第三章 剪切與圓軸扭轉(zhuǎn)

第三章剪切與圓軸扭轉(zhuǎn)第一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期四常見剪切現(xiàn)象：剪刀裁剪， 沖床裁剪東西。如圖：沖床裁剪鋼板鋼板受力變形1-1與2-2兩平面相對錯動，平行于作用力方向，稱為剪切面。外力達到一定時，受剪構(gòu)件沿剪切面剪斷。第二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期四2、剪應(yīng)力構(gòu)件受剪切作用，剪切面產(chǎn)生內(nèi)力Q

如圖：攪拌軸上受剪切的鍵軸上的鍵受力特點如圖鍵一部分鑲嵌在軸內(nèi),另一部分插入連軸器鍵槽內(nèi)第三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期四利用截面法沿剪切面將鍵分成兩部分，取一部分分析，受力圖剪切面上的內(nèi)力Q，外力N，根據(jù)內(nèi)外力平衡得：N=QQ——剪力，與剪切面相切，假定剪力分布均勻。剪應(yīng)力——單位面積上剪力，用τ表示。剪應(yīng)力單位：MPa(N/mm2)，Pa(N/m2)假設(shè)剪力分布均勻，計算剪應(yīng)力τ為名義剪應(yīng)力，與真實剪應(yīng)力分布有差別。第四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期四例：一個受剪銷釘受力如圖。銷釘橫截面積A.銷釘存在兩個剪切面，受力如圖2Q=P,Q=P/2銷釘上剪應(yīng)力τ

P第五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期四二、擠壓概念、擠壓應(yīng)力

擠壓——兩物體表面間相互壓緊，使表 面局部受壓。擠壓力——作用面上的壓力。擠壓應(yīng)力——擠壓作用在擠壓面上引起的 應(yīng)力，用σj表示，單位面積擠壓力。如圖：受擠壓作用構(gòu)件，一塊鋼板通過銷 釘連接。第六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期四鋼板受力P作用，則鋼板孔表面受到擠壓作用。如圖：擠壓力過大造成的破壞現(xiàn)象：①接觸面局部表面發(fā)生塑性變形，或變長鋼板圓孔圓孔或銷釘壓潰，或兩者同時存在。②工程上表現(xiàn)在連接件孔變大后，連接松動。第七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期四擠壓應(yīng)力與壓縮應(yīng)力區(qū)別：①擠壓應(yīng)力只分布于兩構(gòu)件相互接觸局部區(qū)域，在擠壓面表層。擠壓應(yīng)力較大，稍遠處迅速減小。②壓縮應(yīng)力均勻分布于整個構(gòu)件內(nèi)部。A——擠壓面積，構(gòu)件之間接觸面積。擠壓應(yīng)力σjσj——擠壓力第八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期四擠壓面積確定：①對平面接觸，A為接觸面積。②對圓柱面接觸，Aj為圓柱面投影面積，Aj=dt如圖：t——板厚度d——孔直徑第九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期四三、剪切與擠壓計算確保構(gòu)件安全工作，應(yīng)保證材料中應(yīng)力在允許范圍內(nèi)。剪切與擠壓強度條件：[τ

]——許用剪切應(yīng)力對塑性材料[τ

]和[σj]與許用拉應(yīng)力[σ]可近似建立如下關(guān)系：[σj]——許用擠壓應(yīng)力對脆性材料[τ]=(0.6~0.8)[σ

][σj]=(1.7~2)[σ

][τ

]=(0.8~01)[σ

][σj]=(0.9~1.5)[σ

]第十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期四注意：一般受剪構(gòu)件同時也受擠壓，應(yīng)進行 剪切與擠壓兩方面計算。剪切與擠壓強度計算可解決三方面計算：②設(shè)計結(jié)構(gòu)尺寸③確定許用載荷 Q≤[τ]APj≤[σj]Aj①強度校核τ

≤[τ]σj≤[σj]第十一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期四四、剪應(yīng)變、剪切虎克定律構(gòu)件受剪切，兩剪切面發(fā)生相對錯動，發(fā)生剪切變形。變形如圖：剪切面取微段dx，放大圖第十二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期四剪切虎克定律——當(dāng)剪應(yīng)力不超過材料剪切比例極限τp

，τ與γ

成正比，τ=GγG——剪切模量，物理意義——表示材料抵 抗剪切變形能力。剪切模量G與彈性模量之間關(guān)系：微段dx長剪切變形，egfh相對于abcd面變形長ee`ee`——絕對變形相對變形γ很小。γ——為矩形直角微變形，稱為剪應(yīng)變或角 應(yīng)變。γ單位弧度(rad)第十三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期四§3-2扭轉(zhuǎn)概念桿件扭轉(zhuǎn)的受力特點：作用在桿兩端一 對力為力偶，等值、 反向。桿件扭轉(zhuǎn)的變形特點：桿橫截面繞軸線產(chǎn) 生相對轉(zhuǎn)動，使縱 向線變?yōu)槁菪€。第十四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期四§3-3扭轉(zhuǎn)時外力和內(nèi)力計算扭轉(zhuǎn)構(gòu)件強度計算方法：①由受力分析求外力。②由截面法求內(nèi)力。③由試驗作假設(shè)和推論，建立應(yīng)力在橫截面分布形式。④建立應(yīng)力、應(yīng)變計算式，進行強度與剛度計算。第十五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期四一、外力偶矩計算

由一膠帶帶動傳動軸，如圖：研究AB傳動軸，A輪受到的膠帶拉力T1，t1T1＞t1

B輪受到的膠帶拉力T2，t2T2＞t2

第十六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期四將AB軸視為剛性，利用力的平移定理對輪受力進行簡化：各力向中心平移，得到一合力與一附加力偶矩。簡化后受力如圖：TA=T1+t1mA=(T1-t1)R1TB=T2+t2mB=(T2-t1)R2mA與mB大小相等，方向相反。第十七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期四1、由功率P與轉(zhuǎn)數(shù)n求外力偶矩m假設(shè)皮帶上的力T1,t1

T1每分鐘做功W1=2πRn·T1t1每分鐘做功W2=2πRn·t1W1為正功，W2為負功有用功W=W1-W2=2πRn(T1-t1)=2πnm功率P單位：kW，1kW=1kN·m/s每分鐘做功W=60P60P=2πnm，公式中單位：功率P——Kw

轉(zhuǎn)數(shù)n——轉(zhuǎn)/分鐘，r·p·m

外力偶矩m——kN·m第十八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期四由上式得出如下結(jié)論：①功率一定，n↑，力偶矩m↓,對傳遞相同功率的軸，高速軸細，低速軸粗。對減速機而言，與電機相連軸細，與攪拌軸相連軸粗。②n一定，P↑,m↑,按一定攪拌功率設(shè)計反應(yīng)釜，不可隨意提高功率。③m一定，n↑，P↑,如果攪拌軸轉(zhuǎn)速不夠，欲提高n，則應(yīng)加大功率。第十九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期四2、受扭軸任一截面上內(nèi)力計算求內(nèi)力——截面法內(nèi)力形成內(nèi)力偶——稱為扭矩.MT表示.如圖：受扭轉(zhuǎn)軸，兩端外力偶矩mA，mB

求扭矩。任取一截面m—n，將AB分為兩部分，取右側(cè)研究：由內(nèi)、外力偶矩平衡得：MT-mA=0MT=mA第二十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期四扭矩本質(zhì)為內(nèi)力偶矩。扭矩是代數(shù)量——有大小、正負。

正負規(guī)定如下：由右手螺旋法則決定——四指沿扭矩旋轉(zhuǎn)方向，拇指指向與橫截面外法線一致，扭矩為正，反之為負。第二十一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期四3、計算扭矩方法

用截面法：將軸分為兩部分，任一截面上 扭矩數(shù)值為該部分所有外力偶 矩代數(shù)和。4、扭矩圖

表示扭矩在各截面上的變化規(guī)律。作圖方法：取平行于軸線坐標表示各橫截面位置。垂直于軸線坐標表示各截面扭矩數(shù)值。正扭矩在坐標軸上邊，負在下邊。第二十二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期四例題：受多力偶矩軸EF①EA段③BC段③CD段解：用截面法求各截面扭矩。MTBC=10-3=7kN·m②AB段MTAB=mA=10kN·mMTCD=9kN·mMTEA=0第二十三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期四§3-4圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力分析強度問題的關(guān)鍵——求出截面中最大應(yīng)力 及應(yīng)力分布規(guī)律。分析強度問題基本方法：①由試驗觀察，作出假設(shè)與推論。②由變形幾何關(guān)系，找出應(yīng)變變化規(guī)律。③由物理關(guān)系——應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系，得應(yīng)力分布規(guī)律。④由靜力學(xué)關(guān)系——應(yīng)力與內(nèi)力關(guān)系，得出應(yīng)力計算公式。第二十四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期四一、由試驗觀察得假設(shè)與推論如圖：一左端固定圓軸，在表面均布一些平行軸線縱向線，和垂直軸線圓軸線，圓周線代表橫截面。在右端加一個力偶矩m，使軸扭轉(zhuǎn)。受扭后變形如右圖：取軸表面一條縱向線AB觀察；A點不動，B點轉(zhuǎn)動到B`點。AB與AB`夾角γOB與OB`夾角Φ第二十五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期四由試驗觀察得到：

①各圓周線形狀，大小，及兩線之間距離 均未變，只轉(zhuǎn)一個角度。②扭轉(zhuǎn)后各縱向線均近似直線，只傾斜一 個角度γ表面矩形方格變?yōu)槠叫兴倪呅巍Ｓ纱丝勺銎矫婕僭O(shè)：圓周受扭變形前為平面的橫截面，變形后仍為平面，形狀、大小不變。即圓柱體受扭后仍為圓柱體。第二十六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期四圓軸扭轉(zhuǎn)變形可視為——各截面象剛性平面一 樣，一個接一個繞軸 線轉(zhuǎn)動。離固定端越 遠，轉(zhuǎn)角越大。由平面假設(shè)得推論：①扭轉(zhuǎn)導(dǎo)致橫截面相對轉(zhuǎn)動，表面小矩形變?yōu)槠叫兴倪呅?，矩形直角改變了角度γ，可推得發(fā)生了剪應(yīng)變，存在剪應(yīng)力。剪應(yīng)力方向為與半徑垂直圓周方向。②變形前后橫截面距離不變，圓軸未伸長與縮短，縱向應(yīng)變ε

=0，只有剪應(yīng)力，無正應(yīng)力。第二十七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期四二、變形幾何關(guān)系導(dǎo)出應(yīng)變變化規(guī)律在受扭轉(zhuǎn)圓周上，相距dx兩截面之間取 一段，截面1—1，2—2如圖：假設(shè)扭轉(zhuǎn)時1—1相對2—2不動，2—2截面相對1—1截面轉(zhuǎn)dΦ角,AD線扭轉(zhuǎn)變?yōu)锳D`.tgγ≈DD`/AD=DD`/dx,DD`=RdΦγ非常小時，tgγ≈γ剪應(yīng)變第二十八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期四對截面上任一點G，變形后到G`點O2G=O2G`=ρ,O2G與O2G`夾角dφ，轉(zhuǎn)角γρ

得結(jié)論：

①為截面轉(zhuǎn)角沿軸線變化率，為單位長度轉(zhuǎn)角,同一截面各點θ相同。②，圓心為O，外表面最大，同一圓 周上各點剪應(yīng)變相同。第二十九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期四三、物理關(guān)系求剪應(yīng)力分布物理關(guān)系——應(yīng)力應(yīng)變之間關(guān)系得由此式得剪應(yīng)力分布：①某點剪應(yīng)力與該點到軸心距離成正比。②軸心τ=0，外表面τmax

③相同半徑ρ圓周上各點τ相同。④剪應(yīng)力方向與半徑垂直，與橫截面相切。圖上表示剪應(yīng)力分布第三十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期四四、利用靜力學(xué)關(guān)系求剪應(yīng)力如圖離軸心ρ處取一微面積dA作用在微面積上剪力dF=τρ

·dAdF對軸心微力矩dMrdMr=ρ

·

dF=τρ

·ρ

·dA合力矩第三十一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期四令I(lǐng)P

只與橫截面尺寸有關(guān)。IP

——橫截面極慣性矩。

τρ等圓周扭轉(zhuǎn)橫截面上任一點剪應(yīng)力。ρ

=R時，令，WP——抗扭截面模量。第三十二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期四五、圓截面IP

與WP

計算1、對實心圓截面第三十三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期四2、對圓環(huán)截面內(nèi)徑d，外徑D第三十四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期四§3-5圓軸扭轉(zhuǎn)時變形對等截面軸，距離dx兩截面，相對轉(zhuǎn)角dΦ相距ρ的兩截面，相對轉(zhuǎn)角Φ

如果各截面扭矩不變，材料相同，直徑相同，轉(zhuǎn)角Φ單位弧度第三十五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期四Φ與Mr,ρ成正比，與GIP

成反比。GIP——抗扭剛度。剪應(yīng)力計算公式及扭轉(zhuǎn)變形計算公式適用范圍： 適用實心圓軸及空心圓軸， 不適用非圓截面軸。第三十六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期四§3-6圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度與剛度計算一、圓軸扭轉(zhuǎn)強度條件

為確保軸安全工作，各截面最大剪應(yīng)力應(yīng)不超過許用剪應(yīng)力[τ]Mrmax——危險截面扭矩。單位N·mmWP——危險截面抗扭截面模量。mm3τmax——單位Mpa(N/mm2)第三十七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期四判斷危險截面：①整個構(gòu)件中直徑最小截面②扭矩最大截面許用剪應(yīng)力[τ

]的確定：

①由扭轉(zhuǎn)實驗得扭轉(zhuǎn)屈服τs

，取一定 安全系數(shù)n,[τ

]=τs

/n②對塑性材料[τ

]=(0.5~0.6)[σ]對脆性材料[τ

]=(0.8~1.0)[σ]公式應(yīng)用與拉壓強度公式相似。第三十八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期四二、圓軸扭轉(zhuǎn)剛度條件設(shè)計受扭轉(zhuǎn)軸既要保證強度又要保證剛度。剛度設(shè)計條件：保證限制單位長度轉(zhuǎn)角θ不 超過許用單位長度轉(zhuǎn)角[θ]即θ單位：弧度/米(rad/m)工程上θ使用單位(0/m)第三十九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期四如果：Mr單位N·mm,IP

單位mm4,G單位MPa(0/m)機械設(shè)計手冊中規(guī)定：精密軸[θ]=(0.15~0.5)0/m傳動軸[θ]=(0.5~1.0)0/m一般軸[θ]=(2~4)0/m第四十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期四例一、如圖一直桿AB,d=40mm,長l=1m,B處焊接一剛性折桿BC,長a=0.5m,當(dāng)P=1kN時,試校核AB段強度及C點的垂直距離。解：①

AB軸所受的扭矩MrMr=P·a=0.5kN·m=0.5×106N·