二元一次方程組及其應(yīng)用

第7講二元一次方程組及其應(yīng)用(學(xué)P18)第一篇數(shù)與代數(shù)第二章方程與不等式1．二元一次方程(組)和二元一次方程(組)的解(1)含有兩個(gè)未知數(shù)，并且所含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的整式方程叫做二元一次方程．將兩個(gè)或兩個(gè)以上的方程合在一起，就構(gòu)成了一個(gè)方程組．總共含有

，且未知數(shù)的次數(shù)都是

，這樣的方程組叫做二元一次方程組．二元一次方程的一般形式：ax＋by＋c＝0(a≠0，b≠0)．兩個(gè)未知數(shù)一次(2)適合一個(gè)二元一次方程的每一組未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的一個(gè)解．任何一個(gè)二元一次方程都有無(wú)數(shù)組解．二元一次方程組的兩個(gè)方程的

，叫做二元一次方程組的解．2．二元一次方程組的解法解二元一次方程組的基本思想是

，有

與

．即把多元方程通過(guò)

、

、換元等方法轉(zhuǎn)化為一元方程來(lái)解．另外還有圖象法．公共解消元加減消元法代入消元法加減代入3．列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟；(1)審，審清題意，分清題中的已知量、未知量；(2)設(shè)，設(shè)未知數(shù)，設(shè)含有兩個(gè)未知量為x、y，并注意單位；(3)列，根據(jù)題意尋找等量關(guān)系列二元一次方程組；(4)解，解方程組；(5)驗(yàn)，檢驗(yàn)方程組的解是否符合題意；(6)答，寫出答案(包括單位)．1．化歸思想，解二元一次方程組的基本思想是“消元”，即化“二元”為“一元”，這種方法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究中的化歸思想，具體地說(shuō)，就是把“新知識(shí)”轉(zhuǎn)化為“舊知識(shí)”，把“未知”轉(zhuǎn)化為“知”，把“復(fù)雜問(wèn)題”轉(zhuǎn)化為“簡(jiǎn)單問(wèn)題”，本部分的二元一次方程組問(wèn)題一般通過(guò)“消元”轉(zhuǎn)化為一元一次方程問(wèn)題解決．2．兩個(gè)方法①代入消元法；②加減消元法．1．(2013·涼山州)已知方程組，則x＋y的值為()

A．－1B．0C．2D．32．(2013·廣安)如果a3xby與－a2ybx＋1是同類項(xiàng)，則()

A.B.C.D.Dx＋3y＝52x＋y＝5Dy＝3x＝－2.y＝－3x＝－2y＝－3x＝2y＝3x＝23．(2014·杭州)設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足方程組則x＋y＝

.

4．(2013·廣州)已知兩數(shù)x，y之和是10，x比y的3倍大2，則下面所列方程組正確的是()

A.B.C.D.x＋y＝2，x-y＝4，8Cx＋y＝10x＝3y＋2y＝3x－2x＋y＝10y＝3x＋2x＋y＝10x＋y＝10x＝3y－25．(2013·畢節(jié))二元一次方程組

的解是

.3x－2y＝11x＋2y＝1，y＝－1x＝3【問(wèn)題】對(duì)于二元一次方程2x＋y＝10.(1)求其正整數(shù)解；(2)若x＋y＝7，求x，y的值；(3)對(duì)于(1)、(2)中的x，y的值求法，你有何體會(huì)？.(3)對(duì)于(1)只要把方程變形為用一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式來(lái)表示另一個(gè)未知數(shù)，然后利用正整數(shù)解這個(gè)條件來(lái)求；對(duì)于(2)是解方程組，其基本思想是“消元”，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的化歸思想．消元的方法根據(jù)方程組的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇代入消元法或加減消元法．y＝8x＝1,y＝6x＝2,y＝4x＝3,x＝4,y＝2y＝4x＝3,【解析】(1)

(2)【歸納】會(huì)解二元一次方程整數(shù)解類問(wèn)題；會(huì)選擇并運(yùn)用代入、加減消元法解二元一次方程組．(學(xué)P19)類型一二元一次方程(組)的有關(guān)概念例1(2013·臺(tái)州)已知關(guān)于x，y的方程組

的解為求m，n的值．【思路分析】由于

是方程組

的解，根據(jù)方程組解的意義，將它代回原方程組，得到一個(gè)關(guān)于m，n的方程組，解這個(gè)新方程組即可．2mx－3ny＝4mx＋ny＝7y＝2x＝12mx－3ny＝4mx＋ny＝7,y＝2x＝1,【答案】由題意知：將

代入方程組

中，得

解這個(gè)新方程組，得

【解后感悟】本題主要是二元一次方程組的解的概念，二元一次方程組的解法，能夠?qū)⒎匠探M的解代回到原方程組中，并且會(huì)用代入法或加減法解方程組．注意“消元法”的運(yùn)用．2mx－3ny＝4mx＋ny＝7y＝2x＝1m＋2n＝7n＝1m＝52m－6n＝41．(2013·安順)如果4xa＋2b－5－2y3a－b－3＝8是二元一次方程，那么a－b＝

．類型二二元一次方程組的解法例2解方程組：(1)(2013·遵義)

(2)(2013·黃岡)

02x＋y－3＝0②；x－2y＝4①，3(x＋y)－2(2x－y)＝3.，【思路分析】(1)由第一個(gè)方程得到x＝2y＋4，然后利用代入消元法求解即可．(2)把方程組整理成一般形式

然后利用代入或加減消元法求即可．【答案】(1)

由①得，x＝2y＋4③，③代入②得2(2y＋4)＋y－3＝0，解得y＝－1，把y＝－1代入③得，x＝2×(－1)＋4＝2，所以，方程組的解是

－x＋5y＝3②，5x－11y＝－1①，2x＋y－3＝0②，x－2y＝4①，y＝－1.x＝2，(2)方程組可化為

由②得，x＝5y－3③，③代入①得，5(5y－3)－11y＝－1，解得y＝1，把y＝1代入③得，x＝5－3＝2，所以，原方程組的解是

【解后感悟】本題是二元一次方程組的解法，方程組中未知數(shù)的系數(shù)較小時(shí)可用代入法，當(dāng)未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)時(shí)用加減消元法較簡(jiǎn)單．根據(jù)同類項(xiàng)的“兩同”列出方程組是解題的關(guān)鍵．－x＋5y＝3②，5x－11y＝－1①，y＝1.x＝2，2．解方程組：(1)(2013·邵陽(yáng))

2x－3y＝6②.x＋3y＝12①，y＝2x＝6【答案】【答案】(2)1－6x＝＝.類型三二元一次方程組的綜合問(wèn)題例3若關(guān)于x，y的二元一次方程組

的解也是二元一次方程2x＋3y＝6的解，則k的值是(

)

A．－

B.

C.

D．－

【思路分析】解方程組，根據(jù)方程解的定義，將該解代入方程2x＋3y＝6即可．【答案】解方程組

得

根據(jù)方程解的定義，將該解代入方程2x＋3y＝6，得14k－6k＝6，8k＝6，k＝

.故選B.x＋y＝5k，x－y＝9kx－y＝9k，x＋y＝5k，y＝－2k，x＝7k，【解后感悟】先將待定系數(shù)看成已知數(shù)，解這個(gè)方程組，再將求得的含待定系數(shù)的解代入方程中，便轉(zhuǎn)化成一個(gè)關(guān)于k的一元一次方程．例4已知方程組

與

的解相同，求a，b的值．【思路分析】選擇兩個(gè)含已知系數(shù)的組成二元一次方程組求得未知數(shù)的解，然后將方程組的解代入含待定系數(shù)的另外的方程，組成方程組，解方程組即可．2x－3y＝3，ax＋by＝－12ax＋3by＝33x＋2y＝11，【答案】由題意得

解之得

把

代入

得

整理得

解得

【解后感悟】幾個(gè)方程(組)同解，可選擇兩個(gè)含已知系數(shù)組成二元一次方程組求得未知數(shù)的解，然后將方程組的解代入含待定系數(shù)的另外的方程(或方程組)，解方程(或方程組)即可．3x＋2y＝11，2x－3y＝3，y＝1.x＝3，b＝5.a＝－2，2a＋b＝1，3a＋b＝－1，2ax＋3by＝3，ax＋by＝－1，6a＋3b＝3，3a＋b＝－1，y＝1.x＝3，3．已知方程組的解x，y的和為12，求n的值；【答案】解法一：解方程組得又∵x＋y＝12，∴(2n－6)＋(－n＋4)＝12，n＝14.解法二：已知方程組②－①，得x＋2y＝2，∵x＋y＝12，∴3x＋5y＝n+22x＋3y＝n，3x＋5y＝n＋2，②2x＋3y＝n，①y＝－n＋4.x＝2n－6，3x＋5y＝n＋2，②2x＋3y＝n，①y＝－10，x＝22，把

代入①，得n＝2×22＋3×(－10)＝44－30＝14.4．當(dāng)m取什么值時(shí)，方程x＋2y＝2，2x＋y＝7，

mx－y＝0有公共解．【答案】m＝－

.y＝－10，x＝22，類型四二元一次方程組的應(yīng)用例5(2013·嘉興)某鎮(zhèn)水庫(kù)的可用水量為12000萬(wàn)m3，假設(shè)年降水量不變，能維持該鎮(zhèn)16萬(wàn)人20年的用水量．為實(shí)施城鎮(zhèn)化建設(shè)，新遷入了4萬(wàn)人后，水庫(kù)只能夠維持居民15年的用水量．(1)問(wèn)：年降水量為多少萬(wàn)m3？每人年平均用水量多少m3?(2)政府號(hào)召節(jié)約用水，希望將水庫(kù)的使用年限提高到25年．則該鎮(zhèn)居民人均每年需節(jié)約多少m3水才能實(shí)現(xiàn)目標(biāo)？【思路分析】(1)設(shè)年降水量為x萬(wàn)立方米，每人每年平均用水量為y立方米，根據(jù)儲(chǔ)水量＋降水量＝總用水量，建立方程求出其解就可以了；(2)設(shè)該城鎮(zhèn)居民年平均用水量為z立方米才能實(shí)現(xiàn)目標(biāo)，同樣由儲(chǔ)水量＋25年降水量＝25年20萬(wàn)人的用水量為等量關(guān)系，建立方程求出其解即可．【答案】(1)設(shè)年降水量為x萬(wàn)立方米，每人每年平均用水量為y立方米，根據(jù)題意，得12000＋20x＝16×20y，x＝200，答：年降水量為200萬(wàn)立方米，每人年平均用水量為50立方米．12000＋15x＝20×15y，解得y＝50，(2)設(shè)該城鎮(zhèn)居民年平均用水量為z立方米才能實(shí)現(xiàn)目標(biāo)，由題意，得12000＋25×200＝20×25z，解得：z＝34，則50－34＝16(立方米)．答：該城鎮(zhèn)居民人均每年需要節(jié)約16立方米的水才能實(shí)現(xiàn)目標(biāo)．【解后感悟】本題是二元一次方程組、一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)儲(chǔ)水量＋降水量＝總用水量建立方程是關(guān)鍵．5．(2014·溫州)八(1)班五位同學(xué)參加學(xué)校舉辦的數(shù)學(xué)競(jìng)賽，試卷中共有20道題，規(guī)定每題答對(duì)得5分，答錯(cuò)扣2分，未答得0分．賽后A，B，C，D，E五位同學(xué)對(duì)照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)回憶并記錄了自己的答題情況(E同學(xué)只記得有7道題未答)，具體如下表：(學(xué)P20)參賽同學(xué)答對(duì)題數(shù)答錯(cuò)題數(shù)未答題數(shù)A1901B1721C1523D1712E//7(1)根據(jù)以上信息，求A，B，C，D四位同學(xué)成績(jī)的平均分；(2)最后獲知：A，B，C，D，E五位同學(xué)成績(jī)分別是95分，81分，64分，83分，58分．①求E同學(xué)的答對(duì)題數(shù)和答錯(cuò)題數(shù)；②經(jīng)計(jì)算，A，B，C，D四位同學(xué)實(shí)際成績(jī)平均分是80.75分，與(1)中算得的平均分不相符，發(fā)現(xiàn)是其中一位同學(xué)記錯(cuò)了自己的答題情況．請(qǐng)指出哪位同學(xué)記錯(cuò)了，并寫出他的實(shí)際答題情況(直接寫出答案即可)．【答案】(1)82.5分．(2)①設(shè)E同學(xué)答對(duì)x題，答錯(cuò)y題，由題意得

5x－2y＝58

x＝12

，解得.答：E同學(xué)答對(duì)12題，答錯(cuò)1題．②C同學(xué)，他實(shí)際答對(duì)14題，答錯(cuò)3題，未答3題．

x＋y＝13y＝1【開放探究題】【試題】三個(gè)同學(xué)對(duì)問(wèn)題“若方程組的解是求方程組的解．”提出各自的想法．甲說(shuō)：“這個(gè)題目好像條件不夠，不能求解”；乙說(shuō)：“它們的系數(shù)有一定的規(guī)律，可以試試”；丙說(shuō)：“能不能把第二個(gè)方程組的兩個(gè)方程的兩邊都除以5，通過(guò)換元替換的方法來(lái)解決”．參考他們的討論，你認(rèn)為這個(gè)題目的解應(yīng)該是________．a(chǎn)2x＋b2y＝c2a1x＋b1y＝c1，y＝4.3a2x＋2b2y＝5c23a1x＋2b1y＝5c1，x＝3，【分析與解】把第二個(gè)方程組的兩個(gè)方程的兩邊都除以5，通過(guò)換元替代的方法來(lái)解決．兩邊同時(shí)除以5得，

和方程組的形式一樣，所以

解得3a2x＋2b2y＝5c2

3a1x＋2b1y＝5c1，a2x＋b2y＝c2a1x＋b1y＝c1，y＝10.x＝5，y＝4，x＝3，【方法與對(duì)策】本題是一道材料分析題，需要通過(guò)觀察、比較等式結(jié)構(gòu)，獲取信息，類比、邏輯推理，同時(shí)利用整體思想來(lái)解決．該題型是中考命題的一種形式．二元一次方程的解，二元一次方程組的解理解不清．

2x－3y＝－5而言(

)A．是這個(gè)方程的唯一解B．是這個(gè)方程的一個(gè)解C．不是這個(gè)方程的解D．以上結(jié)論都不對(duì)x－2y＋1＝03x－7y＝0，【問(wèn)題】方程組的解對(duì)方程【分析】錯(cuò)誤答案是A.理由：

由②