:有一塊扇形的田,弧長(zhǎng)30步,其所在圓的直徑是16步,問(wèn)這塊田的面積是多少(平方步)? (

)A.120

B.240

C.360

D.480【解析】選A.由題意可得:S=×8×30=120(平方步).2.若圓弧長(zhǎng)度等于圓內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng),則該圓弧所對(duì)圓心角的弧度數(shù)為 (

)

【解析】選D.設(shè)圓的直徑為2r,則圓內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)為r,因?yàn)閳A的圓弧長(zhǎng)度等于該圓內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng),所以圓弧的長(zhǎng)度為r,所以圓心角弧度為考點(diǎn)三任意角三角函數(shù)的定義及應(yīng)用【明考點(diǎn)·知考法】任意角三角函數(shù)的定義,是三角函數(shù)的最基本的概念,很多知識(shí)點(diǎn)都是在其基礎(chǔ)之上派生出來(lái)的.試題常以選擇題、填空題形式出現(xiàn),考查符號(hào)的判斷、比較大小、解不等式及求值等問(wèn)題.命題角度1三角函數(shù)值符號(hào)的判斷問(wèn)題【典例】sin2·cos3·tan4的值 (

)A.小于0

B.大于0C.等于0

D.不存在【解析】選A.因?yàn)?lt;2<3<π<4<,所以sin2>0,cos3<0,tan4>0.所以sin2·cos3·tan4<0.【狀元筆記】三角函數(shù)值符號(hào)的判斷方法(1)先分別判斷每個(gè)三角函數(shù)值的符號(hào).(2)按照題中要求判斷所求三角函數(shù)值的符號(hào).命題角度2比較大小、解不等式問(wèn)題【典例】函數(shù)y=的定義域?yàn)開(kāi)_______. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)

【解析】由題意可得sinx-≥0,即sinx≥.作直線y=交單位圓于A,B兩點(diǎn),連接OA,OB,則OA與OB圍成的區(qū)域(圖中陰影部分含邊界)即為角x的終邊的范圍,故滿足條件的角x的集合為

答案:

【狀元筆記】利用單位圓解三角不等式(組)的一般步驟(1)用邊界值定出角的終邊位置.(2)根據(jù)不等式組定出角的范圍.(3)求交集,找單位圓中公共的部分.(4)寫出角所滿足的范圍.命題角度3利用任意角三角函數(shù)定義求值問(wèn)題【典例】已知角θ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-,m)(m≠0)且sinθ=m,試判斷角θ所在的象限,并求cosθ和tanθ的值. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)【解析】由題意得r=,所以sinθ==(m≠0),所以m=±,故角θ是第二或第三象限角.當(dāng)m=時(shí),r=2,點(diǎn)P的坐標(biāo)為所以

當(dāng)m=-時(shí),r=2,點(diǎn)P的坐標(biāo)為所以

綜上可知,cosθ=-,tanθ=-或cosθ=-,tanθ=.【狀元筆記】用定義法求三角函數(shù)值的兩種情況(1)已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo),則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r,然后用三角函數(shù)的定義求解.(2)已知角α的終邊所在的直線方程,則可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo),求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,然后用三角函數(shù)的定義來(lái)求解.【對(duì)點(diǎn)練·找規(guī)律】1.點(diǎn)A(sin2018°,cos2018°)位于 (

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選C.2018°=5×360°+218°,為第三象限角,所以sin2018°=sin218°<0,cos2018°=cos218°<0,所以點(diǎn)A在第三象限.2.若從單位圓中的三角函數(shù)線觀察sinα,cosα,tanα的大小是 (

)A.sinα<tanα<cosα B.cosα<sinα<tanαC.sinα<cosα<tanα D.tanα<sinα<cosα【解析】選C.如圖所示,作出角α的正弦線MP,余弦線OM,正切線AT,因?yàn)樗驭两K邊位置在圖中的陰影部分,觀察可得AT>OM>MP,故有sinα<cosα<tanα.3.(2018·資陽(yáng)模擬)已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合,始邊與x軸的正半軸重合,若它的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,1),則tan2α= (

)

【解析】選A.因?yàn)榻铅恋捻旤c(diǎn)與原點(diǎn)O重合,始邊與x軸的正半軸重合,終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,1),所以tanα=,因此tan2α=數(shù)學(xué)能力系列8——現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)【能力詮釋】數(shù)學(xué)建模就是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題來(lái)建立數(shù)學(xué)模型,對(duì)數(shù)學(xué)模型來(lái)進(jìn)行求解,然后根據(jù)結(jié)果去解決實(shí)際問(wèn)題.【典例】如圖,某大型水上樂(lè)園內(nèi)有一塊矩形場(chǎng)地ABCD,AB=120米,AD=80米,以AD,BC為直徑的半圓O1和半圓O2(半圓在矩形ABCD內(nèi)部)為兩個(gè)半圓形水上主題樂(lè)園,BC,CD,DA都建有圍墻,游客只能從線段AB處進(jìn)出該主題樂(lè)園.為了進(jìn)一步提高經(jīng)濟(jì)效益,水上樂(lè)園管理部門決定沿著修建不銹鋼護(hù)欄,沿著線段EF修建該主題樂(lè)園大門并設(shè)置檢票口,其中E,F分別為上的動(dòng)點(diǎn),EF∥AB,且線段EF與線段AB在圓心O1和O2連線的同側(cè).已知弧線部分的修建費(fèi)用為200元/米,直線部分的平均修建費(fèi)用為400元/米.(1)若EF=80米,則檢票等候區(qū)域(其中陰影部分)面積為多少平方米?(2)試確定點(diǎn)E的位置,使得修建費(fèi)用最低.【解析】(1)如圖,設(shè)直線EF與矩形ABCD交于M,N兩點(diǎn),連O1E,O2F,則ME=20米,O1M=20米.梯形O1O2FE的面積為

×(120+80)×20=2

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