2024屆福建省廈門市大同中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

2024屆福建省廈門市大同中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某產(chǎn)品的銷售收入（萬元）是產(chǎn)量x（千臺(tái)）的函數(shù)，且函數(shù)解析式為，生產(chǎn)成本（萬元）是產(chǎn)量x（千臺(tái)）的函數(shù)，且函數(shù)解析式為，要使利潤(rùn)最大，則該產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)（）A.6千臺(tái) B.7千臺(tái)C.8千臺(tái) D.9千臺(tái)2．已知橢圓上一點(diǎn)到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離是，則點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（）A.2 B.3C.4 D.53．已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為3，，則（）A. B.4C. D.14．“”是“方程是圓的方程”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．在等比數(shù)列中，，則等于（）A. B.C. D.6．已知數(shù)列滿足，且，為其前n項(xiàng)的和，則（）A. B.C. D.7．橢圓以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，經(jīng)過點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C.或 D.或8．若，，則下列各式中正確的是（）A. B.C. D.9．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上的點(diǎn)且滿足，則兩異面直線，所成角的余弦值是（）A. B.C. D.10．在公比為為q等比數(shù)列中，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則下列說法正確的是（）A. B.數(shù)列是等比數(shù)列C. D.11．已知直線的方向向量為，則直線l的傾斜角為（）A.30° B.60°C.120° D.150°12．若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則_______14．已知從某班學(xué)生中任選兩人參加農(nóng)場(chǎng)勞動(dòng)，選中兩人都是男生的概率是，選中兩人都是女生的概率是，則選中兩人中恰有一人是女生的概率為______15．雙曲線的離心率為__________16．已知平面的法向量為，平面的法向量為，若，則___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線C：y2=4x經(jīng)過點(diǎn)A（1，2），直線l：y=kx+b與拋物線C交于M，N兩點(diǎn).（1）若，求直線l的方程；（2）當(dāng)AM⊥AN時(shí)，若對(duì)任意滿足條件的實(shí)數(shù)k，都有b=mk+n（m，n為常數(shù)），求m+2n的值.18．（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.19．（12分）如圖，在多面體中，平面平面．四邊形為正方形，四邊形為梯形，且，，，（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）線段上是否存在點(diǎn)，使得直線平面?若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由20．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，且，點(diǎn)在棱上，且直線與平面所成角的正弦值為（1）求點(diǎn)的位置；（2）求點(diǎn)到平面的距離21．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若數(shù)列滿足，證明數(shù)列的前n項(xiàng)和22．（10分）如圖，在四棱柱中，，，，四邊形為菱形，在平面ABCD內(nèi)的射影O恰好為AD的中點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】構(gòu)造利潤(rùn)函數(shù)，求導(dǎo)，判斷單調(diào)性，求得最大值處對(duì)應(yīng)的自變量即可.【題目詳解】設(shè)利潤(rùn)為y萬元，則，∴.令，解得（舍去）或，經(jīng)檢驗(yàn)知既是函數(shù)的極大值點(diǎn)又是函數(shù)的最大值點(diǎn)，∴應(yīng)生產(chǎn)6千臺(tái)該產(chǎn)品.故選：A【題目點(diǎn)撥】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在某區(qū)間上最值的規(guī)律：(1)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增或遞減，與一個(gè)為最大值，一個(gè)為最小值(2)若函數(shù)在閉區(qū)間上有極值，要先求出上的極值，與，比較，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成(3)函數(shù)在區(qū)間上有唯一一個(gè)極值點(diǎn)，這個(gè)極值點(diǎn)就是最大(或小)值點(diǎn)，此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常用到2、C【解題分析】根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合題意，即可求得結(jié)果.【題目詳解】設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，故可得，又到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離是，故點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為.故選：.3、D【解題分析】設(shè)等比數(shù)列公比為，由已知結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得，，代入即可求得結(jié)果.【題目詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得即，又，即又，，解得又等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為3，故，即，解得故選：D4、A【解題分析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.【題目詳解】若方程表示圓，則，即，解得或，故“”是“方程是圓的方程”的充分不必要條件，故選：A5、C【解題分析】根據(jù)，然后與，可得，最后簡(jiǎn)單計(jì)算，可得結(jié)果.【題目詳解】在等比數(shù)列中，由所以，又，所以所以故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，重在計(jì)算，當(dāng)，在等差數(shù)列中有，在等比數(shù)列中，靈活應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.6、B【解題分析】根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求解.【題目詳解】由題可知是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，則.故選：B.7、C【解題分析】分情況討論焦點(diǎn)所在位置及橢圓方程.【題目詳解】當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，由題意過點(diǎn)，故，，橢圓方程為，當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，，橢圓方程為，故選：C.8、D【解題分析】根據(jù)題意，結(jié)合，，利用不等式的性質(zhì)可判斷，從而判斷，再利用不等式性質(zhì)得出正確答案.【題目詳解】，，，又，，兩邊同乘以負(fù)數(shù)，可知故選：D9、A【解題分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)、、、和向量的、坐標(biāo)，運(yùn)用求異面直線余弦值的公式即可求出.【題目詳解】解：以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)第,則，，，，故,,，故兩異面直線，所成角的余弦值是.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查求異面直線所成角的余弦值，屬于中檔題.10、D【解題分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式的基本量運(yùn)算，即可得到答案；【題目詳解】，，故A錯(cuò)誤；，，顯然數(shù)列不是等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤；，，故D成立；故選：D11、B【解題分析】利用直線的方向向量求出其斜率，進(jìn)而求出傾斜角作答.【題目詳解】因直線的方向向量為，則直線l的斜率，直線l的傾斜角，于是得，解得，所以直線l的傾斜角為.故選：B12、A【解題分析】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間上大于等于0恒成立，進(jìn)而求出結(jié)果.【題目詳解】由題意得：在區(qū)間上恒成立，而，所以.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】根據(jù)給定條件求出正項(xiàng)等比數(shù)列的公比即可計(jì)算作答.【題目詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，依題意，，即，而，解得，所以.故答案為：14、【解題分析】記“選中兩人都是男生”為事件，“選中兩人都是女生”為事件，“選中兩人中恰有一人是女生”為事件，根據(jù)為互斥事件，與為對(duì)立事件，從而可求出答案.【題目詳解】記“選中兩人都是男生”為事件，“選中兩人都是女生”為事件，“選中兩人中恰有一人是女生”為事件，易知為互斥事件，與為對(duì)立事件，又，所以.故答案為：.15、【解題分析】∵雙曲線的方程為∴，∴∴故答案為16、2【解題分析】由，可兩平面的法向量也平行，從而可求出，進(jìn)而可求得答案【題目詳解】因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?，平面的法向量為，，所以∥，所以存?shí)數(shù)使，所以，所以，解得，所以，故答案為：2三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）3或【解題分析】（1）由可得，則可得直線為，設(shè)，然后將直線方程代入拋物線方程中消去，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，由可得，三個(gè)式子結(jié)合可求出，從而可得直線方程，（2）將直線方程代入拋物線方程中消去，再利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出，再結(jié)合直線方程表示出，由AM⊥AN可得，化簡(jiǎn)結(jié)合前面的式子可求出或，從而可可求出的值，進(jìn)而可求得答案【小問1詳解】因?yàn)锳（1，2），，所以，則直線為，設(shè)，由，得，由，得則，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，解得，所以直線的方程為，即，【小問2詳解】設(shè)，由，得，由，得，則，所以，，因?yàn)锳M⊥AN，所以，所以，即，所以，所以，所以或，所以或，所以或18、（1）；（2）證明見解析.【解題分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及題干條件，可求得，代入公式，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，利用裂項(xiàng)相消求和法，即可求得，即可得證.【題目詳解】解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，在中，令，得，即，故①.由得，所以②.由①②解得，.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.（2）由（1）可得，所以，故，所以.因?yàn)?，所?【題目點(diǎn)撥】數(shù)列求和的常見方法：（1）倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)中首末兩端等距離的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可以用倒序相加法；（2）錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可以用錯(cuò)位相減法來求；（3）裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)，中間的一些項(xiàng)可相互抵消，從而求得其和；（4）分組轉(zhuǎn)化法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組轉(zhuǎn)換法分別求和再相加減；（5）并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可以兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和，形如類型，可采用兩項(xiàng)合并求解.19、（1）證明見解析（2）（3）存在點(diǎn)，使得平面，且【解題分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)可得平面，再由線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論，（2）可證得兩兩垂直，所以分別以為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解，（3）設(shè)，然后利用空間向量求解【小問1詳解】證明：因?yàn)闉檎叫?，所以又因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫?，所以平面平面所以；【小?詳解】由（1）可知，平面，所以，因?yàn)?，所以兩兩垂直分別以為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）因?yàn)?，，所以，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則,即令，則，；所以設(shè)直線與平面所成角為，則直線與平面所成角為的正弦值為；【小問3詳解】設(shè)，易知設(shè)，則，所以，所以，所以設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，因?yàn)?，所以令，則，所以在線段上存在點(diǎn)，使得平面等價(jià)于存在，使得因?yàn)椋?，所以，解得，所以線段上存在點(diǎn)，使得平面，且20、（1）為棱中點(diǎn)（2）【解題分析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，利用空間向量法可得出關(guān)于的方程，結(jié)合求出的值，即可得出點(diǎn)的位置；（2）利用空間向量法可求得點(diǎn)到平面的距離【小問1詳解】解：因?yàn)槠矫?，底面為正方形，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，設(shè)，其中，則，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，可得，由題意可得，整理可得，因?yàn)椋獾?，因此，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).【小問2詳解】解：由（1）知為棱中點(diǎn)，即，則，又，設(shè)平面的法向量為，由，取，可得，因?yàn)?，所以，點(diǎn)到平面的距離為.21、（1）證明見解析（2）證明見解析【解題分析】（1）可根據(jù)已知的與的遞推關(guān)系，利用求解出數(shù)列的首項(xiàng)，然后當(dāng)時(shí)，遞推做差，利用消掉，即可得到與之間的關(guān)系，從而完成證明；（2）利用第（1）問求解出的數(shù)列的通項(xiàng)公式，帶入到中，再使用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和，根據(jù)最后計(jì)算的結(jié)果與比較即可完成證明.【小問1詳解】由題意得，當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∵，∴，于是有，故數(shù)列是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.得證.【小問2詳解】由（1）可知，∴，，①，②，②?①得：，∴，∵，故，∴得證.22、（1）證明見解析（2）【解題分析】（1）先證明，，即可證明平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【小問1詳解】因?yàn)镺為在平面ABCD內(nèi)的射影，所以平面ABCD，因?yàn)槠矫鍭BCD，所以.如圖，連接