宋懷波第6講：圖像變換

第3章圖像變換3.1傅里葉變換3.2離散余弦變換3.3小波變換及其應(yīng)用1第3章圖像變換第3章圖像變換圖像是二維信號，其坐標軸是二維空間坐標軸，圖像本身所在的域稱為空間域（SpaceDomain）。圖像灰度值隨空間坐標變化的快慢也用頻率來度量，稱為空間頻率（SpatialFrequency）。2第3章圖像變換3.1 背景例3.1:函數(shù)分解函數(shù)系數(shù)具有重要意義分解和合并的過程可逆1.由下自上分辨率逐漸增加；2.由下自上細節(jié)逐漸增加。3第3章圖像變換圖像頻譜分布示意圖直流成分低頻成分高頻成分高頻成分4第3章圖像變換3.2.2傅立葉變換性質(zhì)例3.5：平移性質(zhì)5第3章圖像變換3.2.1傅立葉變換定義頻率域由傅立葉變換和頻率變量(u,v)定義的空間基本性質(zhì)(中心點平移后)（1）變化最慢的頻率成分(u=0,v=0)對應(yīng)一幅圖像的平均灰度（2）低頻（原點附近）對應(yīng)圖像灰度變化慢的像素（3）高頻（遠離原點）對應(yīng)圖像灰度變化快的像素6第3章圖像變換傅立葉變換注意的問題兩個缺點：(1)要進行復數(shù)運算，計算比較費時(2)很多圖像的高頻項衰減的很快，在頻域不清楚。解決方法：7第3章圖像變換第3章圖像變換 3.1 背景 3.2 傅立（里）葉變換和頻率域

3.3 離散余弦變換 3.4沃爾什變換 3.5MatLab函數(shù)8第3章圖像變換3.3離散余弦變換簡介傅立葉變換計算的對象是復數(shù)，計算速度慢，但功能強大為了提高計算速度，提出了計算對象是實數(shù)的變換，如離散余弦和沃爾什等變換余弦變換應(yīng)用廣泛圖像壓縮編碼語音信號處理…9第3章圖像變換3.3離散余弦變換二維離散余弦變換定義正變換10第3章圖像變換3.3離散余弦變換二維離散余弦變換定義反變換11第3章圖像變換3.3離散余弦變換離散余弦變換的優(yōu)點運算速度快、易于實現(xiàn)等優(yōu)點，它的快速算法已可由專用芯片來實現(xiàn)，因而被廣泛采用。研究較早，技術(shù)成熟，允許將88圖像的空間表達式轉(zhuǎn)換為頻率域，只需少量數(shù)據(jù)來表示圖像。硬件和軟件中都容易實現(xiàn)。目前國際上已經(jīng)制訂了基于離散余弦變換的靜止圖像壓縮標準JPEG和運動圖像壓縮標準MPEG。12第3章圖像變換3.3離散余弦變換將源圖像劃分為若干個子塊，每個子塊包含8×8個像素

13第3章圖像變換3.3離散余弦變換8x8像素子塊的DCT變換14第3章圖像變換3.3離散余弦變換MATLAB中有兩個二維離散變換函數(shù):DCT2

反變換則為IDCT2

15第3章圖像變換3.3離散余弦變換例子:離散余弦變換1.變換系數(shù)由左上角開始減小2.信息可用較少的系數(shù)表達，編碼的效率高16第3章圖像變換3.4沃爾什變換例:幾種變換比較原始圖像傅立葉變換離散余弦變換沃爾什變換17第3章圖像變換第3章圖像變換 3.1 背景 3.2 傅立（里）葉變換和頻率域

3.3 離散余弦變換

3.5小波變換18第3章圖像變換3.5小波變換-----數(shù)學顯微鏡首先由Morlet在1974年提出，通過物理的直觀和信號處理的實際需要經(jīng)驗的建立了反演公式，但未得到數(shù)學家的認可。80年代，Stromberg證明了小波函數(shù)的存在，構(gòu)造了第一個類小波基。1984年法國地球物理學家Morlet在分析地震波的局部性質(zhì)時，發(fā)現(xiàn)付立葉變換難以達到要求，因而引入小波的概念。1986年，數(shù)學家Meyer偶然構(gòu)造出一個真正的小波基，并與Mallat合作建立了構(gòu)造小波基的統(tǒng)一方法。1987年，Mallat將計算機視覺領(lǐng)域的多尺度分析引入到小波分析中。Daubechies《TenLecturesonWavelets》19第3章圖像變換第3.5章小波與小波變換目錄3.5.1小波介紹3.5.1.1小波簡史3.5.1.2小波概念3.5.1.3小波分析3.5.1.4小波定義3.5.2哈爾函數(shù)3.5.2.1哈爾基函數(shù)3.5.2.2哈爾小波函數(shù)3.5.2.3函數(shù)的規(guī)范化3.5.2.4哈爾基的結(jié)構(gòu)3.5.3哈爾小波變換3.5.4規(guī)范化算法3.5.5二維哈爾小波變換3.5.5.1二維小波變換舉例3.5.5.2二維小波變換方法20第3章圖像變換3.5.1小波介紹小波(wavelet)是什么在有限時間范圍內(nèi)變化且其平均值為零的數(shù)學函數(shù)具有有限的持續(xù)時間和突變的頻率和振幅在有限的時間范圍內(nèi)，它的平均值等于零21第3章圖像變換持續(xù)寬度相同振蕩波波與小波的差異：22第3章圖像變換3.5.1小波介紹(續(xù)1)部分小波許多數(shù)縮放函數(shù)和小波函數(shù)以開發(fā)者的名字命名，例如：Moret小波函數(shù)是Grossmann和Morlet在1984年開發(fā)的db6縮放函數(shù)和db6小波函數(shù)是Daubechies開發(fā)的圖3.5-1部分小波23第3章圖像變換3.5.1小波介紹(續(xù)2)1807:JosephFourier

傅立葉理論指出，一個信號可表示成一系列正弦和余弦函數(shù)之和，叫做傅立葉展開式小波簡史小波變換(wavelettransform)是什么老課題：函數(shù)的表示方法新方法：Fourier－Haar－wavelettransform24第3章圖像變換3.5.1小波介紹(續(xù)3)只有頻率分辨率而沒有時間分辨率；可確定信號中包含哪些頻率的信號，但不能確定具有這些頻率的信號出現(xiàn)在什么時候缺點25第3章圖像變換3.5.1小波介紹(續(xù)4)1909:AlfredHaar發(fā)現(xiàn)并使用了小波，后來被命名為哈爾小波26第3章圖像變換3.5.1小波介紹(續(xù)5)1945:Gabor開發(fā)了STFT(shorttimeFouriertransform)STFT的時間-頻率關(guān)系圖

27第3章圖像變換3.5.1小波介紹(續(xù)6)1980：Morlet20世紀70年代，法國地球物理學家Morlet提出小波變換的概念。20世紀80年代,開發(fā)了連續(xù)小波變換1986：Y.Meyer法國科學家Y.Meyer創(chuàng)造性地構(gòu)造出具有一定衰減性的光滑函數(shù)，用于分析函數(shù)用縮放與平移均為2j(j≥0的整數(shù))的倍數(shù)構(gòu)造了L2(R)空間的規(guī)范正交基，使小波分析得到發(fā)展28第3章圖像變換3.5.1小波介紹(續(xù)7)1988：Mallat算法Mallat提出多分辨率概念，并提出了正交小波的構(gòu)造方法和快速算法，稱為Mallat算法其地位相當于快速傅立葉變換在經(jīng)典傅立葉分析中的地位29第3章圖像變換3.5.1小波介紹(續(xù)8)小波理論與工程應(yīng)用Daubechies最先揭示了小波變換和濾波器組間的內(nèi)在關(guān)系，使離散小波分析變成為現(xiàn)實Coifman和Wickerhauser等著名科學家在把小波理論引入到工程應(yīng)用方面做出了極其重要貢獻自從Mallat和Daubechies發(fā)現(xiàn)濾波器組與小波基函數(shù)有密切關(guān)系后，小波分析在信號處理中得到極其廣泛的應(yīng)用30第3章圖像變換3.5.1小波介紹——小波分析小波分析/小波變換目的：獲得時間和頻率域之間的相互關(guān)系小波變換通過平移母小波獲得信號的時間信息通過縮放母小波的尺度獲得信號的頻率特性31第3章圖像變換3.5.1小波介紹——小波分析(續(xù)1)連續(xù)小波變換傅立葉分析用一系列不同頻率的正弦波表示一個信號一系列不同頻率的正弦波是傅立葉變換的基函數(shù)小波分析用母小波通過移位和縮放后得到的一系列小波表示一個信號一系列小波可用作表示一些函數(shù)的基函數(shù)凡能用傅立葉分析的函數(shù)都可用小波分析小波變換可理解為用經(jīng)過縮放和平移的一系列函數(shù)代替傅立葉變換用的正弦波用不規(guī)則的小波分析變化激烈的信號比用平滑的正弦波更有效，或者說對信號的基本特性描述得更好32第3章圖像變換3.5.1小波介紹——小波分析(續(xù)2)CWT的變換過程示例，可分為5步小波ψ(t)和原始信號f(t)的開始部分進行比較計算系數(shù)C——該部分信號與小波的近似程度；C值越高表示信號與小波相似程度越高小波右移k得到的小波函數(shù)為ψ(t-k)

，然后重復步驟1和2，……直到信號結(jié)束擴展小波，如擴展一倍，得到的小波函數(shù)為ψ(t/2)

重復步驟1~4圖3.5-3連續(xù)小波變換的過程33第3章圖像變換3.5.1小波介紹——小波分析(續(xù)2)小波變換的粗略解釋34第3章圖像變換尺度a較大距離遠視野寬概貌觀察尺度a較小距離近視野窄細節(jié)觀察分析頻率低分析頻率高多分辨分析由粗到精35第3章圖像變換小波變換的多分辨分析特性：不同a值下小波分析區(qū)間的變化不同a值下分析小波頻率范圍的變化36第3章圖像變換3.5.1小波介紹——小波分析(續(xù)3)連續(xù)小波變換用下式表示該式含義：信號f(t)與被縮放和平移的小波函數(shù)Ψ之積在信號存在的整個期間里求和CWT變換的結(jié)果是許多小波系數(shù)C，這些系數(shù)是縮放因子和位置的函數(shù)離散小波變換類似連續(xù)小波變換37第3章圖像變換3.5.1小波介紹——小波分析(續(xù)4)圖3.5-5離散小波變換分析圖DWT得到的小波系數(shù)、縮放因子和時間關(guān)系，見圖3.5-5圖(a)是使用Gabor開發(fā)的短時傅立葉變換得到的圖(b)是使用Morlet開發(fā)的小波變換得到的38第3章圖像變換3.5.1小波介紹——小波分析(續(xù)5)執(zhí)行DWT的有效方法用Mallat開發(fā)的濾波器，稱為Mallat算法DWT的概念見圖3.5-6。S表示輸入信號；通過兩個互補的濾波器產(chǎn)生A和D兩個信號圖3.5-6雙通道濾波過程A表示信號的近似值，大的縮放因子產(chǎn)生的系數(shù)，表示信號的低頻分量D表示信號的細節(jié)值，小的縮放因子產(chǎn)生的系數(shù)，表示信號的高頻分量39第3章圖像變換圖像小波變換的正變換正變換依據(jù)二維小波變換按如下方式擴展，在變換的每一層次，圖像都被分解為4個四分之一大小的圖像。40第3章圖像變換41第3章圖像變換3.5.1小波介紹——小波分析(續(xù)6)小波分解樹與小波包分解樹由低通濾波器和高通濾波器組成的樹原始信號通過一對濾波器進行的分解叫做一級分解。信號可進行多級分解。小波分解樹對信號的高頻分量不再繼續(xù)分解，對低頻分量連續(xù)進行分解，得到許多分辨率較低的低頻分量小波包分解樹

不僅對低頻分量進行分解，對高頻分量也進行分解，不僅可得到許多分辨率較低的低頻分量，而且也可得到許多分辨率較低的高頻分量42第3章圖像變換3.5.1小波介紹——小波分析(續(xù)7)圖3.5-7小波分解樹43第3章圖像變換3.5.1小波介紹——小波分析(續(xù)8)圖3.5-8三級小波包分解樹44第3章圖像變換3.5.1小波介紹——小波分析(續(xù)9)圖3.5-9降采樣過程注意：在使用濾波器對真實的數(shù)字信號進行變換時，得到的數(shù)據(jù)將是原始數(shù)據(jù)的兩倍如果原始信號的數(shù)據(jù)樣本為1000個，濾波后的數(shù)據(jù)為2000個。根據(jù)奎斯特采樣定理，采用降采樣的方法，每個通道中每兩個樣本數(shù)據(jù)中取一個45第3章圖像變換3.5.1小波介紹——小波分析(續(xù)10)小波重構(gòu)重構(gòu)概念把分解的系數(shù)還原成原始信號的過程叫做小波重構(gòu)兩個過程在使用濾波器做小波變換時包含濾波和降采樣兩個過程，在小波重構(gòu)時也包含升采樣和濾波兩個過程46第3章圖像變換3.5.1小波介紹——小波分析(續(xù)11)圖3.5-10小波重構(gòu)方法圖3.5-11升采樣的方法47第3章圖像變換3.5.2哈爾函數(shù)哈爾基函數(shù)

基函數(shù)是一組線性無關(guān)的函數(shù)，可以用來構(gòu)造任意給定的信號，如用基函數(shù)的加權(quán)和表示哈爾基函數(shù)定義在半開區(qū)間[0，1)上的一組分段常值函數(shù)集生成矢量空間V0的常值函數(shù)48第3章圖像變換3.5.2哈爾函數(shù)(續(xù)1)生成矢量空間V1的常值函數(shù)

49第3章圖像變換3.5.2哈爾函數(shù)(續(xù)2)生成矢量空間V2的常值函數(shù)可按照以上方法繼續(xù)定義哈爾基函數(shù)和由它生成的矢量空間Vj，……50第3章圖像變換3.5.2哈爾函數(shù)(