高中數(shù)學第四章導數(shù)應用4.2.2最大值最小值問題筆記北師大版選修

導數(shù)在實際問題中的應用4.2.2最大值、最小值問題最小的就是函數(shù)在上的最小值。由極值點及導數(shù)不存在的點與區(qū)間端點的函數(shù)值相比較，其中最大的就是函數(shù)在上的最大值，

函數(shù)的極值是局部性概念，而最值是一個全局性概念。一、函數(shù)的最大值與最小值的定義：

函數(shù)y=f（x）在[a,b]上的最大值點x0指的是：函數(shù)在這個區(qū)間上所有點的函數(shù)值都不超過f（x0

）。同理，如果所有點的函數(shù)值都不小于f（x0

），即x[a，b],都有f（x）≥

f（x0

），則稱x0是最小值點。結論：即：x[a,b],都有f（x）≤f（x0

）三.求最大（最小）值應用題的一般方法(1)分析實際問題中各量之間的關系，把實際問題化為數(shù)學問題，建立函數(shù)關系式，這是關鍵一步。(2)確定函數(shù)定義域，并求出極值點。(3)比較各極值與定義域端點函數(shù)值的大小，結合實際，確定最值或最值點。（2）在實際問題中，由問題的實際意義可知，確實存在最大值或最小值，又若函數(shù)在所討論的區(qū)間內(nèi)只有一個可能的極值點，則該點處的函數(shù)值一定是最大值或最小值。二.兩種特殊情況：（1）如果在上是單調(diào)函數(shù)；單調(diào)函數(shù)的最值在端點處取得。542+極小值0-極大值00+(-2,0)-1120-2解：解方程例4

求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值。由上表可見：x1=0是函數(shù)的極大值點，x2=是函數(shù)的極小值點。計算函數(shù)極大值點x1=0、極小值點x2=、區(qū)間端點x3=-2和x4=2處的值。比較上面四個值可見，該函數(shù)的在區(qū)間上的最大值為5，最小值為-11。-20xy2四.例題講解圖像如右圖所示。例5:在邊長為48cm的正方形鐵皮的四角各切去相等的正方形,再把它的邊沿虛線折起(如圖),做成一個無蓋長方體容器,所得容器的體積V（單位：cm3）是關于截去的小正方形的邊長（單位：cm3）的函數(shù)。（1）隨著的變化容積V是如何變化的？（2）截去的小正方形的邊長是多少時,容器的容積最大?最大容積是多少?解該函數(shù)的定義域為（0，24）.由導數(shù)公式表及求導法則得x48所以極大值為f（8）=（48-16）2×8=8192（cm3）當0<x≤8時，f(x)是增加的；當8≤x<24時，f（x）是減少的。（2）又（0,24）上任意點的函數(shù)值都不超過f（8），可見f（8）=8192是最大值。即當截去的小正方形的邊長為8cm時，容器的容積最大為8192cm3。（0,8）8（8,24）+0-極大值由以上兩根得下表，分析導函數(shù)的符號得到函數(shù)的單調(diào)性與極值點。1.求函數(shù)在區(qū)間

上的最大值與最小值。解比較可知，在上最大值為，最小值為得:令，五.隨堂演練你做對了嗎？2.工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品，當年產(chǎn)量為x（單位：百臺）時，總成本（單位：萬元）為C(x)=3+x，其銷售收入（單位：萬元）為,問年產(chǎn)量x為多少時，總利潤L（X）

最大？利潤為令，得于是（萬元）是最大值。即每年生產(chǎn)400臺時，總利潤最大，最大利潤為5萬元。因為是函數(shù)的唯一極大值點，解如圖，制作一個容積為的圓柱形密閉容器，怎樣設計才能使所用材料最?。縣r六.思考探究一、導數(shù)在實際生活中的應用主要是解決有關函數(shù)最大值、最小值的實際問題，主要有以下幾個方面：（1）與幾何有關的最值問題；（2）與物理學有關的最值問題；（3）與利潤及其成本有關的最值問題；（4）效率最值問題。七.課堂小結二、求最大（最?。┲祽妙}的