2023年海南省高考數(shù)學全真模擬卷（五）及答案解析

2023年海南省高考數(shù)學全真模擬卷(五)

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.若復數(shù)2=02-4+9-2)1為純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為()

A.2B.2或一2C.—2D.—4

2.已知集合A={x\x2—2%—3<0},B={x\—1<x<—m},若4nB=4,則實數(shù)m的

取值范圍為()

A.(-3,+8)B.(-8,-3]C.[3,4-oo)D.(—1,3]

3.已知tana=2,則>3cos2a=()

stn2a

A.*B.；C.2D.4

4.已知直線2x—y+r=0與圓C：(x+I)2+(y-3)2=r2(r>0)交于4,B兩點，且線段48

關于圓心對稱，則r=()

A.1B.2C.4D.5

5.家庭農(nóng)場是指以農(nóng)戶家庭成員為主要勞動力的新型農(nóng)業(yè)經(jīng)營主體，某家庭農(nóng)場從2019年

開始逐年加大投入，加大投入后每年比前一年增加相同額度的收益，已知2019年的收益為30

萬元，2021年的收益為50萬元，照此規(guī)律，從2019年至2026年該家庭農(nóng)場的總收益為()

A.630萬元B.350萬元C.420萬元D.520萬元

7.如圖，點P是棱長為2的正方體48。。一4/16。1表面上的D

一個動點，直線4P與平面4BCD所成的角為45。，則點P的軌跡./

長度為()

B

A.7T+4yJ~2

B.4y/~2n

C.2c

D.3<7+TT

8.設￡1=處普，力=陰，c=券，則a,b,c的大小關系是（）

eD32

A.b<a<cB.c<a<bC.a<b<cD.a<c<b

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.某網(wǎng)友隨機選取了某自媒體平臺10位自媒體人，得到其粉絲數(shù)據(jù)（單位：萬人）：1.7,2.3,

1.9,2.1,2.2,2.1,1.9,1.7,2.2,1.9.若該平臺自媒體人的粉絲數(shù)X?N0,M）（其中〃和c分

別為上述樣本的平均數(shù)和標準差），根據(jù)上述數(shù)據(jù)，則下列說法正確的是（）

附：若隨機變量X服從正態(tài)分布NO，/）,則pa-a<X<n+a）=0.6827,P（ji-2a<X<

M+2<r）=0.9545,-3（rWXW〃+3（r）=0.9973.

A.這10位自媒體人粉絲數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2.0

B.這10位自媒體人粉絲數(shù)據(jù)的標準差為0.04

C.這10位自媒體人粉絲數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)為1.8

D.用樣本估計總體，該平臺自媒體人的粉絲數(shù)不超過2.2萬的概率約為0.84135

10.已知拋物線C的方程為八=4%,F為焦點，。為坐標原點,S表示面積，直線心y=-

1）與拋物線交于48兩點，且4在第一象限，則下列說法正確的是（）

A.\AB\=^B.SMOF=2CC.S^AOF=<3D.\AF\=5

11.若函數(shù)/（乃=45譏（3%+3）（4>0,3>0,即|<9的圖象如圖，且C（4,-4）,

則下列說法正確的是（）

A.函數(shù)的周期為5

B.函數(shù)f(x)的對稱軸為無=1+3匕k&Z

C.函數(shù)f(x)在(一1,1)內(nèi)沒有單調(diào)性

D.若將/(x)的圖象向左平移a(a>0)個單位長度，得到的函數(shù)圖像關于y軸對稱，貝必的最

小值為1

12.如圖所示，在邊長為3的等邊三角形4BC中，AD=lAC,且A一

點P在以4。的中點0為圓心，。4為半徑的半圓上，若前=%赤+/\oj

:則二2一

A.BD=^BA+^BC\

B.而屈若

C.而?就存在最大值

D.%+丫的最大值為1+?

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.己知向量d=(3,，"可不=(二,一1)，定義沆③元=哥tan〈沆，元〉，則反⑤另=—.

14.己知6名同學國慶假期相約去珠海野貍島游玩，途中6名同學排成一排照相留念，若甲、

乙、丙3人互不相鄰，則不同的排法共有一種.

15.在平面內(nèi)，設一動點P到點尸1(一。2-4,0),尸2(。2+4,0)的距離差的絕對值等于2a(a>0),

若動點P的軌跡是曲線C,則曲線C的離心率的最小值為一.

16.己知母線AD的長為學的圓錐，其側(cè)面積為當，P是該圓錐內(nèi)切球球面上一動點，則方?

24

麗的最大值為一.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知等差數(shù)列中,a3=4,a4=+a2+a3,數(shù)列｛%｝的前n項和為Sn,滿足3Sn=2(bn-

1).

(I)求數(shù)列｛即｝,｛bn｝的通項公式;

⑺記”仁潞求數(shù)列?。那?。項的和入.

18.（本小題12.0分）

在圓內(nèi)接四邊形4BC。中，已知4C=C，CD=1,/.CAD=30°,N4DC為銳角.

（I）求44。。及4。的長；

（n）求四邊形48CD周長的最大值.

19.（本小題12.0分）

某商場對M、N兩類商品實行線上銷售（以下稱“4渠道”）和線下銷售（以下稱“B渠道”）兩

種銷售模式.M類商品成本價為（120元/件）總量中有40%將按照原價200元/件的價格走B渠道

銷售，有50%將按照原價8.5折的價格走4渠道銷售；N類商品成本價為160元/件，總量中有

20%將按照原價300元/件的價格走B渠道銷售，有40%將按照原價7.5折的價格走4渠道銷售,

這兩種商品剩余部分促銷時按照原價6折的價格銷售，并能全部售完.

（I）通過計算比較這兩類商品中哪類商品單件收益的均值更高（收益=售價-成本）；

（II）某商場舉行讓利大甩賣活動，全場M,N兩類商品走4渠道銷售，假設每位線上購買M,N

商品的顧客只選其中一類購買，每位顧客限購1件，且購買商品的顧客中購買M類商品的概率

為;.己知該商場當天這兩類商品共售出5件，設X為該商場當天所售N類商品的件數(shù)，丫為當天

銷售這兩類商品帶來的總收益，求y的期望E（y）,以及當P（X<n）S0.5（n€N”；hn可取的

最大值.

20.（本小題12.0分）

如圖所示的多面體由正四棱柱4BCD-aB1C1O1與正四棱錐P-48CD組合而成,與劣為

交于點0rPA=5,44=4,PO[=8.

（I）證明：平面PCB〃平面4。1。：

（H）求平面P4D與平面/AB夾角的余弦值.

21.(本小題12.0分)

已知橢圓C：，+5=l(a>b>0)的離心率為號，且過點P(2C,—，3).

(I)求橢圓C的標準方程；

(II)設Q為橢圓C上一動點，且Q不與頂點重合，M為橢圓C的右頂點，N為橢圓C的上頂點,

直線QM與y軸交于點E,直線QN與x軸交于點凡求|MF|?|NE|的值.

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(%)=伍%一mx+m,mG/?.

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若x6(1,+8),證明：1<3<代

(3)對于任意正整數(shù)n,(l+|)(l+^)-(l+^)<t,求t的最小正整數(shù)值.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：復數(shù)2=￡12-4+9-2"為純虛數(shù)，貝|“彥一4=0,解得。=一2.

故選：C.

根據(jù)純虛數(shù)的定義，得到方程組卜2,4=0,求解即可.

(Q—2W0

本題考查純虛數(shù)的定義，屬于基礎題.

2.【答案】B

【解析】解：集合A=(x\x2-2x-3<0}={x|-1<x<3),

B={x\—1<x<-m'],

若力nB=A,則AUB,

-m>3,解得m<-3,

則實數(shù)Tn的取值范圍為(一8,-3].

故選：B.

由力ClB=4得AUB,從而-mN3,由此能求出實數(shù)m的取值范圍.

本題考查集合的運算，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

3.【答案】A

【解析】解：因為tana=2,

所以l-3cos2a_sin2a+cos2a-3cos2a_sin2a-2cos2a_tan2a-2_22-2_1

sin2a2sinacosa2sinacosa2tana2x22

故選：A.

由已知利用同角三角函數(shù)基本關系式，二倍角的正弦公式化簡所求即可求解.

本題考查了同角三角函數(shù)基本關系式，二倍角的正弦公式在三角函數(shù)化簡求值中的應用，考查了

轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎題.

4.【答案】D

【解析】解：由圓c：(x+I)2+(y-3)2=r2(r>0),可得圓心C(-l,3),

:線段4B關于圓心對稱，.?.直線2x—y+r=0過圓心C(—1,3),

-2-3+r=0,解得r=5.

故選：D.

由題意可得直線2x-y+r=0過圓心，即可求解.

本題考查直線與圓的位置關系，屬基礎題.

5.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，加大投入后每年比前一年增加了相同額度的收益，故每年增加的收益為

(50—30)+2=10(萬元).

從2019年至2026年每年的收益分別為30、40、50、60、70、80、90、100萬元,

總收益=30+40+50+60+70+80+90+100=520(萬元).

故選：D.

根據(jù)題中條件先算出每年增加的收益，然后計算出從2019年至2026年每年的收益，最后算出總收

益即可.

本題考查函數(shù)模型的應用，屬于中檔題.

6.【答案】B

【解析】解：,?,函數(shù)f(x)=sin2x+2sinx,定義域為R,

???/(-x)=sin(—2x)+2sin(-x)=-(sin2x+2sinx)=—/(x),

即為奇函數(shù)，圖像關于原點對稱，排除AC,

當0cx<］時，sin2x>0.sinx>0,可得/'(%)>0,排除D.

故選:B.

判斷函數(shù)的奇偶性和對稱性，利用函數(shù)符號，結(jié)合排除法進行判斷即可.

本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，利用函數(shù)的奇偶性和對稱性，以及函數(shù)符號關系是解決本

題的關鍵，是基礎題.

7.【答案】A

【解析】解：若直線”與平面4BCD所成的角為45。，則點P的軌跡

為圓錐的側(cè)面與正方體的表面的交軌，

在平面4BB14內(nèi)，點P的軌跡為對角線4%（除掉4點，不影響）；

在平面4。。遇1內(nèi)，點P的軌跡為對角線4/（除掉4點，不影響）；

在平面內(nèi)是以點4為圓心2為半徑的3圓弧，如圖，

故點P的軌跡長度為c=兀+4V-2.

故選：A.

由題意易得點P的軌跡為圓錐的側(cè)面與正方體的表面的交軌，進而求解即可.

本題考查軌跡的長度的計算，屬中檔題.

8.【答案】C

【解析】解：因為a=%"=上磐=回變=埠,

e。e—

TTT

,lnV-6蜘6/n6

n=------=--=—，

336

_ln2_2ln2_Zn4

C=~2'=~=~，

所以令/0)=若則a=f(學，b=f(6),c=f(4),

尸,(x)=b--x-lnx=卡l-lnx

令/(%)=0得%=e,

所以在(0,e)上((x)>0,f(%)單調(diào)遞增，

在(6+8)上r(%)vo,/(%)單調(diào)遞減，

3

因為y>6>4>e，

3

所以/&)</(6)</(4)，

所以Q<b<C,

故選：C.

3(3—Zn3)3—/n3lne3-ln3Inx/-^(加6e6仇22ln2ln4人,,、Inx

[r-=H=F—=?，匕=誓===詈，c=^=丁=7，令/(%)=三

333

則a=/(。，6=/(6),c=/(4),求導分析單調(diào)性，即可得出答案.

本題考查導數(shù)的綜合應用，解題中需要理清思路，屬于中檔題.

9.【答案】AD

【解析】解：計算平均數(shù)為〃=*X(1.7+2.3+1.9+2.1+2.2+2.1+1.9+1.7+2.2+1.9)=

2.0,選項A正確；

計算方差為。2=^[(1.7-2,0)2+(2.3-2.0)2+(1.9-2.0)2+(2.1-2.0)2+(2.2-2.0)2+

(2.1-2.0)2+(1.9-2.0)2+(1.7-2.0)2+(2.2-2.0)2+(1.9-2.0)2]=0.04,所以標準差為°=

0.2,選項8錯誤；

因為10x25%=2.5,所以這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是第3個數(shù)據(jù)，為1.9,選項C錯誤；

因為X?N(2.0,0.22),且P(1.8<X<2.2)=0.6827,

所以P(X<2.2)=0.6827+jx(1-0.6827)=0.84135,選項D正確.

故選：AD.

根據(jù)題意計算平均數(shù)和方差、標準差以及百分位數(shù)和正態(tài)分布，再判斷即可.

本題主要考查了平均數(shù)與方差、標準差和百分位數(shù)和正態(tài)分布的應用問題，是基礎題.

10.【答案】AC

【解析】解：拋物線C的方程為f=4x,F(l,0)為焦點，。為坐標原點，S表示面積，直線/：y=

1)與拋物線交于4,B兩點、,

可得隹重(”一1)，解得做3,20,B.,-浮)，

所以|陰=3+升2=學所以4正確；

SFOF=；x1x27"耳=，耳，所以B不正確；C正確；

|4尸|=1+3=4.所以。不正確.

故選：AC.

聯(lián)立直線與拋物線方程，求解4B坐標，然后求解判斷選項的正誤即可.

本題考查直線與拋物線的位置關系的應用，拋物線的簡單性質(zhì)的應用，是中檔題.

11.【答案】BD

【解析】解：根據(jù)函數(shù)/■。)=〃譏(3刀+3)04>0,3>0,取<勺的圖象，且8(0,務C(4,—4),

可得/simp=pBPsintp=j,(p=*

再根據(jù)五點法作圖，可得3X4+3=￥，=.?.f(x)=As勿(卜+?

6/5>5O

27r

可得函數(shù)的的周期為〒=6,故A錯誤：

3

令為尤+,=卜兀+看kez,求得x=l+3k,kez,

故函數(shù)f(x)的對稱軸為久=l+3k,kez,故B正確；

當xe(Tl),舞+江(一泊)，函數(shù)f(*)單調(diào)遞增,故C錯誤；

若將/(x)=Asin/x+弓)的圖象向左平移a(a>0)個單位長度，

得到的函數(shù)、=配出++累+*的圖像關于y軸對稱，則a的最小值為1,故。正確，

故選：BD.

由特殊點B求出仍由五點法作圖求出3的值，可得/(乃的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，

得出結(jié)論.

本題主要考查由函數(shù)、=45勿(3%+9)的部分圖象求解析式，由特殊點求出方由五點法作圖求出

3的值，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題.

12.【答案】ABC

【解析】解：對于選項4-??AD=|AC,且點P

在以4D的中點。為圓心，。4為半徑的半圓上，

OA=OD=DC=累酊

BD=BC+CD=BC+^CA=BC+^(BA-

就)=g或+：前，故A正確；

對于選項8,"'Bd=BC+CO=JC+^CA=

品+'畫-硝=灑+g前,

.-.BD-BO=(^BA+1BC)-(^BA+=沏?+濟②+油.BC=2+2+X3X3XJ=

o3o3y7y7L

故B正確；

對于選項C,以點。為原點建立平面直角坐標系，如圖所示：

則4(一1,0),浮)，C(2,0),

???點P在以4。的中點。為圓心，。4為半徑的半圓上，

.?.點P的軌跡方程為/+y2=1,且在x軸的下半部分，

i^P^cosa,sina),aG[n,2n],

則前=(cosa-g,s譏BC=(1,-=(-1.-?

???RP?BC=fcosa—7一^^sina+鄉(xiāng)=3cos(a+力+6，

又“aG[TT,2TT])a+G[與,與],

.?.當a+g=2兀時，前?正取得最大值9,故C正確；

對于選項。，?.?前=x瓦？+y^,

13y/~333yf~3

???(cosa--,sina---)=(--(%-y),----(x+y))>

sina----.------(%+y)，

2V~3.,1

??xy-sITICL+1，

又aG[TI,2n],

.??當。=當時，》+丫取得最大值等+1,故/)錯誤.

故選：ABC.

對于4B,將前，前分別用瓦《近表示，再結(jié)合數(shù)量積的運算律即可判斷；對于CD,以點。為原

點建立平面直角坐標系，設P(cosa,s譏a),a6[兀,2兀],根據(jù)平面向量的坐標表示及坐標運算即可

判斷.

本題主要考查了平面向量基本定理，考查了平面向量數(shù)量積的運算和性質(zhì)，屬于中檔題.

13.【答案】3

【解析】解：?.?蒼=(3,C),b=(^,-1)，

???|a|=V9+3=2c,|瓦=2，a-b=2「，

,、五*b2V-31T7,7*「ci

COS<6>=麗=可而=5,又<a，b>e[O.TT],

—?Jf

,<a,b>=

a?K=^tan<a,b>=^-XyT3=3.

\b\，

故答案為：3.

根據(jù)向量的模的定義，向量夾角公式，即可求解.

本題考查向量的模的定義，向量夾角公式，屬基礎題.

14.【答案】144

【解析】解：先將除甲、乙、丙3人外的另外三個人排成一排，再將甲、乙、丙3人插入到已經(jīng)排

好的三個人形成的四個空中，

共有國&=6x4x3x2=144種.

故答案為：144.

利用插空法可求出結(jié)果.

本題考查不相鄰的排列問題，屬于基礎題.

15.【答案】2

【解析】解：在平面內(nèi)，設一動點P到點尸式―。2-4,0),尸2(。2+4,0)的距離差的絕對值等于2a(a>

0)，

可得曲線的離心率為：e=-=a+->2,當且僅當a=1時，取等號，

aa

所以曲線C的離心率的最小值為2.

故答案為：2.

列出離心率的表達式，利用基本不等式求解最小值即可.

本題考查雙曲線的離心率的求法，基本不等式的應用，是基礎題.

16.【答案】J

O

【解析】解：設圓錐底面圓心為C,半徑為r,該圓錐內(nèi)切球球心為0,

作出過母線的軸截面ZBD,如圖所示，

?1皿=?,且圓錐側(cè)面積為拳

?.y/~6nr37r

.-.Trr\AD\=^-=—，

r=.?.圓錐底面直徑|BC|=?，

???△4BD為正三角形，.?.大圓。切4D于中點E,

設E。交大圓于點F,

又易知|4E|=?，球的半徑R=\0C\=：|AC|=1Xy/~3r=

(2PF)2=(PA+而尸，(DA)2=(PA-而產(chǎn)，.?.兩式相減可得極化恒等式：

PA-PD=-\AE\2=\PE\2-l<\EF\2-f=4/?2-^=i,

oooo

二巨鼠而的最大值為

o

故答案為：上.

設圓錐底面圓心為C,半徑為r,該圓錐內(nèi)切球球心為。，作出過母線4。的軸截面48。，根據(jù)題意

易得「=岑，從而得AAB。為正三角形，且大圓。切4D于中點E,最后再利用向量極化恒等式，

即可求解.

本題考查圓錐的內(nèi)切球問題，向量數(shù)量積的最值的求解，極化恒等式的應用，屬中檔題.

17.【答案】解:(I)由題意，設等差數(shù)列的公差為d,

則=%+2d=4

'」［QI+3d=%+a】+d+4’

整理，得陰沈二

解得｛建2°，

???an=0+2?(n-1)=2n—2,neN*,

當n=1時，3bl=3sl=2(瓦—1),解得瓦=—2,

當nN2時，由3Sn=2(b”-1),

可得3Sn_i=2(bn_i-l),

兩式相減，可得3%=2(%-1)-2(%-1-1),

整理，得b=-2%-1，

???數(shù)列｛'｝是以-2為首項，-2為公比的等比數(shù)列，

1n

bn=-2-(-2)"-=(-2),neN*.

bi，n為奇數(shù)(一2)nm為奇數(shù)

(H)由(I)可得，cn=

.即,n為偶數(shù)2n—2,n為偶數(shù)'

則720=G+C2+C3+C4+…+。19+C20

=+(^2+匕3++…+人19+。20

=(-2)1+2+(-2)3+6+“+(-2)19+38

=[(—2)1+(—2)3+…+(-2)19]+(2+6+1,1+38)

_(-2尸-(-2)21,10x(2+38)

-_1-(-2)2-2

221-2

=^-j^+200

_221+598

=-3

【解析】(I)先設等差數(shù)列也"的公差為乙再根據(jù)題干已知條件列出關于首項的與公差d的方程

組，解出的與d的值，即可計算出等差數(shù)列的通項公式，對于數(shù)列｛%｝，先將n=l代入題干

表達式計算出瓦的值，當7122時，由3S”=2(b—1),可得3Sn_i=2(勾_1-1),兩式相減進一

步推導即可發(fā)現(xiàn)數(shù)列｛bn｝是以-2為首項，-2為公比的等比數(shù)列，計算出數(shù)列｛%｝的通項公式；

(H)先根據(jù)第(I)題的結(jié)果計算出數(shù)列｛cn｝的通項公式，再運用分組求和法，等差數(shù)列和等比數(shù)列

的求和公式即可計算出前20項的和5。.

本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本運算，以及數(shù)列求和問題.考查了方程思想，分類討論，

轉(zhuǎn)化與化歸思想，分組求和法，等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式的運用，以及邏輯推理能力和數(shù)

學運算能力，屬中檔題.

18.【答案】解：(1)在4力。。中，AC=CD=1,/.CAD

余弦定理可得CD?=AC2+AD2-2AC-AD-cos^CAD,

即1=3+業(yè)―2xxADx號，

整理可得：AD2-3AD+2=0,可得40=1或4。=2,

當皿=1時，由余弦定理可得3/加=喻/=呆＜。，可W為鈍角，與題意

相矛盾,

當4。=2時，AD2=AC2+CD2,所以乙4CD=*^ADC=p符合條件,

所以=*AD=2；

(I【)由四邊形ABC。為圓內(nèi)接四邊形，^ADC=J,所以/4BC=,7T,

DS

2

在4ABC中，由余弦定理可得心=AB2+BC2-2AB-BC-cosB=(AB+BC)-2AB-BC+

AB-BC=(AB+BQ2-AB-BC>(AB+BC)2-(失照、=

當且僅當AB=BC時取等號，所以4B+BCSJ”=2,

所以四邊形的周長的最大值為2+1+2=5,

即四邊形力BCD的周長的最大值為5.

【解析】(I)在△￡￡)中，由余弦定理可得4。的值，再由UDC為銳角，確定4。的值，再由勾股

定理可得乙4DC的大??；

(H)由圓內(nèi)接四邊形可得B角的大小，再由余弦定理及均值不等式可得AB+BC的最大值，進而求

出四邊形4BCD的周長的最大值.

本題考查余弦定理及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)的應用，均值不等式的應用，屬于中檔題.

19.【答案】解：(I)設M類服裝，N類服裝的單件收益分別為X1元，X2元,

則E(Xi)=0.4X200+0.5x200X0.85+0.1X200X0.6-120=57,

Eg=0.2x300+0.4x300x0.75+0.4x300x0.6-160=62,

E(Xi)<E(X2),故N類服裝單件收益的期望更高；

(II)由題意可知，X?B(5,6,丫=(200X0.85-120)(5-X)+(300x0.75-160)X=250+

15X(元)，又E(X)=5X*=M

所以E(Y)=E(250+15X)=250+15E(X)=306.25(元),

P(X=0)=x(i)5=盛,P(X=1)=禺x(令ix@)4=羲,

P(X=2)=《x?2x(護=焉,P(X=3)=髭x(令3x(I)2=

P(X=4)=《x(》x(1=薇,P(X=5)=旗x號》x(；)。=急

mv/八1+15+90+270376_仁、376405781_

因為P(X<4)=—=,<0n5P(Xv<5)=,+,=嗝>0n.5,

所以當P(X<n)W0.5(n€N)時，n可取的最大值為4.

【解析】(I)結(jié)合期望公式由單件總盈利減去成本即可計算：

(II)由題知N類服裝的銷售件數(shù)符合二項分布，求出對應P(X=O),P(X=1),……，P(X=4)的

值，可確定n的最大值；先列出這5件衣服總收益關丁X的關系式，得Y=250+45X,結(jié)合E(Y)=

E(250+45X)化簡即可求解.

本題考查了二項分布和離散型隨機變量的期望計算，屬于中檔題.

20.【答案】證明：(/)多面體由正四棱柱ABCD-AiBCA與正四棱錐

P—4BCD組合而成，

力1G與8山1交于點OrPA=5,A&=4,P0i=8,

A?1BR,POi1平面為B1GD1，0遇1=%Bi=3,4/i=

以。1為坐標原點，。通1所在直線為x軸，OiBi所在直線為y軸，0P所在

直線為z軸，建立空間直角坐標系，

P(0,0,8),C(-3,0,4),B(0,3,4),4(3,0,4),。式0,0,0),。(0,—3,4),

PB=(0,3,-4),PC=(—3,0,—4),帝=(3,0,4),布=(0,—3,4)，O^D=(0,-3,4)，

設平面PCB的法向量為元=(x,y,z),

則n-PB=3y-4z=0,取芯=%得元=(4,—4,—3),

元?PC=-3%—4z=0

設平面的法向量沆=(a,b,c),

m-0A=3a4-4c=0田，/口一一“一、

則A,取Q=4,得訪=(4,-4,一3),

jn?01D=-3b+4c=0

?.,訪=元，二平面PCB〃平面ARD；

解：(II)pX=(3,0,-4),PD=(0,-3,-4).

OM=(3,0,4),布=(0,3,4),

設平面PAD的法向量為若=(Xi，yi，Zi),

-PA=3%i—4Z]=0

則0,取的=4,則近=(4,—4,3),

.n7-PD=—3y1—4z1=

設平面014B的法向量為荻—(%2，y2，Z2)，

nJ-OA=3X+4Z=0

則r22取久2=4,得底=(4,4,-3),

n^-OrB=3y2+4z2=0

設平面PAD與平面夾角為

則平面PAD與平面OiAB夾角的余弦值為:

I可無I99

cosO=而訐而-—41-

【解析】(/)以。1為坐標原點，014所在直線為%軸，3B1所在直線為y軸，。$所在直線為z軸,

建立空間直角坐標系，利用向量法能證明平面PCB〃平面4。1。：

(H)求出平面的法向量和平面。遇B的法向量，利用向量法能求出平面P4D與平面0p4B夾角的

余弦值.

本題考查了面面平行的證明和二面角的計算，屬于中檔題.

21.【答案】解：（1）由0=￡=^^，二a=V~^C，［=2,2,二爐=C?,二=2￡）2,

a2

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