2022-2023學年山西省呂梁市積翠中學高三數(shù)學文月考試題含解析

2022-2023學年山西省呂梁市積翠中學高三數(shù)學文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知是邊長為2的正三角形，在內(nèi)任取一點，則該點落在內(nèi)切圓內(nèi)的概率是(

)A．

B．

C.

D．參考答案：D如圖所示，△ABC是邊長為2的正三角形，則AD=，OD=，∴△ABC內(nèi)切圓的半徑為r=，所求的概率是P=．故答案為：D

2.（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A3.已知數(shù)列為等比數(shù)列，是它的前n項和，若，且與的等差中項為，則=（

）A.35

B.33

C.31

D.29參考答案：C4.（本小題滿分13分）已知橢圓，直線恒過的定點為橢圓的一個焦點，且橢圓上的點到焦點的最大距離為3.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線為垂直于軸的動弦，且均在橢圓上，定點，直線

與直線交于點．

①求證：點恒在橢圓上；

②求面積的最大值．

參考答案：（1）;（2）見解析,（1）直線可化為

，由得，

，，又，，

橢圓的方程為

………5分

（2）①設直線的方程為，則可設，且

直線的方程為，直線的方程為

聯(lián)立求得交點，代入橢圓方程得，

，化簡得：

點恒在橢圓上.

……………9分

②直線過點，設其方程為，

聯(lián)立得，

，

令，則

在上是增函數(shù)，的最小值為10.

………13分

5.已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．參考答案：B略6.拋物線y＝x2上的點到直線2x－y－10＝0的最小距離為（

）A．

B．0

C．

D．參考答案：A略7.已知{an}為等比數(shù)列且滿足a6﹣a2=30，a3﹣a1=3，則數(shù)列{an}的前5項和S5=（）A．15 B．31 C．40 D．121參考答案：B【考點】89：等比數(shù)列的前n項和．【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式列方程組求出a1公比q，再計算數(shù)列{an}的前5項和．【解答】解：等比數(shù)列{an}中，a6﹣a2=30，a3﹣a1=3，∴，∴=10，即q（q2+1）=10，∴q3+q﹣10=0，即（q﹣2）（q2+2q+5）=0，∴q﹣2=0或q2+2q+5=0，解得q=2，∴a1=1；∴數(shù)列{an}的前5項和為S5===31．故選：B．8.某校高三理科實驗班有5名同學報名參加甲、乙、丙三所高校的自主招生考試，每人限報一所高校．若這三所高校中每個學校都至少有1名同學報考，那么這5名同學不同的報考方法種數(shù)共有（

）A．144種

B．150種

C．196種

D．256種參考答案：B略9.點為雙曲線：和圓：的一個交點，且，其中為雙曲線的兩個焦點，則雙曲線的離心率為A.

B.

C.

D.參考答案：C略10.已知，，則（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B因為，sinx=cosx=所以tanx=tan2x==，應選答案D。

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)f（x）＝x－［x］，其中［x］表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，若關(guān)于x的方程f（x）＝kx＋k有三個不同的實根，則實數(shù)k的取值范圍是____________.參考答案：考點：根據(jù)函數(shù)圖像求交點個數(shù)12.的展開式中的系數(shù)為_______（用數(shù)字填寫答案）.參考答案：40【分析】,根據(jù)的通項公式分r=3和r=2兩種情況求解即可.【詳解】，由展開式的通項公式可得：當r=3時，展開式中的系數(shù)為；當r=2時，展開式中的系數(shù)為，則的系數(shù)為80-40=40.故答案為：40．【點睛】（1）二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時要注意二項式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項指數(shù)為零、有理項指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項.（2）求兩個多項式的積的特定項，可先化簡或利用分類加法計數(shù)原理討論求解.13.已知等比數(shù)列{an}中，，則________.參考答案：【分析】利用等比數(shù)列的通項公式即可求解.【詳解】由題意可得，解得，所以.故答案為：【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.14.在△ABC中，則的最大值為

.參考答案：∵acosB﹣bcosA=c，∴結(jié)合正弦定理，得sinAcosB﹣sinBcosA=sinC，∵C=π﹣（A+B），得sinC=sin（A+B）∴sinAcosB﹣sinBcosA=（sinAcosB+cosAsinB）整理，得sinAcosB=4sinBcosA，同除以cosAcosB，得tanA=4tanB由此可得tan（A﹣B）=∵A、B是三角形內(nèi)角，且tanA與tanB同號∴A、B都是銳角，即tanA＞0，tanB＞0∵+4tanB≥4∴tan（A﹣B）=≤，當且僅當=4tanB，即tanB=時，tan（A﹣B）的最大值為.

15.設是虛數(shù)單位,則______.參考答案：16.函數(shù)f（x）對于任意實數(shù)x滿足條件f（x+2）=,若f（1）=-5，則f[f（5）]=_____；參考答案：17.設函數(shù)有以下結(jié)論：①點（）是函數(shù)圖象的一個對稱中心；②直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸；③函數(shù)的最小正周期是；④將函數(shù)的圖象向右平移個單位后，對應的函數(shù)是偶函數(shù)。其中所有正確結(jié)論的序號是

。參考答案：②③④三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（10分）已知曲線C的極坐標方程為，直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，0≤＜).(Ⅰ)把曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程，并說明曲線C的形狀；(Ⅱ)若直線經(jīng)過點(1,0)，求直線被曲線C截得的線段AB的長.參考答案：（1）曲線C的直角坐標方程為，故曲線C是頂點為O（0，0），焦點為F(1,0)的拋物線；（2）直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，0≤＜).故l經(jīng)過點（0，1）；若直線經(jīng)過點(1,0)，則直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）代入，得設A、B對應的參數(shù)分別為，則=819.已知動圓C過定點M(0，2)，且在x軸上截得弦長為4．設該動圓圓心的軌跡為曲線C.（Ⅰ）求曲線C方程；（Ⅱ）點A為直線：上任意一點，過A作曲線C的切線，切點分別為P、Q，DAPQ面積的最小值及此時點A的坐標.參考答案：（Ⅰ）設動圓圓心坐標為，根據(jù)題意得，……2分化簡得.…………4分（Ⅱ）解法一：設直線的方程為，由消去得設，則，且……………6分以點為切點的切線的斜率為，其切線方程為即同理過點的切線的方程為設兩條切線的交點為在直線上，，解得，即則：，即……8分代入到直線的距離為…………10分當時，最小，其最小值為，此時點的坐標為.…………12分解法二：設在直線上，點在拋物線上，則以點為切點的切線的斜率為，其切線方程為即同理以點為切點的方程為…………6分設兩條切線的均過點，則，點的坐標均滿足方程，即直線的方程為：……………8分代入拋物線方程消去可得：到直線的距離為………………10分所以當時，最小，其最小值為，此時點的坐標為.…………12分20.已知函數(shù)f（x）=ax2+x﹣xlnx（a＞0）．（1）若函數(shù)滿足f（1）=2，且在定義域內(nèi)f（x）≥bx2+2x恒成立，求實數(shù)b的取值范圍；（2）若函數(shù)f（x）在定義域上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點】導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】導數(shù)的綜合應用．【分析】（1）由已知，求得f（x）=x2+x﹣xlnx．將不等式f（x）≥bx2+2x轉(zhuǎn)化為≥b．構(gòu)造函數(shù)g（x）=，只需b≤g（x）min即可．因此又需求g（x）min．（2）函數(shù)f（x）在定義域上是單調(diào)函數(shù)，需f′（x）在定義域上恒非負或恒非正．考查f′（x）的取值情況，進行解答．【解答】解：（1）∵f（1）=2，∴a=1，f（x）=x2+x﹣xlnx．由f（x）≥bx2+2x?≥b．令g（x）=，可得g（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，在[1，+∞）上單調(diào)遞增，所以g（x）min=g（1）=0，即b≤0．（2）f′（x）=2ax﹣lnx（x＞0）．令f′（x）＞0，得2a≥，

令h（x）=，當x=e時，h（x）max=∴當時，f′（x）＞0（x＞0）恒成立，此時．函數(shù)f（x）在定義域上單調(diào)遞增．若，g（x）=2ax﹣lnx，（x＞0），g′（x）=2a﹣由g′（x）=0，得出x=，，g′（x）＜0，，g′（x）＞0，∴x=時，g（x）取得極小值也是最小值．而當時，g（）=1﹣ln＜0，f′（x）=0必有根．f（x）必有極值，在定義域上不單調(diào)．綜上所述，．【點評】此題考查函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系的應用，考查學生會利用導函數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，掌握函數(shù)恒成立時所取的條件，是一道綜合題．21.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足=2+2cos（A+B）．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若a=1，c=，求△ABC的面積．參考答案：【考點】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）根據(jù)正弦定理進行轉(zhuǎn)化即可求的值；（Ⅱ）若a=1，c=，根據(jù)三角形的面積公式即可求△ABC的面積．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴sin（2A+B）=2sinA+2sinAcos（A+B），∴sin[A+（A+B）]=2sinA+2sinAcos（A+B），∴sin（A+B）cosA﹣cosAsin（A+B）=2sinA，…∴sinB=2sinA，…∴b=2a，∴．…（Ⅱ）∵，，∴b=2，∴，∴．…∴，即△ABC的面積的．…22.已知等差數(shù)列{an}的前n（n∈N*）項和為Sn，a3=3，且λSn=anan+1，在等比數(shù)列{bn}中，b1=2λ，b3=a15+1．（Ⅰ）求數(shù)列{an}及{bn}的通項公式；（Ⅱ）設數(shù)列{cn}的前n（n∈N*）項和為Tn，且，求Tn．參考答案：【考點】8E：數(shù)列的求和；8H：數(shù)列遞推式．【分析】（I）分別令n=1，2列方程，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可