空洞探測-數(shù)學建模論文

PAGEPAGE1題目空洞探測分析與研究摘要近年來預測未知地域的空洞原來越受到人們的關注，通過探測空洞位置來指導工程實踐，本文就是通過解決未知地方的空洞位置，來給相關人員一些指導。通過題目所給的條件可知，可以把空洞探測簡化為測定一塊均勻介質構成的平板，通過探測平板內部的空洞位置近似實際地域的空洞位置。問題簡化為把一塊平板分成36個方格，通過探測在每個方格中是否有空洞存在。問題一可以根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)與標準時間的差值來確定某條波線經(jīng)過的方格是否有空洞存在，可以畫出每條實際測量時間與理論時間差值小于或等于測量誤差的波線，則沒有波線經(jīng)過的方格視為空洞存在的地方，可以建立0-1模型，再沒有波線經(jīng)過空格記為0，在有波線經(jīng)過的空格記為1，建立0-1模型。用數(shù)據(jù)可以明顯看出哪些地方有空洞的存在，這種模型的建立視為問題簡化，明顯看出空洞存在的位置，如下圖所示空洞位置。問題二要解出只在一組對邊波線存在的情況下是否可以確定空洞的位置，解決這個問題同樣可以采取幾何排除法方法，通過在這種方法下測定的空洞位置與問題一中測定的空洞位置比較。通過比較可知在只有一組對邊波線存在的情況下測定結果與問題一結果相差太遠，所以可以得出只有一組對邊波線是無法正確測定空洞位置。此外，解決這一問題還有另一解釋，如果只有邊波時只能測定出沿方向的空洞坐標，無法測出垂直邊的坐標，最終無法確定空洞存在的位置。解決問題二中在不影響測定空洞位置的前提下，適當減少波源和接收點。一個波源或接受源是否能預測出空洞所在位置取決于與它相關的波線的交點分布情況。與其它波線的交點個數(shù)及交點位置。去掉一個波源，在其他波源和接受源不變的情況下，求出不重復的交點個數(shù)和坐標方差。比較去掉波源前后不重復的交點個數(shù)，通過這種模型的建立與求解測出在去掉某些波源或接受點時，波前后交點個數(shù)，通過這種方法可以測定可以去掉第個波源。雖然第個波源交點數(shù)較多，但是方差很小，如果去除第個波源后交點分布很不均勻，所以不去除。這種通過計算方差的方法可通過數(shù)據(jù)觀測出應當去除的地方。關鍵詞：幾何排除法方差0-1模型一、問題重述近年來探測物體內部空洞問題愈來愈受到人們的關注。通過探測空洞可以了解物體內部的結構，從而對工程實踐提供依據(jù)。為工程建設提供理論依據(jù)。根據(jù)對題目的理解與分析可以解決出空洞的位置從本題可知探測山體、隧洞、壩體等的某些內部結構可用彈性波測量來確定，可以把問題簡化為測定一塊均勻介質內的空洞位置，一塊均勻介質構成的矩形平板內有一些充滿空氣的空洞，在平板的兩個鄰邊分別等距地設置若干波源，在它們的對邊對等地安放同樣多的接收器，記錄彈性波由每個波源到達對邊上每個接收器的時間，根據(jù)彈性波在介質中和在空氣中不同的傳播速度，來確定板內空洞的位置。現(xiàn)考察如下的具體問題：一塊（米）×（米）的平板（如圖），在一邊等距地設置個波源，對邊對等地安放個接收器，記錄由發(fā)出的彈性波到達的時間(秒);在另一組對邊同樣等距地設置個波源，另一邊對等距安放個接收器，記錄由發(fā)出的彈性波到達的時間(秒)。題目中可知彈性波在介質和空氣中的傳播速度分別為（米/秒）和（米/秒），且彈性波沿板邊緣的傳播速度與在介質中的傳播速度相同。需要根據(jù)題意的要求接出問題一找出空洞的位置。問題二中通過對問題一的解決推斷出只有一組對邊的波傳播時間是否能確定空洞的位置。然后根據(jù)前面的問題解決在確定準確找到空洞位置的前提下是否可以適當減少波源和接收器數(shù)量。這樣可以減少探測空洞的成本二、模型假設1、假設所有探測均在同一平面上進行，所謂空洞即平面上一個區(qū)域。

2、假設對彈性波傳播的測量值存在測量誤差。

3、假設彈性波在傳播過程中互不干擾，不發(fā)生干涉。

4、假設空氣密度和介質密度都均勻。

5、假設每個小正方形或者全是介質，或者全是空洞。表二：實際測得的波傳播時間 根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)計算出彈性波在無空洞平板中的理論值表三：彈性波在無空洞平板中傳播的理論值i從表中數(shù)據(jù)分析可得出實際測量值與理論測量值的差值大于誤差值時，就可以得出在這條波所經(jīng)過的網(wǎng)格上有空洞的存在根據(jù)上面表格所示的波傳播的實際與理論值的時間可以通過計算機編程計算出每條波與理論值的差值，通過這種方法可以看出那條波線經(jīng)過的網(wǎng)格存在空洞即可以通過計算得出、的差值如下表所示表四：波測得的時間與標準時間的差值jijj12345671-0.022230.0050170.1117590.1100310.3179460.3838240.44674920.014417-0.024130.3568170.3439590.3838310.4240460.27202430.2173590.328617-0.023530.3308170.3277590.2631310.09174640.2289310.3574590.319517-0.009530.094417-0.013840.11903150.2488460.3597310.1384590.1072170.0005670.0923170.09315960.2722240.2175460.1432310.2185590.1372170.0105670.01861770.3132490.2312240.2564460.102231-0.01184-0.015680.020867表五：波實際測量值與理論測量值的差值ij12345671-0.01883-0.02428-0.006540.2584310.2865460.3229240.4542492-0.00918-0.013330.2007170.3462590.2559310.3798460.38952430.2577590.2360170.0140670.3248170.3361590.3608310.21104640.2723310.2410590.3402170.0173670.2404170.1255590.00853150.2163460.1477310.2335590.2411170.0070670.1029170.12515960.1664240.2889460.4963310.2137590.1213170.000767-0.0138870.3255490.3834240.290246-0.01457-0.016940.006917-0.02503根據(jù)以上計算出的時間差值可以建立0-1模型來處理表中數(shù)據(jù)，即是實際測量時間超過測量誤差的波線經(jīng)過的網(wǎng)格記為0，實際測量時間小于或等于測量誤差的波線經(jīng)過的網(wǎng)格記為1，規(guī)則表示如下：這可以根據(jù)波列出網(wǎng)格中空洞存在情況同樣的方法可以根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)列出矩陣表示中空洞存在情況以上兩個矩陣說明了兩組波分別在網(wǎng)格中測得空洞存在情況可以根據(jù)題意得出在空格中只要有波線通過就可視為該網(wǎng)格中無空洞存在，所以要對兩個矩陣中的數(shù)據(jù)進行適當?shù)奶幚?，以便得出網(wǎng)格中實際的空洞分布情況。定義兩個矩陣中對應數(shù)據(jù)的運算規(guī)則如下0+0=0,0+1=1.1+1=1.則可以得出下面矩陣以上模型的建立與求解確定了空洞在方格中的存在位置表示0的地方就是空洞所在網(wǎng)格中的位置，下面可以根據(jù)網(wǎng)格圖形直觀的看出空洞的具體所在位置。圖一：空洞所在位置如圖所示，根據(jù)以上圖形可以得出在網(wǎng)格中沒有線經(jīng)過的網(wǎng)格是空洞所在的位置。5.2問題二：模型建立與求解5.2.1問題二第一個問題的建模和求解問題二中要求的是通過理解和分析是否在只有一組對波的情況下確定空洞的所在位置如題意可知只知道這一組對波時判斷空洞所在的位置。由假設可知在網(wǎng)格經(jīng)過的最短距離都是240m則通過對問題一的解決可知，波傳播的時間理論測量最短是0.0833S在這一組對波中最短時間是，依題意可知在空氣中波傳播的速度要小于在介質中傳播的速度。測得的實際值應當大于0.0833S。假設中測得的實際時間數(shù)據(jù)全部正確，由此可知，測量存在誤差：根據(jù)題目中的實際測量數(shù)據(jù)和理論測量的差值與測量誤差的比較，差值不超過測量誤差的說明在這條波線所經(jīng)過的空格中沒有空洞存在，依題意可知把實測時間與理論時間的差值不大于測量誤差的波線劃到圖中?？崭窦礊榭斩此谖恢脧膱D中可以看出在只選擇一組對邊的波來探測未知地方空洞時，根據(jù)圖中表示的網(wǎng)格中沒有線經(jīng)過的地方即是空洞存在的區(qū)域。和問題一中探測到的空洞比較可以看出，選擇一組對邊時測得的空洞要遠遠多于選擇兩組對邊時空洞數(shù)量。所以在實際測量空洞時不會只選擇一組對邊來探測空洞位置。對于這個問題還有另一種分析的方法，假如有些空洞和AB邊近似平行，以題意只有AB邊的波的發(fā)射點，可以確定是否有空洞存在也同時可以確定在AB方向的位置，但是無法確定在AD方向的位置。最終還是無法確定空洞的具體位置。綜上所述只有一組對邊的波存在情況下無法確定空洞的具體位置。5.2.2下面對問題二中另一問題進行建模求解。在這個問題中要求在不影響探測空洞準確位置的前提下盡量減少波的發(fā)射和接收點的數(shù)量討論在同樣能夠確定空洞位置的的前提下，減少波源和接收點器的方法。由分析可以得出，一個波源或接受源是否能預測出空洞所在位置取決于與它相關的波線的交點分布情況。由上訴可分為兩個方面：與其它波線的交點個數(shù)及交點位置。去掉一個波源，在其他波源和接受源不變的情況下，求出不重復的交點個數(shù)和坐標方差。比較去掉波源前后不重復的交點個數(shù)，如果兩組數(shù)據(jù)相差不大表明信息量少預測空洞位置不準確。而不重復交點的坐標方差表明交點的分散程度，方差小說明離散程度小，交點集中在一個較小的面積內，使得空洞更為集中并且可靠。綜上所述，應該選擇交點減少量小的并且方差較大的波源去掉。在去掉這一波源的情況下，再用同樣的方法去掉其它波源。對于本題：不重復交點數(shù)方差方差原始情況20412.12422.1200去掉第個波源18202.12831.9877去掉第個波源17372.09372.0785去掉第個波源17742.12232.2010去掉第個波源17912.11462.2444去掉第個波源17742.12232.2010去掉第個波源17372.09372.0785去掉第個波源18202.12831.9877根據(jù)上述分析得：這里應去掉第個波源。雖然第個波源交點數(shù)較多，但是方差很小，如果去除第個波源后交點分布很不均勻，所以不去除。六、模型檢驗模型的檢驗：根據(jù)題目中所給的關系，彈性波在從的傳播路徑中會通過均勻介質和空氣兩種不同的介質，而且因為在介質和空氣中的傳播速度不同，以及經(jīng)過的路程也不同，可以得出彈性波傳播時間的方程：其中，式為從的彈性波傳播方程，式為的彈性波傳播方程式中：（3）（4）得到直線和,算出可以得出在通過的區(qū)域的空洞長度總長約為40米，而且除了以外，均有連線通過，可見僅在方格中存在空洞，且洞徑約為40米，同理可以得出約為4米，約為36米，類似的，可以得出其他空洞的洞徑。設或之間的彈性波通過方塊區(qū)域，則洞徑為。直線和：直線和：直線和：直線和：直線和：解得的每個空洞大小平均都在40米左右，，計算結果都大于測量誤差，且所有空洞都與原方法相符，所以結果合理，空洞即七、模型的評價與改進模型的優(yōu)點：通過將0-1矩陣法，結合概率的知識，將本來不規(guī)則的空洞先忽略其形狀和大小，純粹地先將其位置判斷出來。之后在模型的檢驗中，根據(jù)彈性波在介質和空氣中傳播速度的不同，估算出空洞的大小。這樣分次計算，既可以檢驗第一步的正確性，又可以進一步計算空洞大小。，模型直觀，計算簡單。這一建立的模型，具有較好的實際可操作性.對于山體、遂洞、壩體等某些內部結構的測定，由彈性波的時間數(shù)據(jù)，用我們的模型來確定，效果較好，有一定的應用價值。模型的缺點：矩陣法是將將整個介質劃分為份，范圍較大，而且對于跨區(qū)域的有些不規(guī)則空洞可能無法探測到，存在著較大的局限性。第二步估算的空洞大小也僅是沿彈性波方向上的長度，而無法判斷其形狀，也就無法進一步判斷其大小了在建模時對于誤差原因的分析過于主觀，忽略了空洞的所有可能的分布情況和不同的接收器系統(tǒng)誤差不同。在解決本問題中，對于我們所采用的幾何排除模型，雖然方法比較粗糙，但在對問題的求解上比較簡單，而且比較易于理解；但還存在的問題是我們得到的結果，雖然在理論上可以解決，但結果還不夠精確，存在的誤差較大。模型的改進：對誤差盡量客觀分析，比如對每一個接收器來自個波源的彈性波作用的時間進行單獨的誤差分析。然而對于本文建立的模型來說，依然不能改變空洞探測的不確定性，不能確定空洞的具體大小，也不能肯定哪個單位的面積內必有空洞，所以我們可以對模型對如下改進，將各邊的六等分改為更多等分，加大其精確度，但由于可測空洞的最小值為米，因此也不能無限加大，在對其進行求解。八、模型推廣該模型主要適用于分辨不同物質的分布，可以應用的范圍很廣。大，可以勘探地形，尋找礦物，小，則可以鑒定物質密度，探查人體結石。不過隨著在模型的物質種類的增加，模型也必須隨之復雜化以符合各物質的特性。不僅可以對山體、隧道、壩體等的某些內部結構的測量，也可以運用到對石料，建筑材料等內部結構的測定。九、參考文獻［１］中國數(shù)學協(xié)會,《數(shù)學的實踐與認識》,1998年［２］朱道遠,《數(shù)學建模精品案例》,東南大學出版社,1999年［３］宋來忠,王志明,《數(shù)學建模與實驗》，科學出版社,2005年十、附錄x=240;fori=1:7forj=1:7A(i,j)=x*sqrt(6^2+(i-j)^2)/6endenddisp(A);B=A/2880A=240.0000243.3105252.9822268.3282288.4441312.4100339.4113243.3105240.0000243.3105252.9822268.3282288.4441312.4100252.9822243.3105240.0000243.3105252.9822268.3282288.4441268.3282252.9822243.3105240.0000243.3105252.9822268.3282288.4441268.3282252.9822243.3105240.0000243.3105252.9822312.4100288.4441268.3282252.9822243.3105240.0000243.3105339.4113312.4100288.4441268.3282252.9822243.3105240.0000B=0.08330.08450.08780.09320.10020.10850.11790.08450.08330.08450.08780.09320.10020.10850.08780.08450.08330.08450.08780.09320.10020.09320.08780.08450.08330.08450.08780.09320.10020.09320.08780.08450.08330.08450.08780.10850.10020.09320.08780.08450.08330.08450.11790.10850.10020.09320.08780.08450.0833C=[0.06110.08950.19960.20320.41810.49230.56460.09890.05920.44130.43180.47700.52420.38050.30520.41310.05980.41530.41560.35630.19190.32210.44530.40400.07380.17890.07400.21220.34900.45290.22630.19170.08390.17680.18100.38070.31770.23640.30640.22170.09390.10310.43110.33970.35660.19540.07600.06880.1042]D=[0.06450.06020.08130.35160.38670.43140.57210.07530.07000.28520.43410.34910.48000.49800.34560.32050.09740.40930.42400.45400.31120.36550.32890.42470.10070.32490.21340.10170.31650.24090.32140.32560.09040.18740.2130]E=B-C;F=B-DE=0.0222-0.0050-0.1118-0.1100-0.3179-0.3838-0.4467-0.01440.0241-0.3568-0.3440-0.3838-0.4240-0.2720-0.