2023屆重慶市萬州區(qū)高三第二次聯(lián)考模擬數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat24頁2023屆重慶市萬州區(qū)高三第二次聯(lián)考模擬數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域求集合A，根據(jù)一元二次不等式解法求集合B，利用并集概念運(yùn)算即可.【詳解】由，得，即，由，得或，即，所以.故選：B.2．已知，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)相等得到方程，解出，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可得到答案.【詳解】設(shè)，，則，即，解得,故復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第一象限，故選：A.3．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)確定的范圍，由此比較的大小.【詳解】函數(shù)為上的減函數(shù)，又，所以，故；函數(shù)為上的減函數(shù)，又，所以，故；函數(shù)為上的增函數(shù)，又，所以，故；所以，故選：B.4．函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)函數(shù)奇偶性排除B選項(xiàng)，再根據(jù)特殊點(diǎn)處排除D選項(xiàng)，在根據(jù)解方程得出只有兩個(gè)零點(diǎn)，從而排除A選項(xiàng)，最后得答案．【詳解】由，得，所以是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故排除B選項(xiàng)；因?yàn)椋逝懦鼶選項(xiàng)；令，解得，故只有兩個(gè)零點(diǎn)，故排除A選項(xiàng)．故選：C．5．我國元代瓷器元青花團(tuán)菊花紋小盞如圖所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突．器身施白釉，以青花為裝飾，釉質(zhì)潤(rùn)澤，底足露胎，胎質(zhì)致密．碗內(nèi)口沿飾有一周回紋，內(nèi)底心書有一文字，碗外壁繪有一周纏枝團(tuán)菊紋，下筆流暢，紋飾灑脫．該元青花團(tuán)菊花紋小盞口徑8.3厘米，底徑2.8厘米，高4厘米，它的形狀可近似看作圓臺(tái)，則其側(cè)面積約為（單位：平方厘米）（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓臺(tái)的側(cè)面積公式求出對(duì)應(yīng)的值，代入公式計(jì)算即可求解.【詳解】設(shè)該圓臺(tái)的上底面、下底面的半徑分別為R，r，若當(dāng)，時(shí)，則圓臺(tái)的母線長(zhǎng)，所以其側(cè)面積為，若當(dāng)，時(shí)，則圓臺(tái)的母線長(zhǎng)，所以其側(cè)面積為，所以其側(cè)面積S滿足．故選：C．6．已知平面向量，，向量與的夾角為，則（

）A．2或 B．3或 C．2或0 D．3或【答案】A【分析】利用向量的模的坐標(biāo)公式求，，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)公式求，結(jié)合夾角公式列方程求【詳解】因?yàn)椋?，所以，，所以，，又向量與的夾角為，所以，所以，所以或，故選：A.7．已知橢圓E：的焦距為4，平行四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓E，且直線AB與AD的斜率之積為，則橢圓E的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由條件列關(guān)于的方程，解方程可得，由此可得橢圓方程.【詳解】設(shè)，由對(duì)稱性可得，則，所以兩式相減可得，因?yàn)橹本€AB與AD的斜率之積為，所以，即，所以，設(shè)橢圓的半焦距為，因?yàn)闄E圓的焦距為4，所以，所以，又，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：A.

8．在三棱錐中，，平面平面ABC，，點(diǎn)Q為三棱錐外接球O上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)Q到平面PAC的距離的最大值為，則球O的體積為(

)A． B．C． D．【答案】C【分析】取AC的中點(diǎn)M，證明BM⊥平面PAC，從而可得BM⊥平面PAC，可得BM⊥PA，再證PA⊥平面ABC；設(shè)BC＝a，在△ABC中，利用余弦定理求出cos∠ABC及∠ABC的大小.設(shè)外接圓的圓心為，半徑為r，球O的半徑為R，求出長(zhǎng)度；連接，OA，求出長(zhǎng)度；在△PAO中，利用勾股定理求出R．易知，從而得∥平面PAC，從而得點(diǎn)O到平面PAC的距離等于點(diǎn)到平面PAC的距離.根據(jù)點(diǎn)Q到平面PAC距離的最大值為可得a的值，從而求得R，再根據(jù)球的體積公式即可求解．【詳解】取AC的中點(diǎn)M，∵，∴，∵平面平面ABC，平面平面，∴平面PAC，∵平面PAC，∴，∵，，∴平面ABC，設(shè)，則，∴，設(shè)外接圓的圓心為，半徑為r，球O的半徑為R，如圖所示，顯然B，M，三點(diǎn)共線，且平面PAC．由，，得，，∴；連接，OA，則，由平面ABC，且外接圓的圓心為，可得．∵平面ABC，∴，∥平面PAC，∴點(diǎn)O到平面PAC的距離等于點(diǎn)到平面PAC的距離，∵點(diǎn)Q到平面PAC距離的最大值為，∴，得，∴，∴球O的體積為．故選：C．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：空間里面的線面、面面位置關(guān)系.需要靈活運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)定理、線面垂直的判斷定理.解題過程中找出三棱錐的外接球球心，構(gòu)造直角三角形，結(jié)合平面幾何及空間幾何關(guān)系求出各種邊（棱）長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.二、多選題9．新能源汽車的核心部件是動(dòng)力電池，碳酸鋰是動(dòng)力電池的主要成分．從2021年底開始，碳酸鋰的價(jià)格一直升高，下表是2022年我國某企業(yè)前5個(gè)月購買碳酸鋰價(jià)格與月份的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)．月份代碼x12345碳酸鋰價(jià)格y0.50.811.21.5若y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則下列說法中正確的有（

）A．y與x的樣本相關(guān)系數(shù) B．C．經(jīng)驗(yàn)回歸方程經(jīng)過點(diǎn) D．由經(jīng)驗(yàn)回歸方程可預(yù)測(cè)6月份的碳酸鋰價(jià)格約為1.84【答案】BCD【分析】根據(jù)題意，由相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式即可判斷A，由經(jīng)驗(yàn)回歸方程必過樣本中心即可判斷BCD.【詳解】由題意可得，，，，，，則與的樣本相關(guān)系數(shù).故A錯(cuò)誤；由關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為恒過樣本中心點(diǎn)，則有，解得，故B正確，C正確；由經(jīng)驗(yàn)回歸方程可預(yù)測(cè)6月份的碳酸鋰價(jià)格約為，故D正確；故選：BCD10．關(guān)于的展開式，下列說法中正確的有（

）A．各項(xiàng)系數(shù)之和為256 B．各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和為C．項(xiàng)的系數(shù)為1 D．項(xiàng)的系數(shù)為224【答案】BC【分析】令即可判斷選項(xiàng)A；因?yàn)橐阎囗?xiàng)式的展開式的各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值和與的各項(xiàng)系數(shù)和相等，然后令即可判斷B；因表示個(gè)因式的乘積，然后利用組合的性質(zhì)分別求出，的項(xiàng)的系數(shù)即可判斷CD.【詳解】令，則各項(xiàng)系數(shù)之和為，A不正確；因各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和與的各項(xiàng)系數(shù)和相等，則令，各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和為，B正確；因表示個(gè)因式的乘積，則選個(gè)即可得的系數(shù)為，C對(duì)；根據(jù)C選項(xiàng)，選個(gè)，個(gè)，或者選個(gè)，個(gè)，個(gè)，或者選個(gè)，個(gè)，得出項(xiàng)的系數(shù)為，D錯(cuò).故選：BC11．古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)“若A、B為平面上相異的兩點(diǎn)，則所有滿足：（，且）的點(diǎn)P的軌跡是圓”，后來人們稱這個(gè)圓為阿波羅尼奧斯圓．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，，，若，點(diǎn)P的軌跡為圓C，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的有（

）A．圓C的方程是B．面積的最大值為4C．過點(diǎn)A作直線l，若圓C上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為2，則該直線的斜率為D．若點(diǎn)，則的最小值為5【答案】BCD【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù),即可求出點(diǎn)的軌跡方程,即可判斷選項(xiàng)A是否正確；根據(jù)點(diǎn)的位置關(guān)系和圓的性質(zhì),即可求出面積的最大值,進(jìn)而判斷選項(xiàng)B是否正確；直線的方程為,由已知可得,求解可判斷C；由題意可得,可求最小值判斷D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,設(shè),因?yàn)闈M足,所以,化簡(jiǎn)得,所以,故A正確;對(duì)于選項(xiàng)B,由選項(xiàng)A可知,點(diǎn)的軌跡方程為,所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心,4為半徑的圓,又,且點(diǎn)A,在圓的直徑所在的直線上,故當(dāng)點(diǎn)到圓的直徑距離最大的時(shí)候,的面積最大,因?yàn)閳A上的點(diǎn)到直徑的最大距離為半徑,即的高的最大值為4,所以面積的最大值為,故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C,若直線的斜率不存在，則，可得圓心到直線的距離為8，不合題意；若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為,若圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2,則圓心到直線的距離為2,所以,解得；綜上所述：若圓C上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為2，則該直線的斜率為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D,由,可得,，當(dāng)且僅當(dāng)A,,在一直線線上且在A,之間時(shí)取等號(hào),故的最小值為,故D錯(cuò)誤.故選：BCD.

12．關(guān)于函數(shù)，下列說法中正確的有（

）A．是偶函數(shù) B．在區(qū)間上為增函數(shù)C．的值域?yàn)?D．函數(shù)在區(qū)間上有六個(gè)零點(diǎn)【答案】AD【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式得，,作出圖象,結(jié)合圖象逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，所以，，作出函數(shù)的圖象,如圖所示:

因?yàn)?，定義域?yàn)?，且，所以為偶函?shù),故A正確；當(dāng)時(shí),，，則函數(shù)不單調(diào),故B錯(cuò)誤;由圖可得函數(shù)的值域?yàn)?故C錯(cuò)誤;因?yàn)?所以在區(qū)間上零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為在區(qū)間上的交點(diǎn)個(gè)數(shù),由圖可知在區(qū)間上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為6,故D正確.故選：AD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是作出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)圖象來判斷較難的C選項(xiàng)，對(duì)于D選項(xiàng)將其轉(zhuǎn)化為與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題即可.三、填空題13．已知函數(shù)，則在點(diǎn)處的切線方程為______．【答案】【分析】求出及，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和直線的點(diǎn)斜式方程即可求出切線方程.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋栽邳c(diǎn)處的切線方程為，即．故答案為：.14．寫出一個(gè)具有下列性質(zhì)①②的數(shù)列的通項(xiàng)公式______．①；②數(shù)列的前n項(xiàng)和存在最小值．【答案】(答案不唯一)【分析】根據(jù)判斷數(shù)列是等差數(shù)列，根據(jù)存在最小值可知等差數(shù)列首項(xiàng)為負(fù)數(shù)，公差為正數(shù)，從而可寫出滿足條件的等差數(shù)列．【詳解】∵，∴數(shù)列是等差數(shù)列，∵數(shù)列的前n項(xiàng)和存在最小值，∴等差數(shù)列的公差，，顯然滿足題意．故答案為：．15．某社區(qū)為了豐富群眾的業(yè)余活動(dòng)，倡導(dǎo)群眾參加踢毽子、廣場(chǎng)舞、投籃、射門等體育活動(dòng)．在一次“定點(diǎn)投球”的游戲中，游戲共進(jìn)行兩輪，每小組兩位選手，在每輪活動(dòng)中，兩人各投一次，如果兩人都投中，則小組得3分；如果只有一個(gè)人投中，則小組得1分；如果兩人都沒投中，則小組得0分．甲、乙兩人組成一組，甲每輪投中的概率為，乙每輪投中的概率為，且甲、乙兩人每輪是否投中互不影響，各輪結(jié)果亦互不影響，則該小組在本次活動(dòng)中得分之和不低于3分的概率為______．【答案】【分析】首先寫出可能取值，再寫出分布列，最后得到不低于3分的概率.【詳解】根據(jù)題意,設(shè)該小組在本次活動(dòng)中得分之和為,則可取的值為0、1、2、3、4、6,在一輪活動(dòng)中,該小組得3分的概率該小組得1分的概率，該小組得0分的概率，則有,，，則，即該小組在本次活動(dòng)中得分之和不低于3分的概率為，故答案為：.16．已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，P是C在第一象限上的一點(diǎn)，且直線的斜率為，的平分線交x軸于點(diǎn)A，點(diǎn)B滿足，，則雙曲線C的漸近線方程為______．【答案】【分析】由點(diǎn)滿足,則在方向上的投影與在方向上的投影長(zhǎng)度相等,可得為的內(nèi)心,然后結(jié)合雙曲線的定義及余弦定理求解即可.【詳解】過作，由點(diǎn)滿足，則在方向上的投影與在方向上的投影長(zhǎng)度相等,即，則,即，即為的平分線,則為的內(nèi)心，連接，又點(diǎn)滿足,,,又，則,又直線的斜率為，,在中結(jié)合余弦定理，可得，化簡(jiǎn)得，則，即，即雙曲線的漸近線方程為.故答案為：.

四、解答題17．在①；②，與都是等比數(shù)列；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并作答．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且______．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．注：如果選擇多個(gè)條件分別作答，則按所作第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)(2)【分析】（1）若選①或③，已知和的關(guān)系，求解即可；若選②設(shè)出公比求解即可；（2）用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和即可.【詳解】（1）若選①：當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，，兩式相減得：，即，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列.所以.若選②：都是等比數(shù)列，設(shè)的公比為：，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，，即，解得（舍去）或，因?yàn)?，所?若選③：當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，，兩式相減得：，所以所以，當(dāng)時(shí)，符合，故.（2）由（1）可知：，所以，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為：，，兩式相減得：，所以，所以，所以.18．如圖，在平面四邊形中，，，，．

(1)求；(2)若，求的面積．【答案】(1)；(2)的面積為.【分析】（1）利用余弦定理即可求得邊BC的長(zhǎng)，再由正弦定理求；（2）利用正弦定理求，根據(jù)四邊形內(nèi)角和關(guān)系結(jié)合二倍角公式求，進(jìn)而求得的面積．【詳解】（1）因?yàn)?，為銳角，所以．因?yàn)?，，在中，由余弦定理得，即，得．在中，由正弦定理得，所以，所以，因?yàn)?，所以，故，所以；?）在中，由正弦定理得，又，，，即，所以．因?yàn)?，，，所以，所以，所以，所以的面積.19．如圖1所示，在四邊形中，，為上一點(diǎn)，，，將四邊形沿折起，使得，得到如圖2所示的四棱錐．

(1)若平面平面，證明：；(2)點(diǎn)是棱上一動(dòng)點(diǎn)，且直線與平面所成角的正弦值為，求．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）先證明，根據(jù)線線平行判定定理平面，再由線面平行性質(zhì)定理證明線線平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的法向量，利用線面角的法向量公式計(jì)算即可求解.【詳解】（1）在圖1中，因?yàn)椋?，，所以，，又，所以，因?yàn)?，，所以，故?/p>

在圖2中，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，平面平面，所以；?）由（1）知，，，，平面，平面,所以平面，又平面，所以平面平面，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，在平面內(nèi)過點(diǎn)作的垂線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，因?yàn)?，平面AEB平面BCE，且，所以點(diǎn)在平面的射影為中點(diǎn)，故，，設(shè)，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，不妨令，則，，所以為平面的一個(gè)法向量．因?yàn)橹本€與平面所成角的正弦值為，所以，整理得，解得或（舍），所以為中點(diǎn)，所以.20．設(shè)拋物線C：的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在拋物線C上，（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為4．(1)求外接圓的方程；(2)若過點(diǎn)的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，延長(zhǎng)AF，BF分別與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，證明：直線MN過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)(2)證明見解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為.【分析】（1）根據(jù)面積列出關(guān)于的方程，解出值，代入點(diǎn)即可得到值；（2）設(shè)的方程為，，通過聯(lián)立直線方程與拋物線方程得到韋達(dá)定理式，寫出的方程，將其與拋物線方程聯(lián)立，得到點(diǎn)坐標(biāo)，同理得到點(diǎn)坐標(biāo)，寫出直線方程，將其化簡(jiǎn)得到定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1），，，，，設(shè)外接圓的方程為，，，，即，外接圓方程為.（2）設(shè)的方程為，，聯(lián)立得，，，，直線AF的方程，聯(lián)立得，，，，，，同理，當(dāng)時(shí)，直線MN的斜率存在，，直線的方程為，即，，即，，即，直線MN過點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由對(duì)稱性不妨令，則，直線過點(diǎn)，直線過定點(diǎn).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題采取設(shè)線法，設(shè)設(shè)的方程為，將其與拋物線方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理式，寫出直線方程，再次聯(lián)立拋物線求解出點(diǎn)坐標(biāo)，同理得到點(diǎn)坐標(biāo)，最后得到直線的方程，通過化簡(jiǎn)并結(jié)合韋達(dá)定理式得到直線的方程為，從而得到定點(diǎn)坐標(biāo).21．一水果連鎖店的店長(zhǎng)為了解本店蘋果的日銷售情況，記錄了過去30天蘋果的日銷售量（單位：kg），得到如下頻率分布直方圖．

(1)求過去30天內(nèi)蘋果的日平均銷售量和方差（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值代表）；(2)若該店蘋果的日銷售量X近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，試估計(jì)360天中日銷售量超過79.9kg的天數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）；(3)該水果店在店慶期間舉行“贏積分，送獎(jiǎng)品”活動(dòng)，規(guī)定：每位會(huì)員可以投擲n次骰子，若第一次擲骰子點(diǎn)數(shù)大于2，可以獲得100個(gè)積分，否則獲得50個(gè)積分，從第二次起若擲骰子點(diǎn)數(shù)大于2，則獲得上一次積分的兩倍，否則獲得50個(gè)積分，直到投擲骰子結(jié)束．記會(huì)員甲第n次獲得的積分為，求數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：若，則，，．【答案】(1)，(2)57(3).【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)和方差的計(jì)算方法即可計(jì)算；（2）根據(jù)正態(tài)分布圖的對(duì)稱性即可求解；（3）求出的分布列和，根據(jù)關(guān)系得的關(guān)系，構(gòu)造等比數(shù)列即可求出.【詳解】（1）由題意得各組的頻率依次為0.1，0.25，0.4，0.1