第三章線性代數(shù)方程組

第三章線性代數(shù)方程組第一頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四例1：求下列矩陣的秩第二頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四分析例中3個(gè)矩陣的求秩過程，可以得到如下結(jié)論：（1）A=0的充要條件是rank(A)=0；（2）若A有一個(gè)k階子式不為零，那么r(A)≥k；當(dāng)r(A)=k時(shí)，則A至少有一個(gè)不為零的k階子式，但不是所有k階子式都不為零，而且可以斷言所有高于k階的子式(如果存在)都為零；(3)若A是mхn矩陣，那么r(A)≤min{m,n}；r(A)=r(AT)；(4)若A是n階矩陣，則r(A)≤n。r(A)=ndetA≠0是A可逆。稱行列式不為零的矩陣為滿秩陣(非退化陣)；行列式為零的矩陣為降秩陣(退化陣)。第三頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四

練習(xí)1

對(duì)于矩陣k取何值時(shí)，可使：（1）r(A)=1(2)r(A)=2(3)r(A)=3。練習(xí)2

證明r(A)=r(AT)。第四頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四3．1．2計(jì)算定義2滿足以下兩個(gè)條件的mхn矩陣稱為梯矩陣：1．第k+1行的首個(gè)非零元（如果有的話）前的零元個(gè)數(shù)多于第k行的非零元（如果存在）前的零元個(gè)數(shù)，k=1,2,…,m-1；2．如果某行都是零元，則其下所有行的元都是零。第五頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四例2說明為梯矩陣，并求出rank(A)。第六頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四

結(jié)論如果A是梯矩陣，那么r(A)=A的非零行的行數(shù)。對(duì)于一般的mхn矩陣，從秩的定義求A的秩是不方便的。希望將A經(jīng)過初等變換，變換成梯矩陣，然后再求A的秩。問題：

經(jīng)過初等變換的矩陣，其秩會(huì)變化？第七頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四定理1任一mхn矩陣A經(jīng)有限次初等變換后，其秩不變。證明設(shè)A經(jīng)一次行初等變換后成為B，首先證明

r(A)≤r(B)，（B=RA；）推得：r(B)≤r(A)，（因?yàn)锳=R-1B）得到r(A)=r(B)。因此，只要分別對(duì)三類初等變換證明

r(A)≤r(B)。設(shè)r(A)=k。第八頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四對(duì)第一類行初等變換，第九頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四

因?yàn)閞(A)=k，即A中必有一個(gè)k階子式Mk≠0。

B中有一個(gè)與Mk對(duì)應(yīng)的k階子式Nk，滿足下述之一的條件：（1）當(dāng)Mk中不包含A的第i行和j行的元素，那么

Mk=Nk；（2）當(dāng)Mk中僅包含A的第i行（或j行）元素；只要適當(dāng)交換Nk的行，就可以得到Mk，Mk=±Nk。（3）當(dāng)Mk中包含A的第i行和第j行，只要交換Mk中與A的第i、j行對(duì)應(yīng)的行，就可以得到Nk，所以

Mk=-Nk。綜上所述，當(dāng)A中k階子式Mk≠0，那么B中存在k階子式Nk≠0，所以，r(A)≤r(B)；第十頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四對(duì)第二類行初等變換，：

第十一頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四

設(shè)Mk≠0是A的一個(gè)k階子式，Nk是B中與Mk對(duì)應(yīng)的行組成的k階子式。若Mk中含第i行，則Nk=αMk≠0；若Mk中不含第i行，則

Nk=Mk≠0，所以，r(A)≤r(B)；第十二頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四對(duì)于第3類初等變換，第十三頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四對(duì)于A中的k階子式Mk≠0，則有四種可能：（1）Mk中同時(shí)含A的第i和j行，此時(shí)，B中的k階子式可以取與Mk對(duì)應(yīng)的行，得到k階子式Nk，那么Nk=Mk≠0，得到

r(A)≤r(B)；(相當(dāng)于將Mk中的第i行的α倍加到第j行)（2）Mk中含A的第i行，但不含第j行元，則B中對(duì)應(yīng)的Nk，必有Nk=Mk≠0，得到

r(A)≤r(B)；第十四頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四（3）Mk中含A的第j行元，但不含第i行元：選擇B中與Mk中序號(hào)對(duì)應(yīng)的行元組成Nk，則其包含B中第j行元，但不含第i行元，那么第十五頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四

由于Mk≠0，所以Nk與N2k

不同時(shí)為零，否則

Mk=0，與題設(shè)矛盾。(講義中的證明不完全正確)如果Nk≠0，已知Nk是B的一個(gè)k階子式，那么

r(B)≥r(A)；如果

N2k≠0，它也與B的一個(gè)k階子式對(duì)應(yīng)：將B中第j行元替換成第i行元，再取與Mk相同的行元組成的k階子式，得到r(A)≤r(B)；（4）Mk中既不含A的第i行元，也不含A的第j行元，此時(shí)，在B中取與Mk相同序號(hào)的行元，得到Nk，則有Nk=Mk≠0，得到r(A)≤r(B)。

綜上述，由（1，2，3，4）得到r(A)≤r(B)。第十六頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四推論1任一mхn矩陣A，經(jīng)有限次列初等變換后，不改變秩。推論2A是任一mхn矩陣，B是任一m（或n）階滿秩矩陣，則必有：r(BA)=r(A)（或r(AB)=r(A)）推論3設(shè)A是任一mхn矩陣，已知其標(biāo)準(zhǔn)形分解A=PNQ，其中，

那么r(A)=r。第十七頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四

定理2

任一mхn矩陣A，必可以通過有限次行初等變換而成為梯矩陣。

例3給定矩陣A，依據(jù)證明的步驟，用初等行變換將其化成梯矩陣。第十八頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四練習(xí)3確定矩陣A的秩第十九頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四3.2線性代數(shù)方程組的解相容性：一個(gè)存在解的線性代數(shù)方程組稱為相容的，否則就是不相容或矛盾方程。

3.2.1齊次方程組

mxn的齊次線性代數(shù)方程組為：第二十頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四

寫成矩陣——向量形式：Ax=0，其中，x=0，是方程的一個(gè)解——零解，稱為平凡解。那么齊次方程總是相容的。對(duì)于齊次方程，需要解決的問題：1）在何種情況下，存在非平凡解？2）存在非零解的條件下，如何表示所有的解，即解的一般形式是什么？第二十一頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四定理3

方程Ax=0存在非平凡解的充要條件是r(A)<n，且在任一通解式中含有n–r(A)個(gè)任意參數(shù)。證對(duì)mxn系數(shù)矩陣A作標(biāo)準(zhǔn)形分解，

A=PNQ

P：m階可逆陣，Q：n階可逆陣。因?yàn)?，Ax=0→PNQx=0→NQx=0

記y=Qx,那么Ny=0第二十二頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四第二十三頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四第二十四頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四第二十五頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四記

則構(gòu)成方程的一個(gè)基礎(chǔ)解系。而且方程的任一解x都可以表示成，由于解表達(dá)式中yi,i=r+1,…,n，是n-r任意常數(shù)，故稱為方程的通解。第二十六頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四第二十七頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四第二十八頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四第二十九頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三十頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四非齊次方程組的通解對(duì)于非齊次方程組AX=b設(shè)是其導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，是非齊次方程的一個(gè)特解，那么方程組的通解：

第三十一頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四

課堂討論題：

(1)問：a,b取何值時(shí)方程組有解？在有解的情況下求出解。第三十二頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四解：當(dāng)a=0,b=2時(shí)，方程有解。因?yàn)榈谌?yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四（2）問：a，b取何值時(shí)方程組有解？在有解的情況下求出解。第三十四頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四解：當(dāng)時(shí)有唯一解；當(dāng)時(shí)：第三十五頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三十六頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四（a）時(shí)，沒有解；（b）b=5時(shí)，有無(wú)窮多個(gè)解。當(dāng)時(shí)有無(wú)窮多解；b=-1時(shí)，，所以方程沒有解。因?yàn)椴徽揳是何值！第三十七頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三十八頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四(3)設(shè)計(jì)算采用兩次加邊的方法第三十九頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四再加邊，構(gòu)成n+2階行列式。第四十頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2