從球坐標(biāo)到莫比烏斯飄帶曲面教程

從球坐標(biāo)到莫比烏斯環(huán)教程球坐標(biāo)的定義數(shù)學(xué)上的定義在數(shù)學(xué)里，球坐標(biāo)系（英語：Sphericalcoordinatesystem）是一種利用球坐標(biāo)（r,仇夕）表示一個(gè)點(diǎn)P在三維空間的位置的三維正交坐標(biāo)系。下圖顯示了球坐標(biāo)的幾何意義：原點(diǎn)到P點(diǎn)的距離r，原點(diǎn)到點(diǎn)P的連線與正z軸之間的天頂角0以及原點(diǎn)到點(diǎn)P的連線，在xOy平面的投影線，與正x軸之間的方位角夕.1.2 ggb中球坐標(biāo)的含義在ggb中，球面坐標(biāo)的表示方式為（ry外其中r為有向線段OP（ggb中何以為負(fù)值）方位角.的定義等同于數(shù)學(xué)上的定義，即0P在xOy平面上的投影0P'與x軸正半軸的夾角,范圍為R,而〃的含義不同于天頂角，實(shí)質(zhì)上是0P與。P'的夾角,類似于0P與xOy平面所成的角，這個(gè)角本文稱之為高度角，范圍同樣也為R,兩個(gè)角的正負(fù)可以用旋轉(zhuǎn)來定義,即逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)針為正，順時(shí)針為負(fù)13球心不在原點(diǎn)的球坐標(biāo)若球心。不是原點(diǎn)廁球上點(diǎn)P可以表示為0+（小通）2 利用球坐標(biāo)畫曲面與曲線球面(r為常數(shù)的曲面)指令：Surface!(r;s;t),s,0,2pi,t,-pi/2,pi/2]圓面、圓柱錐臺面(高度角為常數(shù)的曲面)圓面半徑為1的圓面上任意一點(diǎn)P的高度角為0,方位角記作s,到原點(diǎn)距離設(shè)為r,則P=(r;s;0),故指令為:Surface[(r;s;0),r,0,1,s,0,2pi]假如r的范圍修改為0.5到L則得到的為圓環(huán).圓柱面如圖，圓柱的底面半徑為R,高為h,以P為球心，則P的方位角二P，的方位角，記為s,高度角為；-泮徑PP'=r,則P=PM(r;s;pi/2),易知P=(R;s),則P=(R;s)+(r;s;pi/2),指令為Surface[(R;s)+(r;s;pi/2),s,0,2pi,r,0,h]說明:圓柱也可以寫出(R；s)+(0,0,r)的形式,(本文只是為了介紹球坐標(biāo))類似的，可以算出圓錐,圓臺的高度角，并畫出圓錐面和圓臺面.例如:Surface[(R;s)+(r;s;pi/3),s,0；2pi,r,0/h]] ##圓臺Surface((R;s)+(r;s;tt-acosd(R/l))zs,0,2tt,r,0,I)##圓錐圓環(huán)面設(shè)OA=4,AB=L則以A為球心，圓環(huán)面上任意一點(diǎn)B的方位角為s,高度角為t.兩個(gè)角的范圍都為0-匕力=A+(l；s;t)=(4;s)+(l;s;t),指令為:Surface[(4;s)+(l;s;t),s,0,2pi/t/0z2pi]莫比烏斯環(huán)莫比烏斯環(huán)的制作方法:拿一張長紙條然后把其中一端扭轉(zhuǎn)180。，再把兩端連上，就成為一個(gè)莫比烏斯帶.可見如果不扭轉(zhuǎn),直接連接兩端，則得到的就是一個(gè)圓柱面.想象著，把圓柱的母線扭轉(zhuǎn)，扭轉(zhuǎn)的過程中，保持母線的方位角不變，從第一條母線到最后一條母線扭轉(zhuǎn)的角度為0。-180。,而母線的方位角從0。到360。,故只要扭轉(zhuǎn)角等于方位角的一半，則能保證一端扭轉(zhuǎn)后能和另一端連上.為了方便大家理解，筆者等間距的畫出莫比烏斯環(huán)的13條母線(首尾重合)，顯然這些母線的方位角為0。,30。,60?！?60。,而高度角等于原來母線的高度角加上扭轉(zhuǎn)的角度，比如第三條母線，方位角為60。,扭轉(zhuǎn)的角度為180。4122=30。,則以A為原點(diǎn)時(shí),高度角=90。+30。=120。,第7條母線方位角為180。,扭轉(zhuǎn)的角度=180。+12x6=90。,故以對應(yīng)點(diǎn)為原點(diǎn)時(shí)高度角為90。+90。=180。,從圖中可以看到該母線落在乂。丫平面內(nèi).而第1條母線和最后1條母線的高度角為別為90度角為別為90。和270。,因此這2條母線重合.可以推斷,以對應(yīng)白點(diǎn)為原點(diǎn)時(shí)，各母線上的任意點(diǎn)的高度角二方位角/2+90。設(shè)大圓的半徑為4,紙片的寬度為2,設(shè)環(huán)上任意一點(diǎn)B方位角為s,則以A為原點(diǎn)時(shí)，高度角為s/2+90。,A的坐標(biāo)為(2;s),則B=(2;s)+(r;s;s/2+90。)指令如下:Surface[(4;s)+(r;s;s/2+90°),s,0,2pi,r,-1,1]如果另一端扭轉(zhuǎn)540。,那么只需修改高度角為1.5s,一般只要保證扭轉(zhuǎn)的是180度的奇數(shù)倍,即可保證兩端能連上，并且只有一個(gè)面.指令如下：Surface[(4;s)+(r;s;(n+0.5)s+90°),s,0,2pi,r,-1,1]說明也可以左邊的一端