湖北省實(shí)驗(yàn)中學(xué)等六校2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

湖北省實(shí)驗(yàn)中學(xué)等六校2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末監(jiān)測(cè)模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線(xiàn)內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知點(diǎn)到直線(xiàn)：的距離為1，則等于（）A. B.C. D.2．設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，，為左、右焦點(diǎn)，且，則（）A.為銳角三角形 B.為鈍角三角形C.為直角三角形 D.，，三點(diǎn)構(gòu)不成三角形3．已知直線(xiàn)在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距之和為7，則實(shí)數(shù)m的值為（）A.2 B.3C.4 D.54．下列命題正確的是（）A.經(jīng)過(guò)三點(diǎn)確定一個(gè)平面B.經(jīng)過(guò)一條直線(xiàn)和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面C.四邊形確定一個(gè)平面D.兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線(xiàn)確定一個(gè)平面5．已知實(shí)數(shù)成等比數(shù)列，則圓錐曲線(xiàn)的離心率為（）A. B.2C.或2 D.或6．已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為雙曲線(xiàn)在第一象限上的點(diǎn)，直線(xiàn)，分別交雙曲線(xiàn)的左，右支于另一點(diǎn)，，若，且，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A. B.3C.2 D.7．若拋物線(xiàn)x＝﹣my2的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為2，則m＝（）A.﹣4 B.C. D.±8．經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)的傾斜角為，則A. B.C. D.9．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則（）A. B.4C.3 D.210．某高校甲、乙兩位同學(xué)大學(xué)四年選修課程的考試成績(jī)等級(jí)（選修課的成績(jī)等級(jí)分為1，2，3，4，5，共五個(gè)等級(jí)）的條形圖如圖所示，則甲成績(jī)等級(jí)的中位數(shù)與乙成績(jī)等級(jí)的眾數(shù)分別是（）A.3，5 B.3，3C.3.5，5 D.3.5，411．已知，是空間中的任意兩個(gè)非零向量，則下列各式中一定成立的是（）A. B.C. D.12．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.2C. D.3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．中國(guó)古代《易經(jīng)》一書(shū)中記載，人們通過(guò)在繩子上打結(jié)來(lái)記錄數(shù)量，即“結(jié)繩計(jì)數(shù)”，如圖，一位古人在從右到左依次排列的紅繩子上打結(jié)，滿(mǎn)三進(jìn)一，用來(lái)記錄每年進(jìn)的錢(qián)數(shù).由圖可得，這位古人一年的收入的錢(qián)數(shù)為_(kāi)__________.14．如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開(kāi)圖中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cos∠FCB=______________.15．若，滿(mǎn)足約束條件，則的最大值為_(kāi)____________16．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足通項(xiàng)公式，則________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)(其中為自然對(duì)數(shù)底數(shù))（1）討論函數(shù)的單調(diào)性;（2）當(dāng)時(shí)，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，（1）求，；（2）已知，，試比較，的大小19．（12分）命題p：直線(xiàn)l：與圓C：有公共點(diǎn)，命題q：雙曲線(xiàn)的離心率（1）若p，q均為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若為真，為假，求實(shí)數(shù)m的取值范圍20．（12分）設(shè)命題對(duì)于任意，不等式恒成立．命題實(shí)數(shù)a滿(mǎn)足（1）若命題p為真，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若“p或q”為真，“p且q”為假，求實(shí)數(shù)a的取值范圍21．（12分）設(shè)：，：.（1）若命題“，是真命題”，求的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求的取值范圍.22．（10分）如圖，四棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，底面為菱形，且平面平面，，為上一點(diǎn)，滿(mǎn)足.（1）證明：；（2）求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，即可求得參數(shù)的值.【題目詳解】因?yàn)辄c(diǎn)到直線(xiàn)：的距離為1，故可得，整理得，解得.故選：.2、D【解題分析】根據(jù)橢圓方程求出，然后結(jié)合橢圓定義和已知條件求出并求出，進(jìn)而判斷答案.【題目詳解】由題意可知，，由橢圓的定義可知，而，聯(lián)立方程解得，且，則6+2=8，即不構(gòu)成三角形.故選：D.3、C【解題分析】求出直線(xiàn)方程在兩坐標(biāo)軸上的截距，列出方程，求出實(shí)數(shù)m的值.【題目詳解】當(dāng)時(shí)，，故不合題意，故，，令得：，令得：，故，解得：.故選：C4、D【解題分析】由平面的基本性質(zhì)結(jié)合公理即可判斷.【題目詳解】對(duì)于A，過(guò)不在一條直線(xiàn)上三點(diǎn)才能確定一個(gè)平面，故A不正確；對(duì)于B，經(jīng)過(guò)一條直線(xiàn)和直線(xiàn)外一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面，故B不正確；對(duì)于C，空間四邊形不能確定一個(gè)平面，故C不正確；對(duì)于D，兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線(xiàn)確定一個(gè)平面，故D正確.故選：D5、C【解題分析】根據(jù)成等比數(shù)列求得，再根據(jù)離心率計(jì)算公式即可求得結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)成等比數(shù)列，故可得，解得或；當(dāng)時(shí)，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線(xiàn)，此時(shí).故選：C.6、D【解題分析】由雙曲線(xiàn)的定義可設(shè)，，由平面幾何知識(shí)可得四邊形為平行四邊形，三角形，用余弦定理，可得，的方程，再由離心率公式可得所求值【題目詳解】由雙曲線(xiàn)的定義可得，由，可得，，結(jié)合雙曲線(xiàn)性質(zhì)可以得到，而，結(jié)合四邊形對(duì)角線(xiàn)平分，可得四邊形為平行四邊形，結(jié)合，故，對(duì)三角形，用余弦定理，得到，結(jié)合，可得，，，代入上式子中，得到，即，結(jié)合離心率滿(mǎn)足，即可得出，故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查求雙曲線(xiàn)的離心率，熟記雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.7、D【解題分析】把拋物線(xiàn)的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，即可得到結(jié)果，得到答案.【題目詳解】由題意，拋物線(xiàn)，可得，又由拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為2，即，解得.故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解題分析】由題意，得，解得；故選A考點(diǎn)：直線(xiàn)的傾斜角與斜率9、C【解題分析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)得，由其為純虛數(shù)求參數(shù)a，進(jìn)而求的模即可.【題目詳解】由純虛數(shù)，∴，解得：，則，故選：C10、C【解題分析】將甲的所有選修課等級(jí)從低到高排列可得甲的中位數(shù)，由圖可知乙的選修課等級(jí)的眾數(shù).【題目詳解】由條形圖可得，甲同學(xué)共有10門(mén)選修課，將這10門(mén)選修課的成績(jī)等級(jí)從低到高排序后，第5，6門(mén)的成績(jī)等級(jí)分別為3，4，故中位數(shù)為，乙成績(jī)等級(jí)的眾數(shù)為5.故選：C.11、C【解題分析】利用向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算性質(zhì)逐一分析各選項(xiàng)即可得答案.【題目詳解】解：對(duì)A：因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)B：因?yàn)椋蔬x項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)C：因?yàn)?，故選項(xiàng)C正確；對(duì)D：因?yàn)椋蔬x項(xiàng)D錯(cuò)誤故選：C.12、D【解題分析】求出拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)l的方程，過(guò)A作l的垂線(xiàn)段，結(jié)合幾何意義及拋物線(xiàn)定義即可得解.【題目詳解】拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)l：，顯然點(diǎn)A在拋物線(xiàn)C內(nèi)，過(guò)A作AM⊥l于M，交拋物線(xiàn)C于P，如圖，在拋物線(xiàn)C上任取不同于點(diǎn)P的點(diǎn)，過(guò)作于點(diǎn)N，連PF，AN，，由拋物線(xiàn)定義知，，于是得，即點(diǎn)P是過(guò)A作準(zhǔn)線(xiàn)l的垂線(xiàn)與拋物線(xiàn)C的交點(diǎn)時(shí)，取最小值，所以的最小值為3.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、25【解題分析】將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三進(jìn)制計(jì)算，即可求解【題目詳解】解：由題意可得，從左到右的數(shù)字依次為221，即古人一年的收入的錢(qián)數(shù)為故答案為：14、【解題分析】在中，利用余弦定理可求得，可得出，利用勾股定理計(jì)算出、，可得出，然后在中利用余弦定理可求得的值.【題目詳解】，，，由勾股定理得，同理得，，在中，，，，由余弦定理得，，在中，，，，由余弦定理得.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用余弦定理解三角形，考查計(jì)算能力，屬于中等題.15、6【解題分析】首先根據(jù)題中所給的約束條件，畫(huà)出相應(yīng)的可行域，再將目標(biāo)函數(shù)化成斜截式，之后在圖中畫(huà)出直線(xiàn)，在上下移動(dòng)的過(guò)程中，結(jié)合的幾何意義，可以發(fā)現(xiàn)直線(xiàn)過(guò)B點(diǎn)時(shí)取得最大值，聯(lián)立方程組，求得點(diǎn)B的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)解析式，求得最大值.【題目詳解】根據(jù)題中所給的約束條件，畫(huà)出其對(duì)應(yīng)的可行域，如圖所示：由，可得，畫(huà)出直線(xiàn)，將其上下移動(dòng)，結(jié)合的幾何意義，可知當(dāng)直線(xiàn)在y軸截距最大時(shí)，z取得最大值，由，解得，此時(shí)，故答案為6.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)線(xiàn)性規(guī)劃的問(wèn)題，在求解的過(guò)程中，首先需要正確畫(huà)出約束條件對(duì)應(yīng)的可行域，之后根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的形式，判斷z的幾何意義，之后畫(huà)出一條直線(xiàn)，上下平移，判斷哪個(gè)點(diǎn)是最優(yōu)解，從而聯(lián)立方程組，求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入求值，要明確目標(biāo)函數(shù)的形式大體上有三種：斜率型、截距型、距離型；根據(jù)不同的形式，應(yīng)用相應(yīng)的方法求解.16、【解題分析】由時(shí)，，可得，利用累乘法得，從而即可求解.【題目詳解】因?yàn)?，所以時(shí)，，即，化簡(jiǎn)得，又，所以，檢驗(yàn)時(shí)也成立，所以，所以，故答案：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）答案見(jiàn)解析（2）【解題分析】（1），進(jìn)而分，，三種情況討論求解即可；（2）由題意知在上恒成立，故令，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值，注意到使，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)隱零點(diǎn)求解即可.【小問(wèn)1詳解】解：①，在上單調(diào)增；②，令，單調(diào)減單調(diào)增；③，單調(diào)增單調(diào)減.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【小問(wèn)2詳解】解：由題意知在上恒成立，令，，單調(diào)遞增∵，∴使得，即單調(diào)遞減；單調(diào)遞增，令，則在上單調(diào)增，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是18、（1），；（2）.【解題分析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差，等比數(shù)列的公比，由已知列式計(jì)算得解.(2)由(1)的結(jié)論，用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出，用裂項(xiàng)相消法求出，再比較大小作答.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，依題意，，整理得：，解得，所以，.【小問(wèn)2詳解】由(1)知，，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，，，則，用數(shù)學(xué)歸納法證明，，①當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，左邊>右邊，即原不等式成立，②假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即，則，即時(shí)，原不等式成立，綜合①②知，，成立，因此，，即，所以.19、（1），；（2）.【解題分析】(1)求出，成立的等價(jià)條件，即可求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若“”為假命題，“”為真命題，則、一真一假，當(dāng)真假時(shí)，求出的取值范圍，當(dāng)假真時(shí)，求出的取值范圍，然后取并集即可得答案【小問(wèn)1詳解】若命題為真命題，則，解得：，若命題為真命題，則且，，解得，∴，均為真命題，實(shí)數(shù)的取值范圍是，；【小問(wèn)2詳解】若為真，為假，則、一真一假；①當(dāng)真假時(shí)，即“”且“或”，則此時(shí)的取值范圍是；當(dāng)假真時(shí)，即“或”且“”，則此時(shí)的取值范圍是；綜上,的取值范圍是20、（1）（2）【解題分析】(1)由即可獲解(2)p、q一真一假,分情況討論即可【小問(wèn)1詳解】由命題為真,得任意,不等式恒成立所以即所以實(shí)數(shù)的取值范圍為【小問(wèn)2詳解】由命題為真,得因?yàn)椤盎颉睘檎?“且”為假,所以p、q一真一假若真假,則,即若假真,即所以實(shí)數(shù)的取值范圍為21、（1）（2）【解題分析】（1）解不等式得到解集，根據(jù)題意列出不等式組，求出的取值范圍；（2）先解不等式，再根據(jù)充分不必要條件得到是的真子集，進(jìn)而求出的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋煽傻茫海驗(yàn)椤埃睘檎婷}，所以，即，解得：.即的取值范圍是.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋煽傻茫海驗(yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，所以是的真子集，所以（等號(hào)不同時(shí)取），解得：，即的取值范圍是.22、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解題分析】（1）設(shè)為中點(diǎn)，連接，根據(jù)，證明平面得到答案.（2）以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算各點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算平面和平面的