2021年浙江省臺(tái)州市宏大中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析

2021年浙江省臺(tái)州市宏大中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若α∈（，π）且3cos2α=4sin（﹣α），則sin2α的值為（）A． B．﹣ C．﹣ D．參考答案：C【考點(diǎn)】二倍角的余弦；兩角和與差的正弦函數(shù)．【專題】三角函數(shù)的求值．【分析】由條件化簡(jiǎn)可得3（cosα+sinα）=2，平方可得1+sin2α=，從而解得sin2α的值．【解答】解：∵α∈（，π），且3cos2α=4sin（﹣α），∴3（cos2α﹣sin2α）=4（cosα﹣sinα），化簡(jiǎn)可得：3（cosα+sinα）=2，平方可得1+sin2α=，解得：sin2α=﹣，故答案為：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩角和差的正弦公式、二倍角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．2.設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為(

) A．2 B．﹣2 C． D．參考答案：A考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．分析：化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)為a+bi的形式，利用復(fù)數(shù)的基本概念，列出方程求解即可．解答： 解：依題意．由復(fù)數(shù)為純虛數(shù)可知，且，求得m=2．故選：A．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念與復(fù)數(shù)的運(yùn)算．解題的關(guān)鍵是利用復(fù)數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算，求解時(shí)注意理解純虛數(shù)的概念．3.現(xiàn)有3位男生和3位女生排成一行，若要求任何兩位男生和任何兩位女生均不能相鄰，且男生甲和女生乙必須相鄰，則這樣的排法總數(shù)是

（

）A．20

B．40

C．60

D．80參考答案：B4.（5分）（2015秋?太原期末）若m，n是兩條不同的直線，m⊥平面α，則“m⊥n”是“n∥α”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件參考答案：B【分析】“m⊥n”推不出“n∥α”，“n∥α”?“m⊥n”．【解答】解：∵m，n是兩條不同的直線，m⊥平面α，∴“m⊥n”推不出“n∥α”，“n∥α”?“m⊥n”，∴“m⊥n”是“n∥α”的必要不充分條件．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命真假的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系的合理運(yùn)用．5.已知函數(shù)f（x）=ex+x，對(duì)于曲線y=f（x）上橫坐標(biāo)成等差數(shù)列的三個(gè)點(diǎn)A，B，C，給出以下判斷：①△ABC一定是鈍角三角形；②△ABC可能是直角三角形；③△ABC可能是等腰三角形；④△ABC不可能是等腰三角形．其中，正確的判斷是（）A．①③B．①④C．②③D．②④參考答案：B考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合．專題：綜合題；壓軸題；探究型；數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法．分析：由于函數(shù)f（x）=ex+x，對(duì)于曲線y=f（x）上橫坐標(biāo)成等差數(shù)列的三個(gè)點(diǎn)A，B，C，由函數(shù)的定義及函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行判斷即可得出正確選項(xiàng)，對(duì)于①正確，由函數(shù)的圖象可以得出，角ABC是鈍角，②亦可由此判斷出；③④可由變化率判斷出．解答：解：由于函數(shù)f（x）=ex+x，對(duì)于曲線y=f（x）上橫坐標(biāo)成等差數(shù)列的三個(gè)點(diǎn)A，B，C，且橫坐標(biāo)依次增大由于此函數(shù)是一個(gè)單調(diào)遞增的函數(shù)，故由A到B的變化率要小于由B到C的變化率．可得出角ABC一定是鈍角故①對(duì)，②錯(cuò)．由于由A到B的變化率要小于由B到C的變化率，由兩點(diǎn)間距離公式可以得出AB＜BC，故三角形不可能是等腰三角形，由此得出③不對(duì)，④對(duì)．故選B．點(diǎn)評(píng)：此題考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合，求解本題的關(guān)鍵是反函數(shù)的性質(zhì)及其變化規(guī)律研究清楚，由函數(shù)的圖形結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)得出答案．6.設(shè)，定義符號(hào)函數(shù)，則函數(shù)的圖像大致是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：C7.已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E是棱D1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在正方體內(nèi)部或正方體的表面上，若EF∥平面A1BC1，則動(dòng)點(diǎn)F的軌跡所形成的區(qū)域面積是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】L2：棱柱的結(jié)構(gòu)特征．【分析】分別取棱CC1、BC、AB、AA1、A1D1的中點(diǎn)M、N、G、Q、P，推導(dǎo)出平面EMNGQP∥平面A1BC1，從而動(dòng)點(diǎn)F的軌跡所形成的區(qū)域是平面EMNGQP，由此能求出動(dòng)點(diǎn)F的軌跡所形成的區(qū)域面積．【解答】解：如圖，分別取棱CC1、BC、AB、AA1、A1D1的中點(diǎn)M、N、G、Q、P，則PE∥A1C1∥GN，EM∥A1B∥GQ，PQ∥BC1∥MN，∴平面EMNGQP∥平面A1BC1，∵點(diǎn)F在正方體內(nèi)部或正方體的表面上，若EF∥平面A1BC1，∴動(dòng)點(diǎn)F的軌跡所形成的區(qū)域是平面EMNGQP，∵正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，∴PE=EM=MN=NG=GQ=PQ=，PN=，∴E到PN的距離d==，∴動(dòng)點(diǎn)F的軌跡所形成的區(qū)域面積：S=2S梯形PNME=2×=．故選：C．8.已知集合,,若,則實(shí)數(shù)=(

)A.3

B.2

C.2或3

D.0或2或3參考答案：D9.若等邊△ABC的邊長(zhǎng)為3，平面內(nèi)一點(diǎn)M滿足=+，則?的值為（）A．﹣ B．﹣2 C． D．2參考答案：B【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．利用向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出．【解答】解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系：B（0，），A（，0），C（﹣，0）．=（，），=（3，0）=+=（2，）．=（，），

∴=（﹣1，），=（，﹣）則?=﹣=﹣2．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．10.已知Rt△ABC，兩直角邊AB=1，AC=2，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠DAB=60°，設(shè)=λ+μ（λ，μ∈R），則=（）A． B． C．3 D．2參考答案：A【考點(diǎn)】平面向量的基本定理及其意義．【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，分別寫(xiě)出B、C點(diǎn)坐標(biāo)，由于∠DAB=60°，設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（m，），由平面向量坐標(biāo)表示，可求出λ和μ．【解答】解：如圖以A為原點(diǎn)，以AB所在的直線為x軸，以AC所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），∠DAB=60°，設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（m，），=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）?λ=m，μ=，則=．故選：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如果實(shí)數(shù)x，y滿足條則z=的最大值為．參考答案：【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用分式的性質(zhì)，結(jié)合直線斜率的幾何意義進(jìn)行求解即可．【解答】解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖，z==2﹣，設(shè)k=，則z=1﹣k，k的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的斜率，要求z=1﹣k的最大值，則求k的最小值，由圖象知OC的斜率最小，由得，即C（，1），則k==，則z=2﹣=，故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．12.已知命題：是奇函數(shù)；。下列函數(shù)：①，②，③中能使都成立的是

.（寫(xiě)出符合要求的所有函數(shù)的序號(hào)）.參考答案：①②若，所以為奇函數(shù)。成立，所以①滿足條件。若，則為奇函數(shù)。，所以②成立。若，則不是奇函數(shù)，所以③不滿足條件，所以使都成立的是①②。13.在△ABC中，已知AC=4，C=，B∈（，），點(diǎn)D在邊BC上，且AD=BD=3，則?=

．參考答案：6【分析】根據(jù)條件畫(huà)出圖形，容易判斷出∠BDA為銳角，而在△ACD中，根據(jù)正弦定理可求出sin∠ADC的值，進(jìn)而得出cos∠BDA的值，而，，這樣帶入進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可求出該數(shù)量積的值．【解答】解：如圖，AD=BD；∴∠DAB=∠B；∵；∴；在△ACD中，AC=4，AD=3，C=，由正弦定理得：；即；∴；∴；∴===6．故答案為：6．

14.若，則的值為_(kāi)___________參考答案：試題分析：由誘導(dǎo)公式，得，，故答案為考點(diǎn)：1、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用；2、倍角公式的應(yīng)用．15.已知、、是雙曲線上不同的三點(diǎn)，且、兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若直線、的斜率乘積，則該雙曲線的離心率___________．參考答案：根據(jù)題意，設(shè)，，則，∴．∵，，∴兩式相減可得．∵，∴，故．16.已知是正整數(shù)，若，則的取值范圍是

．參考答案：且（“”或“”4分）略17.已知向量，，且，則

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊長(zhǎng)分別為,設(shè)為的面積,滿足.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的最大值.參考答案：（Ⅰ）由已知及三角形面積公式和余弦定理得

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,△ABC的內(nèi)角和,又得．

…6分由正弦定理，知，

所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值

……12分19.某工廠有25周歲以上（含25周歲）工人300名，25周歲以下工人200名．為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān)．現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人，先統(tǒng)計(jì)了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù)，然后按工人年齡在“25周歲以上（含25周歲）”和“25周歲以下”分為兩組，再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）分別加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機(jī)抽取2人，求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的頻率．（2）規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”，請(qǐng)你根據(jù)已知條件完成2×2的列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”？附表：P（K2≥k）0.1000.0100.001k2.7066.63510.828K2=，（其中n=a+b+c+d）參考答案：【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用．【專題】應(yīng)用題；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（1）由分層抽樣的特點(diǎn)可得樣本中有25周歲以上、下組工人人數(shù)，再由所對(duì)應(yīng)的頻率可得樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中，25周歲以上、下組工人的人數(shù)分別為3，2，由古典概型的概率公式可得答案；（2）由頻率分布直方圖可得“25周歲以上組”中的生產(chǎn)能手的人數(shù)，以及“25周歲以下組”中的生產(chǎn)能手的人數(shù)，據(jù)此可得2×2列聯(lián)表，可得k2≈1.79，由1.79＜2.706，可得結(jié)論．【解答】解：（1）由已知可得，樣本中有25周歲以上組工人100×=60名，25周歲以下組工人100×=40名，所以樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中，25周歲以上組工人有60×0.05=3（人），25周歲以下組工人有40×0.05=2（人），故從中隨機(jī)抽取2名工人所有可能的結(jié)果共=10種，其中至少1名“25周歲以下組”工人的結(jié)果共?+=7種，故所求的概率為：；（2）由頻率分布直方圖可知：在抽取的100名工人中，“25周歲以上組”中的生產(chǎn)能手有60×0.25=15（人），“25周歲以下組”中的生產(chǎn)能手有40×0.375=15（人），據(jù)此可得2×2列聯(lián)表如下：

生產(chǎn)能手非生產(chǎn)能手合計(jì)25周歲以上組15456025周歲以下組152540合計(jì)3070100所以可得k2=≈1.79，因?yàn)?.79＜2.706，所以沒(méi)有90%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”．【點(diǎn)評(píng)】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，涉及頻率分布直方圖，以及古典概型的概率公式，屬中檔題．20.（13分）設(shè)函數(shù).（Ⅰ）若時(shí)，取得極值，求的值；（Ⅱ）若在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求的取值范圍；（Ⅲ）設(shè)，當(dāng)=－1時(shí)，證明在其定義域內(nèi)恒成立，并證明（）.參考答案：解析：，（Ⅰ）因?yàn)闀r(shí)，取得極值，所以，

即

故．

………………3分（Ⅱ）的定義域?yàn)?方程的判別式,(1)當(dāng),即時(shí)，,在內(nèi)恒成立,此時(shí)為增函數(shù).(2)當(dāng),即或時(shí)，要使在定義域內(nèi)為增函數(shù),只需在內(nèi)有即可,設(shè)，由

得,

所以.由(1)(2)可知,若在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，的取值范圍是.………………9分（Ⅲ）證明：，當(dāng)=－1時(shí)，，其定義域是，令，得.則在處取得極大值，也是最大值.