2021-2022學(xué)年河北省秦皇島市靖安鎮(zhèn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析

2021-2022學(xué)年河北省秦皇島市靖安鎮(zhèn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.下面為函數(shù)的遞增區(qū)間的是A. B. C. D.參考答案：C，當(dāng)時(shí)，由得，即，所以選C.2.已知等比數(shù)列滿足，則（

）A．243

B．128

C.81

D．64參考答案：B設(shè)等比數(shù)列的公比為q，∴，∴，即∴128故選：B

3.已知焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的中心是原點(diǎn)，離心率等于，以雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與雙曲線的漸近線相切，則雙曲線的方程為（

）A．

B．C．

D．參考答案：B考點(diǎn)：雙曲線的幾何性質(zhì)及運(yùn)用.【易錯(cuò)點(diǎn)晴】雙曲線是圓錐曲線的重要代表曲線之一,也高考和各級(jí)各類考試的重要內(nèi)容和考點(diǎn).解答本題時(shí)要充分利用題設(shè)中提供的有關(guān)信息,運(yùn)用雙曲線的幾何性質(zhì)和題設(shè)中的條件運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式先求出.再借助題設(shè)中的離心率求出的值.求解時(shí)巧妙地運(yùn)用設(shè),然后運(yùn)用求出.4.復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和為（

）

A．

B．0

C．1

D．2參考答案：B5.設(shè)，，隨機(jī)變量取值的概率均為，隨機(jī)變量取值的概率也均為，若記分別為的方差，則（

）A．

B．

C．

D．與的大小關(guān)系與的取值有關(guān)參考答案：A6.已知點(diǎn)，則向量在方向上的投影為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：A7.橢圓以x軸和y軸為對(duì)稱軸，經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，0），長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則橢圓的方程為(

) A．+y2=1 B．+=1 C．+y2=1或+=1 D．+y2=1或+x2=1參考答案：C考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．專題：計(jì)算題；分類討論；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：運(yùn)用橢圓的性質(zhì)，得a=2b，再討論焦點(diǎn)的位置，即可得到a，b的值，進(jìn)而得到橢圓方程．解答： 解：由于橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，即有a=2b，由于橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，0），則若焦點(diǎn)在x軸上，則a=2，b=1，橢圓方程為=1；若焦點(diǎn)y軸上，則b=2，a=4，橢圓方程為=1．故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，注意討論焦點(diǎn)位置，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題．8.（5分）（2015?南昌校級(jí)模擬）定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）=x3+ax2+2bx+c，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)取得極大值，當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，取得極小值，若（1﹣t）a+b+t﹣3＞0恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，]參考答案：B【考點(diǎn)】：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用．【專題】：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】：據(jù)極大值點(diǎn)左邊導(dǎo)數(shù)為正右邊導(dǎo)數(shù)為負(fù)，極小值點(diǎn)左邊導(dǎo)數(shù)為負(fù)右邊導(dǎo)數(shù)為正得a，b的約束條件，據(jù)線性規(guī)劃求出最值．解∵f（x）=x3+ax2+2bx+c，∴f′（x）=x2+ax+2b，∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)取得極大值，在區(qū)間（1，2）內(nèi)取得極小值，∴f′（x）=x2+ax+2b=0在（0，1）和（1，2）內(nèi)各有一個(gè)根，f′（0）＞0，f′（1）＜0，f′（2）＞0，即，在aOb坐標(biāo)系中畫出其表示的區(qū)域（不包括邊界），如圖：若（1﹣t）a+b+t﹣3＞0恒成立，可知a+b﹣3＞t（a﹣1）恒成立，由可行域可知a＜0，可得t＞=1+它的幾何意義是表示點(diǎn)P（1，2）與可行域內(nèi)的點(diǎn)A連線的斜率加1，當(dāng)A（x，y）位于M（﹣1，0）時(shí)，最小，最小值為1；則最小值為1+1=2，∴的取值范圍[2，+∞），故選：B．【點(diǎn)評(píng)】：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，以及會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃的能力．9.設(shè)l表示直線，，，表示不同的平面，則下列命題中正確的是（）A.若且，則 B.若且，則C.若且，則 D.若且，則參考答案：B【分析】A中，與可能相交、平行或；B中，由面面平行的性質(zhì)可得；C中，與相交或平行；D中，與相交或平行，即可求解．【詳解】由表示直線，，，表示不同的平面，在A中，若且，則，則與可能相交、平行或；

在B中，若且，則，由面面平行的性質(zhì)可得；在C中，若且，則，則與相交或平行；

在D中，若且，則，則與相交或平行，故選B．10.已知O、A、B、C為同一平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)，若2+=，則向量等于（）A．﹣ B．﹣+ C．2﹣ D．﹣﹣2參考答案：C【考點(diǎn)】平面向量的基本定理及其意義．【分析】如圖，計(jì)算即可．【解答】解：∵2+=，∴點(diǎn)A、B、C共線，且A為BC中點(diǎn)，則點(diǎn)O的位置有5種情況，如圖：（1）∵，∴；（2）=+2（）=；（3）=+2（）=；（4）=+2（）=；（5）=+2（）=；故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在△ABC中，，則的值為 參考答案：略12.在中，若,則__________.參考答案：2在中，兩邊同除以得.13.平面區(qū)域，若向區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)，則點(diǎn)落入?yún)^(qū)域的概率為

.參考答案：14.設(shè)直線與圓相交于A、B兩點(diǎn)，且弦長(zhǎng)，則=________。參考答案：0略15.如圖2所示的三角形數(shù)陣叫“萊布尼茲調(diào)和三角形”，它們

是由整數(shù)的倒數(shù)組成的，第行有個(gè)數(shù)且兩端的數(shù)均為，每個(gè)數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和，如，，，…，則第10行第3個(gè)數(shù)（從左往右數(shù)）為

_________________.參考答案：16.在極坐標(biāo)系中，定點(diǎn)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段最短時(shí)，點(diǎn)的極坐標(biāo)為

．參考答案：在直角坐標(biāo)系中，的坐標(biāo)是，點(diǎn)所在的直線的方程是，設(shè)的坐標(biāo)是，則得解得的坐標(biāo)是，它的極坐標(biāo)是。17.已知圓的直徑，為圓上一點(diǎn)，，垂足為，且，則

.參考答案：4或9三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=ax2﹣（2a﹣1）x﹣lnx（a為常數(shù)，a≠0）．（Ⅰ）當(dāng)a＜0時(shí)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最大值；（Ⅱ）記函數(shù)f（x）圖象為曲線C，設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）是曲線C上不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線交曲線C于點(diǎn)N．判斷曲線C在點(diǎn)N處的切線是否平行于直線AB？并說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，從而求出f（x）的最大值即可；（Ⅱ）設(shè)出M的坐標(biāo)，分別求出直線AB的斜率k1，C在點(diǎn)N處的切線斜率k2，由k1=k2，得到即=﹣，得出矛盾．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=，當(dāng)a＜0時(shí)，由f′（x）=0，得x1=﹣，x2=1，又x∈，則有如下分類：①當(dāng)﹣≥2，即﹣≤a＜0時(shí)，f（x）在上是增函數(shù)，所以f（x）max=f（2）=2﹣ln2．②當(dāng)1＜﹣＜2，即﹣＜a＜﹣時(shí)，f（x）在上是減函數(shù)，所以f（x）max=f（﹣）=1﹣+ln（﹣2a）．③當(dāng)﹣≤1，即a≤﹣時(shí)，f（x）在上是減函數(shù)，所以f（x）max=f（1）=1﹣a．

綜上，函數(shù)f（x）在上的最大值為：f（x）max=；（Ⅱ）設(shè)M（x0，y0），則點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為x0=，直線AB的斜率k1===a（x1+x2）+（1﹣2a）+，C在點(diǎn)N處的切線斜率k2=f′（x0）=a（x1+x2）+（1﹣2a）﹣，假設(shè)曲線C在點(diǎn)N處的切線平行于直線AB，則k1=k2，即=﹣，所以ln=，不妨設(shè)x1＜x2，ln=t＞1，則lnt=，令g（t）=lnt﹣，（t＞1），g′（t）=＞0，所以g（t）在（1，+∞）上是增函數(shù)，又g（1）=0，所以g（t）＞0，即lnt=不成立，所以曲線C在點(diǎn)N處的切線不平行于直線AB．19.已知橢圓C：的長(zhǎng)軸是圓x2+y2=4的一條直徑，且右焦點(diǎn)到直線x+y﹣2=0的距離為．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是否存在直線l：y=kx+m（k∈R）與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，使得|成立？若存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（1）利用已知條件列出方程，求解a，b即可得到橢圓方程．（2）假設(shè)存在這樣的直線．聯(lián)立直線與橢圓方程，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），利用韋達(dá)定理，通過(guò)|，化簡(jiǎn)求解即可．【解答】解：（1）由已知橢圓C：的長(zhǎng)軸是圓x2+y2=4的一條直徑，2a=4，右焦點(diǎn)到直線x+y﹣2=0的距離為．，解得a=2，，所以b=1，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）假設(shè)存在這樣的直線．由得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△=16（4k2﹣m2+1）＞0，（*）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）===，由|得，即x1x2+y1y2=0，故4k2=5m2﹣4，代入（*）式得或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)以及橢圓方程的求法，考查存在性問(wèn)題的處理方法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．20.(本小題滿分14分)如圖,在長(zhǎng)方體中,,為的中點(diǎn),為的中點(diǎn).(I)求證:平面;(II)求證:平面;(III)若二面角的大小為,求的長(zhǎng).參考答案：(I)證明:在長(zhǎng)方體中,因?yàn)槠矫?所以.因?yàn)?所以四邊形為正方形,因此,又,所以平面.又,且,所以四邊形為平行四邊形.又在上,所以平面.……………4分(II)取的中點(diǎn)為,連接.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以且,因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以,而,且,所以,且,因此四邊形為平行四邊形,所以,而平面,所以平面.……………9分(III)如圖,以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,故.由(I)可知平面,所以是平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面的一個(gè)法向量為,

xyz則,所以令,則,所以.設(shè)與所成的角為,則.因?yàn)槎娼堑拇笮?所以,即,解得,即的長(zhǎng)為1.……………14分21.（本小題滿分13分）已知函數(shù)．（1）求證函數(shù)在區(qū)間上存在唯一的極值點(diǎn)，并用二分法求函數(shù)取得極值時(shí)相應(yīng)的近似值（誤差不超過(guò)）；（參考數(shù)據(jù)，，）（2）當(dāng)時(shí)，若關(guān)于的不等式恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：解：（Ⅰ），

∵

，，∴

．

………………2分令，則，

……3分∴

在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴

在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，∴

在區(qū)間上存在唯一的極小值點(diǎn)．

…………………4分取區(qū)間作為起始區(qū)間，用二分法逐次計(jì)算如下：①

，而，∴

極值點(diǎn)所在區(qū)間是；②

又，∴

極值點(diǎn)所在區(qū)間是；③

∵

，∴

區(qū)間內(nèi)任意一點(diǎn)即為所求．

……7分（Ⅱ）由，得，即，∵

，

∴，……8分令，則．

………………10分令，則．∵，∴，∴在上單調(diào)遞增，∴，因此故在上單調(diào)遞增，