江蘇省蘇州市吳江汾湖中學2024屆高二數(shù)學第一學期期末達標檢測試題含解析

江蘇省蘇州市吳江汾湖中學2024屆高二數(shù)學第一學期期末達標檢測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．一個盒子里有3個分別標有號碼為1，2，3小球，每次取出一個，記下它的標號后再放回盒子中，共取2次，則在兩次取得小球中，標號最大值是3的概率為（）A. B.C. D.2．已知數(shù)列中，且滿足，則（）A.2 B.﹣1C. D.3．已知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1沒有極值，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.[0，1] B.(－∞，0]∪[1，＋∞)C.[0，2] D.(－∞，0]∪[2，＋∞)4．已知長方體中，，，則直線與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.5．已知拋物線的準線方程為，則此拋物線的標準方程為（）A. B.C. D.6．函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.7．“”是“直線與直線互相垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8．設命題，，則為（）.A.， B.，C.， D.，9．直線的傾斜角為（）A. B.C. D.10．如圖，、分別是橢圓的左頂點和上頂點，從橢圓上一點向軸作垂線，垂足為右焦點，且，點到右準線的距離為，則橢圓方程為（）A. B.C. D.11．某企業(yè)為節(jié)能減排，用萬元購進一臺新設備用于生產.第一年需運營費用萬元，從第二年起，每年運營費用均比上一年增加萬元，該設備每年生產的收入均為萬元.設該設備使用了年后，年平均盈利額達到最大值（盈利額等于收入減去成本），則等于（）A. B.C. D.12．在試驗“甲射擊三次，觀察中靶的情況”中，事件A表示隨機事件“至少中靶1次”，事件B表示隨機事件“正好中靶2次”，事件C表示隨機事件“至多中靶2次”，事件D表示隨機事件“全部脫靶”，則（）A.A與C是互斥事件 B.B與C是互斥事件C.A與D是對立事件 D.B與D是對立事件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．數(shù)列中，，則______14．直線與直線平行，則m的值是__________15．經(jīng)過兩點的直線的傾斜角為，則___________.16．數(shù)學家歐拉年在其所著的《三角形幾何學》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線，已知的頂點、，其歐拉線的方程為，則的外接圓方程為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，焦距為2，離心率為（1）求橢圓C的方程；（2）設直線l經(jīng)過點M（0，1），且與橢圓C交于A，B兩點，若，求直線l的方程18．（12分）已知等比數(shù)列的公比，且，的等差中項為5，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和.19．（12分）已知橢圓經(jīng)過點，橢圓E的一個焦點為.（1）求橢圓E的方程；（2）若直線l過點且與橢圓E交于兩點.求的最大值.20．（12分）已知雙曲線C的方程為（），離心率為.（1）求雙曲線的標準方程；（2）過的直線交曲線于兩點，求的取值范圍.21．（12分）小張在2020年初向建行貸款50萬元先購房，銀行貸款的年利率為4%，要求從貸款開始到2030年要分10年還清，每年年底等額歸還且每年1次，每年至少要還多少錢呢(保留兩位小數(shù))？(提示：(1＋4%)10≈1.48)22．（10分）一位父親在孩子出生后，每月給小孩測量一次身高，得到前7個月的數(shù)據(jù)如下表所示．月齡1234567身高（單位：厘米）52566063656870（1）求小孩前7個月的平均身高；（2）求出身高y關于月齡x的回歸直線方程（計算結果精確到整數(shù)部分）；（3）利用（2）的結論預測一下8個月的時候小孩的身高參考公式：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】求出兩次取球都沒有取到3的概率，再利用對立事件的概率公式計算作答.【題目詳解】依題意，每次取到標號為3的球的事件為A，則，且每次取球是相互獨立的，在兩次取得小球中，標號最大值是3的事件M，其對立事件是兩次都沒有取到標號為3的球的事件，，則有，所以在兩次取得小球中，標號最大值是3的概率為.故選：C2、C【解題分析】首先根據(jù)數(shù)列的遞推公式求出數(shù)列的前幾項，即可得到數(shù)列的周期性，即可得解；【題目詳解】解：因為且，所以，，，所以是周期為的周期數(shù)列，所以，故選：C3、C【解題分析】求導得，再解不等式即得解.【題目詳解】由得，根據(jù)題意得，解得故選：C4、C【解題分析】建立空間直角坐標系，設直線與所成角為，由求解.【題目詳解】∵長方體中，，，∴分別以，，為，，軸建立如圖所示空間直角坐標系，，則，，，，所以，，設直線與所成角為，則，∴直線和夾角余弦值是.故選：C.5、D【解題分析】由已知設拋物線方程為，由題意可得，求出，從而可得拋物線的方程【題目詳解】因為拋物線的準線方程為，所以設拋物線方程為，則，得，所以拋物線方程為，故選：D，6、B【解題分析】方程有兩個根，轉化為求函數(shù)的單調性與極值【題目詳解】函數(shù)定義域是，有兩個零點，即有兩個不等實根，即有兩個不等實根設，則，時，，遞減，時，，遞增，極小值＝，而時，，時，，所以故選：B7、A【解題分析】根據(jù)直線垂直求出的范圍即可得出.【題目詳解】由直線垂直可得，解得或1，所以“”是“直線與直線互相垂直”的充分不必要條件.故選：A.8、B【解題分析】根據(jù)全稱命題和特稱命題互為否定，即可得到結果.【題目詳解】因為命題，，所以為，.故選：B.9、D【解題分析】由直線斜率概念可寫出傾斜角的正切值，進而可求出傾斜角.【題目詳解】因為直線的斜率為，所以傾斜角.故選D【題目點撥】本題主要考查直線的傾斜角，由斜率的概念，即可求出結果.10、A【解題分析】設橢圓方程為，設該橢圓的焦距為，則，求出點的坐標，根據(jù)可得出，可得出，，結合已知條件求得的值，可得出、的值，即可得出橢圓的方程.【題目詳解】設橢圓方程為，設該橢圓的焦距為，則，由圖可知，點第一象限，將代入橢圓方程得，得，所以，點，易知點、，，，因為，則，得，可得，則，點到右準線的距離為為，則，，因此，橢圓的方程為.故選：A.11、D【解題分析】設該設備第年的營運費為萬元，利用為等差數(shù)列可求年平均盈利額，利用基本不等式可求其最大值.【題目詳解】設該設備第年的營運費為萬元，則數(shù)列是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，則，則該設備使用年的營運費用總和為，設第n年的盈利總額為，則，故年平均盈利額為，因為，當且僅當時，等號成立，故當時，年平均盈利額取得最大值4.故選：D.【題目點撥】本題考查等差數(shù)列在實際問題中的應用，注意根據(jù)題設條件概括出數(shù)列的類型，另外用基本不等式求最值時注意檢驗等號成立的條件.12、C【解題分析】根據(jù)互斥事件、對立事件的定義即可求解.【題目詳解】解：因為A與C，B與C可能同時發(fā)生，故選項A、B不正確；B與D不可能同時發(fā)生，但B與D不是事件的所有結果，故選項D不正確；A與D不可能同時發(fā)生，且A與D為事件的所有結果，故選項C正確故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】根據(jù)可得，則，所以可得數(shù)列是以6為周期周期數(shù)列，再由計算出的值，再利用對數(shù)的運算性質可求得結果【題目詳解】因為，所以，所以，所以數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，因為，，所以，所以，所以所以，故答案為：114、【解題分析】利用直線的平行條件即得.詳解】∵直線與直線平行，∴，∴.故答案為：.15、2【解題分析】由兩點間的斜率公式及直線斜率的定義即可求解.【題目詳解】解：因為過兩點的直線的傾斜角為，所以，解得，故答案為：2.16、【解題分析】求出線段的垂直平分線方程，與歐拉線方程聯(lián)立，求出的外接圓圓心坐標，并求出外接圓的半徑，由此可得出的外接圓方程.【題目詳解】直線的斜率為，線段的中點為，所以，線段的垂直平分線的斜率為，則線段垂直平分線方程為，即，聯(lián)立，解得，即的外心為，所以，的外接圓的半徑為，因此，的外接圓方程為.故答案為：.【題目點撥】方法點睛：求圓的方程，主要有兩種方法：（1）幾何法：具體過程中要用到初中有關圓的一些常用性質和定理如：①圓心在過切點且與切線垂直的直線上；②圓心在任意弦的中垂線上；③兩圓相切時，切點與兩圓心三點共線；（2）待定系數(shù)法：根據(jù)條件設出圓的方程，再由題目給出的條件，列出等式，求出相關量．一般地，與圓心和半徑有關，選擇標準式，否則，選擇一般式．不論是哪種形式，都要確定三個獨立參數(shù)，所以應該有三個獨立等式三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或【解題分析】（1）根據(jù)橢圓的焦距為2，離心率為，求出，，即可求橢圓的方程；（2）設直線方程為，代入橢圓方程，由得，利用韋達定理，化簡可得，求出，即可求直線的方程.試題解析：（1）設橢圓方程為，因為，所以，所求橢圓方程為.（2）由題得直線l的斜率存在，設直線l方程為y=kx+1，則由得，且．設，則由得，又，所以消去得，解得，，所以直線的方程為，即或.18、（1）；（2）.【解題分析】（1）根據(jù)條件列關于首項與公比的方程組，解得結果代入等比數(shù)列通項公式即可；（2）利用錯位相減法求和即可.【題目詳解】解析：（1）由題意可得：，∴∵，∴，∴數(shù)列的通項公式為.（2）∴上述兩式相減可得∴【題目點撥】本題考查等比數(shù)列通項公式、錯位相減法求和，考查基本分析求解能力，屬中檔題.19、（1）（2）【解題分析】（1）設橢圓的左，右焦點分別為，．利用橢圓的定義求出，然后求解，得到橢圓方程；（2）當直線的斜率存在時，設，，，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理以及弦長公式得到弦長的表達式，再通過換元利用二次函數(shù)的性質求解最值即可【小問1詳解】依題意，設橢圓的左，右焦點分別為，則，，，，橢圓的方程為【小問2詳解】當直線的斜率存在時，設，，，，由得由得由，得設，則，當直線的斜率不存在時，，的最大值為20、（1）；（2）.【解題分析】（1）根據(jù)題意，結合離心率易，知雙曲線為等軸雙曲線，進而可求解；（2）根據(jù)題意，分直線斜率否存在兩種情形討論，結合設而不求法以及向量數(shù)量積的坐標公式，即可求解.【小問1詳解】根據(jù)題意，由離心率為，知雙曲線是等軸雙曲線，所以，故雙曲線的標準方程為.【小問2詳解】當直線斜率存在時，設直線的方程為，則由消去，得到，∵直線與雙曲線交于M、N兩點，，解得.設，則有，，因此，∵，∴且，故或，故；②當直線的斜率不存在時，此時，易知，，故.綜上所述，所求的取值范圍是.21、每年至少要還6.17萬元.【解題分析】根據(jù)貸款總額和還款總額相等，50(1＋4%)10=x·(1＋4%)9＋x·(1＋4%)8＋…＋x，求解即可.【題目詳解】50萬元10年產生本息和與每年還x萬元的本息和相等，故有購房款50萬元十年的本息和：50(1＋4%)10，每年還x萬元的本息和：x·(1＋4%)9＋x·(1＋4%)8＋…＋x＝，從而有50(