第10章 算法初步、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 第3節(jié)　用樣本估計總體

第3節(jié)用樣本估計總體考試要求1.了解分布的意義和作用，能根據(jù)頻率分布表畫頻率分布直方圖、頻率分布折線圖、莖葉圖，體會它們各自的特點；2.理解樣本數(shù)據(jù)標準差的意義和作用，會計算數(shù)據(jù)標準差；3.能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標準差)，并作出合理的解釋；4.會用樣本的頻率分布估計總體的頻率分布，會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征，理解用樣本估計總體的思想；5.會用隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題.1.頻率分布直方圖(1)頻率分布表的畫法：第一步：求極差，決定組數(shù)和組距，組距＝eq\f(極差,組數(shù))；第二步：分組，通常對組內數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；第三步：登記頻數(shù)，計算頻率，列出頻率分布表.(2)頻率分布直方圖：反映樣本頻率分布的直方圖(如圖)橫軸表示樣本數(shù)據(jù)，縱軸表示eq\f(頻率,組距)，每個小矩形的面積表示樣本落在該組內的頻率.2.莖葉圖統(tǒng)計中一種被用來表示數(shù)據(jù)的圖叫做莖葉圖，莖是指中間的一列數(shù)，葉是從莖的旁邊生長出來的數(shù).3.樣本的數(shù)字特征(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).(2)中位數(shù)：把n個數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).(3)平均數(shù)：把eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)稱為a1，a2，…，an這n個數(shù)的平均數(shù).(4)標準差與方差：設一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，則這組數(shù)據(jù)的標準差和方差分別是s＝eq\r(\f(1,n)[（x1－\o(x,\s\up6(－))）2＋（x2－\o(x,\s\up6(－))）2＋…＋（xn－\o(x,\s\up6(－))）2])，s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up6(－)))2].1.頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的關系(1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數(shù).(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的.(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和.2.平均數(shù)、方差的公式推廣(1)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是meq\o(x,\s\up6(－))＋a.(2)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2.①數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也為s2；②數(shù)據(jù)ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2.1.思考辨析(在括號內打“√”或“×”)(1)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.()(2)一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)越集中.()(3)頻率分布直方圖中，小矩形的面積越大，表示樣本數(shù)據(jù)落在該區(qū)間的頻率越大.()(4)莖葉圖一般左側的葉按從大到小的順序寫，右側的葉按從小到大的順序寫，相同的數(shù)據(jù)可以只記一次.()答案(1)√(2)×(3)√(4)×解析(2)錯誤.方差越大，這組數(shù)據(jù)越離散.(4)錯誤.在莖葉圖中，相同的數(shù)據(jù)葉要重復記錄，故(4)錯誤.2.(2021·天津卷)從某網(wǎng)絡平臺推薦的影視作品中抽取400部，統(tǒng)計其評分數(shù)據(jù)，將所得400個評分數(shù)據(jù)分為8組：[66，70)，[70，74)，…，[94，98]，并整理得到如下的頻率分布直方圖，則評分在區(qū)間[82，86)內的影視作品數(shù)量是()A.20 B.40 C.64 D.80答案D解析由頻率分布直方圖可知，評分在區(qū)間[82，86)內的影視作品數(shù)量為400×0.05×4＝80.3.若某校高一年級8個班參加合唱比賽的得分莖葉圖如圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是()A.91.5和91.5 B.91.5和92C.91和91.5 D.92和92答案A解析這組數(shù)據(jù)由小到大排列為87，89，90，91，92，93，94，96，∴中位數(shù)是eq\f(91＋92,2)＝91.5，平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96,8)＝91.5.4.(易錯題)已知一組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖，則眾數(shù)是________，平均數(shù)是________.答案6567解析因為最高小長方形中點的橫坐標為65，所以眾數(shù)為65；平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝(55×0.030＋65×0.040＋75×0.015＋85×0.010＋95×0.005)×10＝67.5.(2021·新高考全國Ⅱ卷改編)下列統(tǒng)計量中，能度量樣本x1，x2，…，xn的離散程度的所有正確編號有________.①樣本x1，x2，…，xn的標準差②樣本x1，x2，…，xn的中位數(shù)③樣本x1，x2，…，xn的極差④樣本x1，x2，…，xn的平均數(shù)答案①③解析由標準差的定義可知，標準差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；由中位數(shù)的定義可知，中位數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢；由極差的定義可知，極差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；由平均數(shù)的定義可知，平均數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢.故①③正確.6.(易錯題)若數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝5，方差s2＝2，則數(shù)據(jù)3x1＋1，3x2＋1，3x3＋1，…，3xn＋1的平均數(shù)和方差分別為________.答案16，18解析∵x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為5，∴3x1＋1，3x2＋1，3x3＋1，…，3xn＋1的平均數(shù)是3×5＋1＝16，∵x1，x2，x3，…，xn的方差為2，∴3x1＋1，3x2＋1，3x3＋1，…，3xn＋1的方差是32×2＝18.考點一頻率分布直方圖例1某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機調查了40個用戶，根據(jù)用戶對產(chǎn)品的滿意度評分，得到A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖和B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表.A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖圖①B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表滿意度評分分組[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]頻數(shù)2814106(1)在圖②中作出B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖，并通過直方圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計算出具體值，給出結論即可)；B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖圖②(2)根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶和滿意度分為三個等級：滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意估計哪個地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大？說明理由.解(1)作出頻率分布直方圖如圖：通過兩地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖可以看出，B地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于A地區(qū)用戶滿意度評分的平均值；B地區(qū)用戶滿意度評分比較集中，而A地區(qū)用戶滿意度評分比較分散.(2)A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大.記CA表示事件：“A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”；CB表示事件：“B地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”.由直方圖得P(CA)的估計值為(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(CB)的估計值為(0.005＋0.02)×10＝0.25.所以A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大.感悟提升1.頻率分布直方圖的性質.(1)小長方形的面積＝組距×eq\f(頻率,組距)＝頻率；(2)各小長方形的面積之和等于1；(3)小長方形的高＝eq\f(頻率,組矩).2.要理解并記準頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)的關系.訓練1(2021·江西省重點中學聯(lián)考)江西省重點中學協(xié)作體于2021年進行了一次校際數(shù)學競賽，共有100名同學參賽，經(jīng)過評判，這100名參賽者的得分都在[40，90]之間，其得分的頻率分布直方圖如圖，則下列結論錯誤的是()A.得分在[40，60)之間的共有40人B.從這100名參賽者中隨機選取1人，其得分在[60，80)的概率為0.5C.這100名參賽者得分的中位數(shù)為65D.可求得a＝0.005答案C解析對于A，得分在[40，60)之間的有100×[1－(0.030＋0.020＋0.010)×10]＝40(人)，故A正確；對于B，從這100名參賽者中隨機選取1人，其得分在[60，80)的概率為(0.030＋0.020)×10＝0.5，故B正確；對于D，由(a＋0.035＋0.030＋0.020＋0.010)×10＝1，解得a＝0.005，故D正確；對于C，得分在[40，60)的頻率為(0.005＋0.035)×10＝0.4，得分在[60，70)的頻率為0.030×10＝0.3，∴這100名參賽者得分的中位數(shù)為60＋eq\f(0.5－0.4,0.3)×10≈63.3，故C錯誤.考點二統(tǒng)計圖表及應用角度1扇形圖例2(2022·鄭州模擬)某高中為了解學生課外知識的積累情況，隨機抽取200名同學參加課外知識測試，測試共5題道，每答對一題得20分，答錯得0分.已知每名同學至少能答對2道題，得分不少于60分記為及格，不少于80分記為優(yōu)秀，測試成績百分比分布圖如圖所示，則下列說法正確的是()A.該次課外知識測試及格率為90%B.該次課外知識測試得滿分的同學有30名C.該次測試成績的中位數(shù)大于測試成績的平均數(shù)D.若該校共有3000名學生，則課外知識測試成績能得優(yōu)秀的同學大約有1440名答案C解析由題圖可知及格率為1－8%＝92%，故A錯誤.該次課外知識測試得滿分同學占的百分比為1－8%－32%－48%＝12%，則得滿分的同學有12%×200＝24(名)，故B錯誤.中位數(shù)為80分，平均數(shù)為40×8%＋60×32%＋80×48%＋100×12%＝72.8分，故C正確.3000×(48%＋12%)＝1800(名)，故D錯誤.角度2折線圖例3(2021·昆明診斷)“搜索指數(shù)”是網(wǎng)民通過搜索引擎，以每天搜索關鍵詞的次數(shù)為基礎所得到的統(tǒng)計指標.搜索指數(shù)越大，表示網(wǎng)民搜索該關鍵詞的次數(shù)越多，對該關鍵詞相關的信息關注度也越高.如圖是2019年9月到2020年2月這半年來某個關鍵詞的搜索指數(shù)變化的統(tǒng)計圖.根據(jù)該統(tǒng)計圖判斷，下列結論正確的是()A.這半年來，網(wǎng)民對該關鍵詞相關的信息關注度呈周期性變化B.這半年來，網(wǎng)民對該關鍵詞相關的信息關注度不斷減弱C.從該關鍵詞的搜索指數(shù)來看，2019年10月的方差小于11月的方差D.從該關鍵詞的搜索指數(shù)來看，2019年12月的平均值大于2020年1月的平均值答案D解析由統(tǒng)計圖可知，這半年來，該關鍵詞的搜索指數(shù)變化的周期性并不顯著，排除A；由統(tǒng)計圖可知，這半年來，該關鍵詞的搜索指數(shù)的整體減弱趨勢不顯著，排除B；由統(tǒng)計圖可知，2019年10月該關鍵詞的搜索指數(shù)波動較大，11月的波動較小，所以2019年10月的方差大于11月的方差，排除C；由統(tǒng)計圖可知，2019年12月該關鍵詞的搜索指數(shù)大多高于10000，該月平均值大于10000，2020年1月該關鍵詞的搜索指數(shù)大多低于10000，該月平均值小于10000，選D.角度3莖葉圖例4(2022·西安模擬)中國數(shù)學奧林匹克由中國數(shù)學會主辦，是全國中學生級別最高、規(guī)模最大、最具影響力的數(shù)學競賽.某重點高中為參加中國數(shù)學奧林匹克做準備，對該校數(shù)學集訓隊進行一次選拔賽，所得分數(shù)的莖葉圖如圖所示，則該集訓隊考試成績的眾數(shù)與中位數(shù)分別為()A.85，75 B.85，76C.74，76 D.75，77答案B解析由莖葉圖知，出現(xiàn)的數(shù)據(jù)最多的是85，故眾數(shù)為85；由于數(shù)據(jù)總數(shù)為14個，故中位數(shù)為排序后第七個和第八個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即eq\f(75＋77,2)＝76，故選B.感悟提升1.通過扇形統(tǒng)計圖可以很清楚的表示出各部分數(shù)量同總數(shù)之間的關系.2.折線圖可以顯示隨時間(根據(jù)常用比例放置)而變化的連續(xù)數(shù)據(jù)，因此非常適用于顯示在相等時間間隔下數(shù)據(jù)的趨勢.3.莖葉圖的三個關注點(1)“葉”的位置只有一個數(shù)字，而“莖”的位置的數(shù)字位數(shù)一般不需要統(tǒng)一.(2)重復出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復記錄，不能遺漏.(3)給定兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖，估計數(shù)字特征，莖上的數(shù)字由小到大排列，一般“重心”下移者平均數(shù)較大，數(shù)據(jù)集中者方差較小.訓練2(1)由于受疫情的影響，學校停課，同學們通過三種方式在家自主學習，現(xiàn)學校想了解同學們對假期學習方式的滿意程度，收集如圖1所示的數(shù)據(jù)；教務處通過分層抽樣的方法抽取4%的同學進行滿意度調查，得到的數(shù)據(jù)如圖2.下列說法錯誤的是()A.樣本容量為240B.若m＝50，則本次自主學習學生的滿意度不低于四成C.總體中對方式二滿意的學生約為300人D.樣本中對方式一滿意的學生為24人(2)(2022·南昌測試)愛美之心，人皆有之，健身減肥已成為很多肥胖者業(yè)余選擇的項目.為了了解運動健身減肥的效果，某健身房調查了40名肥胖者，健身之前他們的體重(單位：kg)情況如柱狀圖1所示，經(jīng)過四個月的健身后，他們的體重情況如柱狀圖2所示，對比健身前后，關于這40名肥胖者，下面結論不正確的是()A.他們健身后，體重在區(qū)間[90，100)內的人數(shù)增加了4B.他們健身后，體重在區(qū)間[100，110)內的人數(shù)沒有改變C.因為健身前后體重在區(qū)間[100，110)內的人數(shù)所占的比例沒有發(fā)生變化，所以健身對體重沒有任何影響D.他們健身后，原來體重在區(qū)間[110，120)內的肥胖者的體重都有減少答案(1)B(2)C解析(1)選項A，樣本容量為6000×4%＝240，該選項正確；選項B，根據(jù)題意得自主學習的滿意率為eq\f(600＋300＋1250,6000)≈0.358<0.4，該選項錯誤；選項C，樣本可以估計總體，但會有一定的誤差，總體中對方式二滿意人數(shù)約為1500×20%＝300，該選項正確；選項D，樣本中對方式一滿意人數(shù)為2000×4%×30%＝24，該選項正確.(2)健身前體重在區(qū)間[90，100)，[100，110)，[110，120)內的人數(shù)分別為40×30%，40×50%，40×20%，即12，20，8，健身后體重在區(qū)間[80，90)，[90，100)，[100，110)內的人數(shù)分別為40×10%，40×40%，40×50%，即4，16，20.所以健身后，體重在區(qū)間[90，100)內的人數(shù)增加了16－12＝4，故A選項正確；健身后，體重在區(qū)間[100，110)內的人數(shù)與健身前一樣，同為20，故B選項正確；雖然健身前后體重在區(qū)間[100，110)內的人數(shù)所占的比例沒有發(fā)生變化，但是健身后沒有體重在區(qū)間[110，120)內的人，所以健身對體重有影響，故C選項錯誤；健身前，體重在區(qū)間[110，120)內的有8人，健身后沒有體重在區(qū)間[110，120)內的人，故D選項正確.故選C.考點三樣本的數(shù)字特征例5(1)(2021·太原模擬)已知一組數(shù)據(jù)1，2，a，b，5，8的平均數(shù)和中位數(shù)均為4，其中a，b∈N*，在去掉其中的一個最大數(shù)后，該組數(shù)據(jù)的()A.平均數(shù)不變 B.中位數(shù)不變C.眾數(shù)不變 D.標準差不變(2)甲、乙兩名射擊運動員參加某大型運動會的預選賽，他們分別射擊了5次，成績如下表(單位：環(huán))：甲108999乙1010799如果甲、乙兩人中只有1人入選，則入選的最佳人選應是________.答案(1)C(2)甲解析(1)由平均數(shù)為4知，a＋b＝8；由中位數(shù)為4，得a＝b＝4或a＝3，b＝5.去掉最大數(shù)8后，根據(jù)平均數(shù)與標準差的意義，知平均數(shù)和標準差均變小，中位數(shù)可能是4，也可能是3，當a＝b＝4時，眾數(shù)與原來一致，都為4；當a＝3，b＝5時，眾數(shù)也與原來一致，都為5，故選C.(2)由題意可得eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))乙＝9，又∵seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)×[(9－10)2＋(9－8)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝eq\f(2,5)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)×[(9－10)2＋(9－10)2＋(9－7)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝eq\f(6,5)>seq\o\al(2,甲)，∴甲更穩(wěn)定，故最佳人選應是甲.感悟提升1.平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平，而方差、標準差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小，標準差、方差越大，數(shù)據(jù)離散程度越大，越不穩(wěn)定；標準差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定.2.用樣本估計總體就是利用樣本的數(shù)字特征來描述總體的數(shù)字特征.訓練3(1)(2020·全國Ⅲ卷)設一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為0.01，則數(shù)據(jù)10x1，10x2，…，10xn的方差為()A.0.01 B.0.1 C.1 D.10(2)(2022·成都診斷)構建德智體美勞全面培養(yǎng)的教育體系是我國教育一直以來努力的方向.某中學積極響應黨的號召，開展各項有益于德智體美勞全面發(fā)展的活動.如圖所示的是該校高三(1)(2)班兩個班級在某次活動中的德智體美勞的評價得分對照圖(得分越高，說明該項教育越好).下列說法正確的是()A.高三(2)班五項評價得分的極差為1.5B.除體育外，高三(1)班的各項評價得分均高于高三(2)班對應的得分C.高三(1)班五項評價得分的平均數(shù)比高三(2)班五項評價得分的平均數(shù)要高D.各項評價得分中，這兩班的體育得分相差最大答案(1)C(2)C解析(1)10x1，10x2，…，10xn的方差為102×0.01＝1.故選C.(2)高三(2)班德智體美勞各項得分依次為9.5，9，9.5，9，8.5，所以極差為9.5－8.5＝1，A錯誤；對于B，兩班的德育分相等，B錯誤；對于D，兩班的勞育得分相差最大，D錯誤.故選C.1.一個容量為32的樣本，已知某組樣本的頻率為0.25，則該組樣本的頻數(shù)為()A.4 B.8 C.12 D.16答案B解析設頻數(shù)為n，則eq\f(n,32)＝0.25，∴n＝32×0.25＝8.2.(2021·洛陽模擬)已知某地區(qū)中小學生人數(shù)和近視情況分別如圖①和圖②所示.為了了解該地區(qū)中小學生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取2%的學生進行調查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為()A.200，20 B.100，20C.200，10 D.100，10答案A解析由圖①得樣本容量為(3500＋2000＋4500)×2%＝10000×2%＝200，抽取的高中生人數(shù)為2000×2%＝40(人)，則近視人數(shù)為40×0.5＝20(人)，故選A.3.從某小學隨機抽取100名學生，將他們的身高(單位：厘米)分布情況匯總如下：身高[100，110](110，120](120，130](130，140](140，150]頻數(shù)535302010由此表估計這100名小學生身高的中位數(shù)為(結果保留4位有效數(shù)字)()A.119.3 B.119.7 C.123.3 D.126.7答案C解析由題意知身高在[100，110]，(110，120]，(120，130]的頻率依次為0.05，0.35，0.3，前兩組頻率和為0.4，組距為10，設中位數(shù)為x，則(x－120)×eq\f(0.3,10)＝0.1，解得x≈123.3.故選C.4.(2021·貴陽診斷)如圖是某賽季甲、乙兩名籃球運動員9場比賽所得分數(shù)的莖葉圖，則下列說法錯誤的是()A.甲所得分數(shù)的極差為22B.乙所得分數(shù)的中位數(shù)為18C.兩人所得分數(shù)的眾數(shù)相等D.甲所得分數(shù)的平均數(shù)低于乙所得分數(shù)的平均數(shù)答案D解析甲所得分數(shù)的極差為33－11＝22，A正確；乙所得分數(shù)的中位數(shù)為18，B正確；甲所得分數(shù)的眾數(shù)為22，乙所得分數(shù)的眾數(shù)為22，C正確，故選D.5.某運動健康App可以記錄跑步(里程數(shù))或行走情況(步數(shù))，用戶通過該App可查看自己某時間段的運動情況.某人根據(jù)2022年1月至2022年11月期間每月跑步的里程(單位：十公里)的數(shù)據(jù)繪制了下面的折線圖.根據(jù)該折線圖，下列結論不正確的是()A.月跑步里程逐月增加B.月跑步里程最大值出現(xiàn)在10月C.月跑步里程的中位數(shù)為5月份對應的里程數(shù)D.相對6月至11月，1月至5月的月跑步里程波動性更小、變化比較平穩(wěn)答案A解析由折線圖可知，月跑步里程并不是逐月增加，A錯誤；月跑步里程最大值出現(xiàn)在10月，B正確；月跑步里程的中位數(shù)為5月份對應的里程數(shù)，C正確；相對6月至11月，1月至5月的月跑步里程波動性更小、變化比較平穩(wěn)，D正確.6.(2022·銀川質檢)甲、乙、丙、丁四位同學組成的數(shù)學學習小組進行了一次小組競賽，共測試了5道題，每位同學各題得分情況如下表所示：題目學生第1題第2題第3題第4題第5題甲101010200乙101051510丙1010151510丁010102020下列說法正確的是()A.甲的平均得分比丙的平均得分高B.乙的得分極差比丁的得分極差大C.對于這4位同學，因為第4題的平均得分比第2題的平均得分高，所以第4題相關知識一定比第2題相關知識掌握的好D.對于這4位同學，第3題得分的方差比第5題得分的方差小答案D解析選項A中，甲的平均得分為eq\f(10＋10＋10＋20＋0,5)＝10，丙的平均得分為eq\f(10＋10＋15＋15＋10,5)＝12，故甲的平均得分比丙的平均得分低，故錯誤；選項B中，乙的得分極差為15－5＝10，丁的得分極差為20－0＝20，故乙的得分極差比丁的得分極差小，故錯誤；選項C中，不清楚兩題的具體分值是否相同，所以不能通過平均分判斷這4位同學第4題相關知識一定比第2題相關知識掌握的好，故錯誤；選項D中，第3題得分的平均分為eq\f(10＋5＋15＋10,4)＝10，故方差為eq\f(（10－10）2＋（5－10）2＋（15－10）2＋（10－10）2,4)＝12.5，第5題得分的平均分為eq\f(0＋10＋10＋20,4)＝10，故方差為eq\f(（0－10）2＋（10－10）2＋（10－10）2＋（20－10）2,4)＝50，所以對于這4位同學，第3題得分的方差比第5題得分的方差小.7.我國高鐵發(fā)展迅速，技術先進.經(jīng)統(tǒng)計，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個車次的正點率為0.97，有20個車次的正點率為0.98，有10個車次的正點率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為________.答案0.98解析經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(10×0.97＋20×0.98＋10×0.99,10＋20＋10)＝0.98.8.某班的全體學生參加英語測試，成績的頻率分布直方圖如圖所示，數(shù)據(jù)的分組依次為[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100].若低于60分的人數(shù)是15，則該班的學生人數(shù)是____________.答案50解析由頻率分布直方圖，知低于60分的頻率為(0.010＋0.005)×20＝0.3.∴該班學生人數(shù)n＝eq\f(15,0.3)＝50.9.若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的標準差為8，則數(shù)據(jù)2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的標準差為________.答案16解析依題意，x1，x2，x3，…，x10的方差s2＝64.則數(shù)據(jù)2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的方差為22s2＝22×64，所以其標準差為eq\r(22×64)＝2×8＝16.10.(2022·哈爾濱調研節(jié)選改編)某城市交通部門為了對該城市共享單車加強監(jiān)管，隨機選取了100人就該城市共享單車的推行情況進行問卷調查，并將問卷中的這100人根據(jù)其滿意度評分值(百分制)按照[50，60)，[60，70)，…，[90，100]分成5組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求圖中x的值；(2)估計這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、平均數(shù)和中位數(shù).解(1)由頻率分布直方圖得(0.005＋x＋0.035＋0.030＋0.010)×10＝1，解得x＝0.020.(2)因為最高小長方形中點的橫坐標為75，所以估計這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75.估計這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))＝55×0.005×10＋65×0.020×10＋75×0.035×10＋85×0.030×10＋95×0.010×10＝77.滿意度評分值在[50，70)內的頻率為(0.005＋0.020)×10＝0.25，滿意度評分值在[70，80)內的頻率為0.035×10＝0.35，∴中位數(shù)為70＋eq\f(0.5－0.25,0.35)×10＝eq\f(540,7).11.(2021·全國乙卷)某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設備，為檢驗新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標有無提高，用一臺舊設備和一臺新設備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標數(shù)據(jù)如下：舊設備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設備和新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的樣本平均數(shù)分別記為eq\o(x,\s\up6(－))和eq\o(y,\s\up6(－))，樣本方差分別記為seq\o\al(2,1)和seq\o\al(2,2).(1)求eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))，seq\o\al(2,1)，seq\o\al(2,2)；(2)判斷新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高(如果eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(x,\s\up6(－))≥2eq\r(\f(seq\o\al(2,1)＋seq\o\al(2,2),10))，則認為新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高，否則不認為有顯著提高).解(1)由表格中的數(shù)據(jù)易得：eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(－0.2＋0.3＋0＋0.2－0.1－0.2＋0＋0.1＋0.2－0.3,10)＋10.0＝10.0，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(0.1＋0.4＋0.1＋0＋0.1＋0.3＋0.6＋0.5＋0.4＋0.5,10)＋10.0＝10.3，seq\o\al(2,1)＝eq\f(1,10)×[(9.7－10.0)2＋2×(9.8－10.0)2＋(9.9－10.0)2＋2×(10.0－10.0)2＋(10.1－10.0)2＋2×(10.2－10.0)2＋(10.3－10.0)2]＝0.036，seq\o\al(2,2)＝eq\f(1,10)×[(10.0－10.3)2＋3×(10.1－10.3)2＋(10.3－10.3)2＋2×(10.4－10.3)2＋2×(10.5－10.3)2＋(10.6－10.3)2]＝0.04.(2)由(1)中數(shù)據(jù)可得eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(x,\s\up6(－))＝10.3－10.0＝0.3，而2eq\r(\f(seq\o\al(2,1)＋seq\o\al(2,2),10))＝eq\r(\f(2,5)（seq\o\al(2,1)＋seq\o\al(2,2)）)＝eq\r(0.0304)，顯然有eq\o(y,\s\up6(－))