習(xí)題定積分的概念和可積條件

第七章定積分習(xí)題定積分的概念和可積條件1.用定義計(jì)算下列定積分：⑴?1(ax+b)dx;0解(1)取劃分：0<1<2<…<nn⑵?1axdx(a>0).0n-1<1,及ξ=-(i=1,2,…,n)，則ninAx =? ,于是Z(a— +b)— =a(1+ ?)+ b→—+ b(n →∞)，即in nn2 n22i=1?1(ax+b)dx=2+b。(2)取劃分：O<1<2<???<n∑1<1,及ξ=L(i=1,2,…,n)，則Ax=—,nnninin于是Znai=1上1n一n1an(1一a)。因?yàn)?n(1一an)1an一1~Γ~n—lna(n→∞)，anT1(n-∞)，所以Za：i=11n1an(1一a)11n(1一an)a—1—) lna，即?1axdx0a一1lna2.證明，若對(duì)［a,b］的任意劃分和任意ξ∈［X,X］,極限limZf(ξ)Ax都存在，i i-1 iλ→0 iii=1則f(x)必是［a,b］上的有界函數(shù)。證用反證法。設(shè)limZf(ξ)Ax=I，則取ε=1,3δ>0，對(duì)任意的劃分P與任意λ→0i=1 iiξ∈[x,x],只要λ=max(Ax)<δ,i i-1i 1≤i≤n i就有Zf(ξ)Ax<H+1。iii=1取定了劃分后，n與AX(i=H.../也就確定，如果f(X)在［a,b］上無(wú)界，則i必定存在小區(qū)間［X,X］,f(x)在［X,X］上無(wú)界。取定i-1 i i-1iξ,…,ξ,ξ,…,ξ,必可取到ξ.,使Zf(ξ1 Z-I z+1 ni.)?x.<∣∕∣+1不成立，從而產(chǎn)生iii=1矛盾，所以f(X)必是［a,句上的有界函數(shù)。.證明DarbOUX定理的后半部分：對(duì)任意有界函數(shù)f(x),恒有l(wèi)imS(P)=l。λ→0證Vε>0，因?yàn)閘是S的上確界，所以3S(P')GS，使得0≤l-S(P)<-。- 2設(shè)劃分p:a=χ<<χ<<χ<<???<XX=b,M,m是f(X)的上、下確界，取0 1 2 pΓ. . .?)δ=min?x,?x,???,?x, ,(1 2P2(P-1)(M-m))對(duì)任意一個(gè)滿(mǎn)足λ=max(?χ)<δ的劃分1≤i≤n 'P:a=x<x<x<???<x=b,0 1 2 n記與其相應(yīng)的〃廂為S(P),現(xiàn)將P,P的分點(diǎn)合在一起組成新的劃分P〃，則由引理，S(P')-S(P")≤0。下面來(lái)估計(jì)S(P'')-S(P)：(1)若在(x,x)中沒(méi)有P'的分點(diǎn)，則S(p''),S(P)中的相應(yīng)項(xiàng)相同，它們的i-1i — —差為零；(2)若在(X,x)中含有P的分點(diǎn)，由于兩種劃分的端點(diǎn)重合，所i-1i以這樣的區(qū)間至多只有P-1個(gè)。由δ的取法，可知?x≤δ≤?xX,i=1,2,…，n,j=1,2,…，P,ij所以在(X,x)中只有一個(gè)新插入的分點(diǎn)X:這時(shí)S(P〃),S(P)中的相i-1 i j應(yīng)項(xiàng)的差為[m'(x'-x)+m"(x-x')]-m(x-X)≤(M—m)(x—X)<(M-m)δ,ij i-1 iij ii i-1 i i-1從而0≤S(P")-S(P)<(p-1)(M-m)δ≤?o- - 2綜合上面的結(jié)論，就有εε0≤l-S(P)=[l-S(P，)]+[S(P')—S(P?]+[S(P?-S(P)]<-+0+-=ε，

- — — — — - 2 2即limS(P)=l。λ→0.證明定理。證必要性是顯然的，下面證充分性。設(shè)V"0,存在一種劃分〃,使得相應(yīng)的振幅滿(mǎn)足工個(gè)Y，i=1即S(P')-S(P')<-^3 /一^ - >。取δ=minAx,Ax,…，Ax, I1 2P3(p-1)(M-m)),對(duì)任意一個(gè);滿(mǎn)足λ=max(A?)<e的劃分1≤i≤n 'P:a=X<X<X<…<X=b,0 1 2 n現(xiàn)將P,P的分點(diǎn)合在一起組成新的劃分P〃，則由Darboux定理的證明過(guò)程，可得0≤S(P)-S(P)=[S(P)-S(P")]+[S(P")-S(P')]+[S(P')-S(P')]+[S(P')-S(P")]+[S(P")-S(P)]?e?e?<-+0+-+0+—=-,3 3 3由定理，可知/(x)在[a,b]上可積。5.討論下列函數(shù)在［0,1］的可積性:f(X)=<+■X0,-[÷],

XX≠0,X=0;X為有理數(shù),

X為無(wú)理數(shù);⑶f(XTX,X為有理數(shù),

X為無(wú)理數(shù);‘sgn(sin務(wù)),0,XX≠0,X=0.⑴⑵f(X)=『⑷f(wàn)(X)=<解：(1)0≤f(X)<1,且f(X)在［0,1］上的不連續(xù)點(diǎn)為X=J」,...」,…與23nX=0。V->0，取定m>2,f(X)在區(qū)間［工,1］上只有有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)，

? m所以f(x)在「,1］上可積，即存在［Li］的一個(gè)劃分P，使得mmE啖，<2，將P的分點(diǎn)和0合在一起,作為［0,1］的劃分P’,則i=1E33,iii=1E ??=E3?x+3'?x飛一十=S

ii1122i=1，由定理7.1.3,f(x)在［0,1］上可積。(2)因?yàn)閷?duì)［0,1］的任意劃分P，總有3=2，所以Eω?x=2，由i iii=1定理7可知f(x)在［0,1］上不可積。(3)因?yàn)閷?duì)［0,1］的任意劃分P，f(x)在［χ,X］上的振幅為x，于是i-1i iEnω?X=Eniii=1i=1EnX+X 1EnX(X—X)≥乙—i i-1(X—X)=—乙(X2—X2)ii i—1 2i i—1 2i i—1i=1 i=111=—(X2—X2)=—，2n0 2所以f(X)在［0,1］上不可積。(4)-1≤f(X)≤1，且f(X)在［0,1］上的不連續(xù)點(diǎn)為X=J」,.，L…與23nX=0。Vs>0，取定m>4，則f(X)在［1,1］上只有有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)，Sm所以f(X)在［，,1］上可積，即存在［1,1］的劃分P，使得Eω?X<土。m m ii2i=1將P的分點(diǎn)與0合在一起作為［0,1］的劃分P：則Eωr?X=EωΔx+ωr?Xr<—+-=S

ii ii1122i=1 i=1，所以f(X)在［0,1］上可積。6.設(shè)f(X)在［a,切上可積，且在［a,b］上滿(mǎn)足If(x)l≥m>0(m為常數(shù)),證明?在［a,b］上也可積。f(x)證任?。踑,b］的一個(gè)劃分：a=X<X<???<X<X=b，則0 1 n—1 n1、ω(—)一

if(111supX≤XX,X"≤XV

i-1 ,i - f(X')f(X11≤sup (f(χ)-f(X))=ω(f)，m2 m2iX≤X,X≤Xi-1 ,i由于f(X)在［a,b］上可積，?ε>0,3δ>0,當(dāng)λ=max(AX)<δ時(shí)，1≤i≤n '∑ω(f)Δx<m28，從而Σω(I)AX<ε，所以?在［a,b］上可積。Ji 」fi f(X)i=1 i=1.有界函數(shù)f(X)在［a,b］上的不連續(xù)點(diǎn)為｛XL，且IimX存在，證明nn=1 nn→∞f(X)在［a,b］上可積。證 不妨設(shè)IimX=C，且C∈(a,b)，并設(shè)∣f(X)∣≤M。?ε>0，取n→∞nδ=min(^^M-,c-a,b-c>,則U3N>0,當(dāng)n>N時(shí)，|由于f(X)在［a,"δ］和［C+δ,b］上只有有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)，所以f(X)在［a,c-δ］和［c+δ,b］上都可積，即存在［a,c-δ］的一個(gè)劃分PQ)和［C+δ,b］的一個(gè)劃分P(2),使得ΣA ?ω(1)Δx⑴<—,Σω(2)Ax⑵<與。將P⑴、

3iP(2)的分點(diǎn)合并在一起組成a,b］的一個(gè)劃分P，則?ωΔx≤∑ω⑴Ax⑴+

ii iii=1 i∑ εεε°乙ω(2)Ax⑵+4Mδ<—+—+—=ε，333所以f(X)在［a,b］上可積。C=a或C=b的情況可類(lèi)似證明。.設(shè)f(X)是區(qū)間［a,b］上的有界函數(shù)。證明f(X)在［a,b］上可積的充分必要條件是對(duì)任意給定的^>0與σ>0，存在劃分P,使得振幅ω≥ε的ix-c∣<δ。niii3iii那些小區(qū)間［χ,X］的長(zhǎng)度之和∑AX<σ(即振幅不能任意小的那些小i-1i iω≥ε

i區(qū)間的長(zhǎng)度之和可以任意小)證充分性：設(shè)If(X)|≤M。?ε=σ>0,存在劃分P,使得振幅ω≥ε的那些

i小區(qū)間的長(zhǎng)度之和Σ?X<?,于是i3≥?

i=Σ,?3?Xiii=13?x+∑3?x<[(b-a)+2M]?，

ii ii3≥?

i8<?

i即f(X)在［a,b］上可積。必要性：用反證法，如果存在?>0與σ>0，對(duì)任意劃分P，振幅3≥?的小0 0 i0區(qū)間的長(zhǎng)度之和不小于σ0,于是Σ3?X=∑3?X+ii iii=13v?i0?3Δx≥???x≥σ?,ii0 i003次 3次i0 i0則當(dāng)λ=max(?χ)→0時(shí)，∑3?x不趨于零，與f(X)在［a,b］上可積矛盾。Z ZZ1≤i≤n i=19.設(shè)f(X)在［a,b］上可只，A≤f(X)≤B,g(u)在［A,B］上連續(xù)，證明復(fù)合函數(shù)g(f(X))在［a,b］上可積。證由于g(u)在［A,B］連續(xù)，所以可設(shè)Ig(u)|≤M,且g(u)一致連續(xù)，于是v?>0,3δ>0,VU',u"∈[A,B],只要W-U"|<δ,就成立Ig(u')-g(u")<f由于