傅里葉變換在信號處理中的應(yīng)用1

/傅里葉變換在信號處理中的應(yīng)用姓名董柱班級電氣工程及其自動化學(xué)號1109141013摘要：傅里葉變換是一種特殊的積分變換。通過傅里葉變換把信號的從時域變換到頻域研究.采用頻域法較之經(jīng)典時域的方法有很多突出的優(yōu)點.雖然傅里葉分析不是信息科學(xué)與技術(shù)領(lǐng)域中唯一的變換域方法.但是不得不承認.在此領(lǐng)域中.傅里葉變換分析始終有著廣泛的應(yīng)用.通過傅里葉變換實現(xiàn)信號的濾波.調(diào)制.抽樣是傅里葉變換在信號處理中最主要的作用。通過對信號的調(diào)制可以將信號的低頻成分調(diào)制到高頻.實現(xiàn)頻譜搬移.減少馬間串擾.提高抗噪聲新能.有利于信號的遠距離傳輸.另外.對信號采樣可以使連續(xù)信號離散化.有利于用計算機對信號進行處理.總之.傅里葉變換在信號處理中有著非常重要的作用。傅里葉變換是學(xué)習(xí)其他頻域變換的基礎(chǔ)。關(guān)鍵詞：傅里葉變換.時域.頻域.信號處理.信息科學(xué)與技術(shù).濾波.調(diào)制.抽樣。一傅里葉變換1.定義f<t是t的函數(shù).如果t滿足狄里赫萊條件：具有有限個間斷點；具有有限個極值點；絕對可積。則有下圖①式成立。稱為積分運算f<t的傅立葉變換.②式的積分運算叫做F〔ω的傅立葉逆變換。F〔ω叫做f<t的像函數(shù).f<t叫做F〔ω的像原函數(shù)。F〔ω是f<t的像。f<t是F〔ω原像。①傅里葉變換傅里葉逆變換2.分類連續(xù)傅立葉變換：一般情況下.若"傅立葉變換"一詞的前面未加任何限定語.則指的是"連續(xù)傅立葉變換"。"連續(xù)傅立葉變換"將平方可積的函數(shù)f<t>表示成復(fù)指數(shù)函數(shù)的積分或級數(shù)形式。f<t>=\mathcal^[F〔ω]=\frac{\sqrt{2π}}\int\limits_{-\infty}^\inftyF〔ωe^{iωt}\,dω.上式其實表示的是連續(xù)傅立葉變換的逆變換.即將時間域的函數(shù)f<t表示為頻率域的函數(shù)F〔ω的積分。反過來.其正變換恰好是將頻率域的函數(shù)F〔ω表示為時間域的函數(shù)f<t的積分形式。一般可稱函數(shù)f<t為原函數(shù).而稱函數(shù)F〔ω為傅立葉變換的像函數(shù).原函數(shù)和像函數(shù)構(gòu)成一個傅立葉變換對〔transformpair。一種對連續(xù)傅立葉變換的推廣稱為分數(shù)傅立葉變換〔FractionalFourierTransform。當f<t為奇函數(shù)〔或偶函數(shù)時.其余弦〔或正弦分量將消亡.而可以稱這時的變換為余弦轉(zhuǎn)換〔cosinetransform>或正弦轉(zhuǎn)換〔sinetransform>。另一個值得注意的性質(zhì)是.當f<t>為純實函數(shù)時.F<?ω=F〔ω*成立。離散傅立葉變換：為了在科學(xué)計算和數(shù)字信號處理等領(lǐng)域使用計算機進行傅立葉變換.必須將函數(shù)xn定義在離散點而非連續(xù)域內(nèi).且須滿足有限性或周期性條件。這種情況下.使用離散傅立葉變換.將函數(shù)xn表示為下面的求和形式：x_n=\frac1\sum_{k=0}^X_ke^{i\frac{2\pi}kn}\qquadn=0,\dots,N-1其中Xk是傅立葉振幅。直接使用這個公式計算的計算復(fù)雜度為\mathcal<n^2.而快速傅立葉變換〔FFT可以將復(fù)雜度改進為\mathcal<n\logn。計算復(fù)雜度的降低以及數(shù)字電路計算能力的發(fā)展使得DFT成為在信號處理領(lǐng)域十分實用且重要的方法。3Fourier變換的意義傅立葉變換原理表明：任何連續(xù)測量的時序或信號.都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。而根據(jù)該原理創(chuàng)立的傅立葉變換算法利用直接測量到的原始信號.以累加方式來計算該信號中不同正弦波信號的頻率、振幅和相位。和傅立葉變換算法對應(yīng)的是反傅立葉變換算法。該反變換從本質(zhì)上說也是一種累加處理.這樣就可以將單獨改變的正弦波信號轉(zhuǎn)換成一個信號。因此.可以說.傅立葉變換將原來難以處理的時域信號轉(zhuǎn)換成了易于分析的頻域信號〔信號的頻譜.可以利用一些工具對這些頻域信號進行處理、加工。最后還可以利用傅立葉反變換將這些頻域信號轉(zhuǎn)換成時域信號。傅里葉變換的應(yīng)用領(lǐng)域廣泛.譜估計就是對各種信號進行頻譜分析,或?qū)r間域信號轉(zhuǎn)換為頻率域信號進行處理。例如通過對環(huán)境噪聲的譜分析,可以確定主要頻率成分,了解噪聲的成因,找出降低噪聲的對策;對振動信號的譜分析,可了解振動物體的特性,為設(shè)計或故障診斷提供資料和數(shù)據(jù)。對于高保真音樂和電視這樣的寬帶信號轉(zhuǎn)到頻率域后極大多數(shù)能量集中在直流和低頻部分,就可把頻譜中的大部分成分濾去,從而壓縮信號頻帶。二.用MATLAB對常見信號的Fourier變換分析1沖激信號[4]沖激函數(shù)是最基本的函數(shù).其傅里葉變換是系統(tǒng)函數(shù).只要知道系統(tǒng)函數(shù).那么通過這個系統(tǒng)的輸出函數(shù)并可以確定。在Matlab中產(chǎn)生沖激函數(shù)和其傅里葉變換的程序如下：M=10;T=10;N=2^M;dt=T/N;n=0:N-1;t=n*dt;w=zeros<size<t>>;w<100:105>=100;subplot<211>;plot<t,w,'b','LineWidth',2.5>;title<‘沖激函數(shù)'>;xlabel<'t/s>'>;ylabel<'y/m'>;Subplot<212>;W=fft<w>;W=fftshift<W>;plot<t,abs<W>,'b','LineWidth',2.5>;title<'沖激函數(shù)的傅里葉變換'>;xlabel<'w>'>;ylabel<'y/m'>;其時域圖像和頻域圖像如圖1所示圖1沖激函數(shù)的時域和頻譜圖像分析：從圖中可以看出.沖激信號的頻率為0處的分量最大.然后向兩端快速衰減.表明脈沖信號中實際占主導(dǎo)地位的其實是直流分量。2余弦信號我們已經(jīng)知道.任何信號都可以分解成為不同頻率的正或余弦信號的疊加.那么現(xiàn)在研究余弦信號的時域和頻域特性[4]。用Matlab可以產(chǎn)生余弦信號并分析其頻譜的特性。Matlab程序：M=10;N=2^M;t=linspace<-10,10,N>;xcos=cos<3*t>;subplot<211>plot<t,xcos>;title<'余弦信號的時域圖像'>;xlabel<'t/s'>;ylabel<'y/m'>subplot<212>plot<t,abs<fftshift<fft<xcos>>>>;title<'余弦信號的頻域圖像'>xlabel<'w/<rad/s>'>;ylabel<'y/m'>余弦信號的時域圖像與頻域圖像如圖2所示圖2余弦函數(shù)的時域和頻譜.3頻率突變信號頻率突變信號在現(xiàn)實生活總很常見.下面用Matlab來產(chǎn)生頻率突變信號[5]和分析其傅里葉變換。Matlab程序：M=8;N=2^M;t=linspace<-10,10,N>;s1=find<t<.0>;x<s1>=cos<2*pi*6*t<s1>>;s2=find<t>=.0>;x<s2>=cos<2*pi*3*t<s2>>;subplot<211>;plot<t,x>;title<'頻率突變信號'>;xlabel<'t/s'>;ylabel<'y/m'>subplot<212>;X=fft<x>;X=fftshift<X>;plot<t,abs<X>;title<'頻率突變信號的傅里葉變換圖像'>;xlabel<'f/hz'>;ylabel<'y/m'>其圖像如圖3所示圖3頻率突變信號的時域和頻譜圖象分析：頻率突變信號的頻率在3和5的位置對應(yīng)的幅值特別高。因此標記出這兩個頻譜峰值對應(yīng)的頻率分量.正好可以驗證信號的頻率成份。4高斯信號在信號中.常會伴隨著噪聲.而高斯噪聲[5]是常見的噪聲.研究它的特性對于消除噪聲有很大的意義。Matlab程序如下：M=10;N=2^M;t=linspace<-10,10,N>;a=1/4;g=exp<-a*t.^2>;subplot<211>plot<t,g>title<'高斯信號的時域圖像'>;xlabel<'t/s'>;ylabel<'y/m'>;subplot<212>G=fft<g>;G=fftshift<G>;plot<t,abs<G>>;title<'高斯信號的頻域圖像'>xlabel<'f/Hz'>;ylabel<'y/m'>;高斯信號的時域和頻域圖像如圖3所示圖4高斯信號的時域和頻域圖像圖像分析:這是一個正態(tài)分布函數(shù).具有單峰性.歸一性。其傅立葉變換函數(shù)的圖象中.只有頻率為0的地方有極大的峰值.說明小概率時間發(fā)生的機會是極小的.越向原點.時間發(fā)生的可能性越大。5隨機序列研究隨機序列[4]有很大的意義.在數(shù)字信號的傳輸過程中.往往會產(chǎn)生噪聲.而噪聲并是隨機序列.研究其特性對消除噪聲有很大的意義利用MATLAB很容易產(chǎn)生兩類隨機信號：Rand<1,N>在區(qū)間[0,1]上產(chǎn)生N點均勻分布的隨機序列Randn<1,N>產(chǎn)生均值為0.方差為1的高斯隨機序列.也就是白噪聲序列例如下圖表示點數(shù)為32點的均勻分布的隨機序列與高斯隨機序列.其Matlab仿真結(jié)果如圖下所示.其中圖3.1和圖3.2分別表示序列一和序列二的時域和頻域圖像。用Matlab產(chǎn)生的隨即序列和其傅里葉變換的程序如下圖所示clearall;N=32;x_rand=rand<1,N>;x_randn=randn<1,N>;xn=0:N-1;figure<1>subplot<2,1,1>;stem<xn,x_rand>;title<'系列1的時域圖像'>subplot<2,1,2>;stem<xn,abs<fftshift<fft<x_rand>>>>;title<'系列1的頻域圖像'>figure<2>subplot<2,1,1>;stem<xn,x_randn>;title<'系列2的時域圖像'>subplot<2,1,2>;stem<xn,abs<fftshift<fft<x_randn>>>>;title<'系列2的頻域圖像'>圖5.1序列一的時域和頻域圖像圖5.2序列二的時域和頻域圖像6利用窗函數(shù)對信號消燥信號在傳輸過程中.受到噪聲的干擾.則在接收端得到的信號由于受到噪聲的干擾.信號將難以辨識。消燥的方法很多.下面介紹用窗函數(shù)對信號的消燥[6]。使用窗函數(shù)可以控制頻譜的主瓣寬度、旁瓣抑制度等參數(shù).達到消除噪聲對原信號的影響.更好地進行波形頻譜分析。而將窗函數(shù)與信號的時域波形或頻譜進行相乘的過程.稱為對信號做時域加窗或頻域加窗。Matlab信號處理工具箱中計算窗函數(shù)的指令是"window".其用法是：windoww=window<fhandle,n>w=window<fhandle,n,winpot>下面舉例說明利用窗函數(shù)對信號的消燥的應(yīng)用。對一個50Hz.振幅為1的正弦波的合成波形進行頻譜分析.要求分析的頻率范圍為0~100Hz,頻率分辨率為1Hz。根據(jù)分析的頻率范圍可以確定信號的時域采樣率為為fs=200Hz,時間分辨率為T=1/fs=5ms。而根據(jù)頻率分辨率可以得到信號的時域截斷長度為L=1/f=1s。因此.對截斷信號的采樣點數(shù)為N=fs/f+1=201.現(xiàn)分別用矩形窗.海明窗和漢寧窗進行時域加窗.然后觀察幅度譜曲線。程序如下：fs=200;%采樣率Delta_f=1;%頻率分辨率T=1/fs;%時間分辨率M=256;L=1/Delta_f;%時域截取長度N=floor<fs/Delta_f>+1;%計算截斷信號的采樣點數(shù)t=0:T:L;%截取時間段和采樣時間點freq=0:Delta_f:fs;%分析的頻率范圍和頻率分辨率f_t=<sin<2*pi*50*t>+0.7*sin<2*pi*75*t>>+randn<1,M>;%在截取范圍內(nèi)的分析的信號時域波形f_t_rectwin=rectwin<N>.*f_t;%時域加窗：矩形窗f_t_hamming=hamming<N>.*f_t;%時域加窗：海明窗f_t_hann=hann<N>.*f_t;%時域加窗：漢寧窗F_w_rectwim=T.*fft<f_t_rectwin,N>+eps;%作N點DFT.乘以采樣時間間隔T得到頻譜F_w_hamming=T.*fft<f_t_hamming,N>+eps;%加海明窗的頻譜F_w_hann=T.*fft<f_t_hann,N>+eps;%加漢寧窗的頻譜figure<1>;subplot<2,2,1>;plot<t,f_t>;title<'OriginalSignal'>;subplot<2,2,2>;plot<t,f_t_rectwim>;title<'rectwimWindowing'>;subplot<2,2,3>;plot<t,f_t_hamming>;title<'hammingWindowing'>;subplot<2,2,4>;plot<t,f_t_hann>;title<'hanningWindowing'>;figure<2>;subplot<3,1,1>;semilogy<freq,abs<F_w_rectwin>>;title<'rectwimWindowingSpectrum'>;axis<[0,200,1e-4,1]>;gridon;subplot<3,1,2>;semilogy<freq,abs<F_w_hamming>>;title<'rectwimWindowingSpectrum'>;axis<[0,200,1e-4,1]>;gridon;subplot<3,1,3>;semilogy<freq,abs<F_w_hann>>;title<'rectwimWindowingSpectrum'>;axis<[0,200,1e-4,1]>;gridon;程序運行后.得出原始信號以及加窗后信號的時域、頻域圖分別如圖6.1和6.2所示。事實上.加矩形窗等價于截取時不作加窗處理。從圖中三種加窗后的幅度譜估計曲線來看.加海明窗和加漢寧窗后的估計精度都比矩形窗的要高。圖6.1信號的時域圖圖6.2加窗后信號的頻譜圖7對200年太陽黑子活動情況的分析在Matlab工具箱中有200年太陽黑子的數(shù)據(jù)[7].利用這段數(shù)據(jù)對太陽黑子的規(guī)律進行分析Matlab程序：loadsunspot.dat %系統(tǒng)提供的歷史數(shù)據(jù).為20*2矩陣year=sunspot<:,1>; %分解所得得年份數(shù)據(jù)wolfer=sunspot<:,2>; %分解所得的活動數(shù)據(jù)。subplot<211>plot<year,wolfer>;title<'太陽黑子數(shù)據(jù)'>subplot<212>plot<year,abs<fftshift<fft<wolfer>>>>title<'太陽黑子的頻域圖像'>其結(jié)果如圖7所示圖7太陽黑子的時域和頻域圖像圖像分析：從上圖結(jié)果可以得出：對于太陽黑子的活動,在時域上沒有十分明顯的變化規(guī)律,而在其頻域上卻呈現(xiàn)出良好的突變特性,那么對其頻譜的分析就可以很好的掌握太陽黑子活動的規(guī)律,對于人類的研究起了非常大的作用.8對非平穩(wěn)信號的時頻分析在現(xiàn)實生活中常常碰到一些非平穩(wěn)信號[6].即這些信號的統(tǒng)計特征隨時間變化而變化.其功率譜也是隨時間變化的。例如.語音信號就是非平穩(wěn)的.顯然在話音的輔音、元音以及間隙區(qū)間的統(tǒng)計特性是不同的.但是在某一個短的時間內(nèi)〔如一個元音區(qū)間可以認為信號是近似平穩(wěn)的。為了尋求非平穩(wěn)信號的功率譜.工程上將非平穩(wěn)信號進行短時分段.然后對各段進行功率譜分析.最后將獲得的這些功率譜按照時間的順序排列起來.在時間、頻率和功率譜密度這三個維度上考察費平穩(wěn)信號的特征.這種方法稱為時頻分析技術(shù)。MATLAB種提供了視頻分析指令"specgram"。下面舉例說明視頻分析方法。在Matlab中自帶了一段0.5秒的語音數(shù)據(jù)"mtlb.mat"供測試用。用"load"指令調(diào)入語音數(shù)據(jù)后.首先通過聲卡播放該段語音.然后用"specgram"指令進行視頻分析.采樣不同分析參數(shù).最后通過三維圖和視頻二維色圖的方式表達出來。程序和程序結(jié)果如下：loadmtlb.matsound<mtlb,Fs>;%播放聲音[B,F,T]=specgram<mtlb,1024,Fs,[],0>;%時頻分析.短時FFT點數(shù)為1024點.無混疊.默認窗函數(shù)[x,y]=meshgrid<F,T>;figure<1>;waterfall<x,y,20*log10<abs<B'>>>;colormap<[000]>;%三維作圖.作出時變功率譜xlabel<'Freq'>;ylabel<'Tim