2023年經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)形成性考核冊(cè)及參考答案13

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)形成性考核冊(cè)及參考答案

作業(yè)(一)

(三)解答題

1.計(jì)算極限

..x~—3x+2(x—2)(x—1)..x—2

lim----------------=lim--------------------=lim----------

1x-1—1(x-l)(x+D-I(x+1)2

..x~—5x+6(%—2)(無(wú)一3)x-3

(2)lim-.................=hm-------------------lim

12廠一6*+8(x—2)(x—4),v->2U-4)2

rJl—X—1..(V1—X——X+1)

(3)lim------------=lim------------===--------------

a。xs。xCV1TTx+l)

-

「X~11

=lim=------=lim―--------------=——

1。1+1)1°(VtPx+1)2

,35

、1--------1------

rx~-3x+5..%1

(4)lim—z--------------=lim——~^―

l/3x'+2x+4x-sQi2?43

JH------1-----

sin3x5xsin3x33

(5)lim--------=lim-----------------=—

fsin5x53xsin5x55

八rX2-4「(x-2)(x+2)，

(6)lim--------------=hm---------------------=4

A->2sin(x-2)tsin(x-2)

xsin—+0,x<0

x

2.設(shè)函數(shù)/(x)=<a,尤=0,

sinx,、

-------x>0

x

問(wèn)：(1)當(dāng)為什么值時(shí)，/(x)在x=0處有極限存在？

(2)當(dāng)。/為什么值時(shí)，/(x)在犬=0處連續(xù).

答案：(1)當(dāng)6=1,“任意時(shí),/(x)在x=0處有極限存在;

(2)當(dāng)。=人=1時(shí)，/(x)在x=0處連續(xù)。

3.計(jì)算下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分：

2f2

(1)y=x+2+log2%-2,求y，

1

答案：y'=2x+2'ln2+

xln2

“、ax+b七,

⑵y=----;，求

cx+d

,a(cx+d)-c{ax+b)_ad-cb

答案:y

(cx+d)(cx+d)

(3)y=-/1,，求y'

V3x—5

1---3

答案：y=]=(3%-5)2y=J一

J3X-521(3X-5)3

(4)y=?xe',求y'

答案：V=—產(chǎn)一(x+l)e”

2ylX

(5)y=eaxsin/?x,求dy

答案：y'=(eav)"sinbx+em(sinbx)f

oe"sin〃x+e""cosbx-h

=eilx(asinbx+bcosbx)dy=e(,x(4Zsin+Z?cosbx)dx

6)y=ex+xjx，求dy

答案：dy=eA)dx

(7)y=cosVx-v,求dy

"4i，-_r2sinJx、，

答案:dy=(2xe-----=—)dx

2vx

(8)y=sin"x+sin〃x,求y'

答案:y'=〃sin〃7xcosx+cosnxn^n(sinn~}xcosx+cosnx)

(9)y=ln(x+71+x2)，求yr

y'=——J^=(x+71+x2y=——；^=(1+-(1+X2p2x)=——i=(1+-7^.)=^=1=

222

X+Vl+XX+71+X2x+Jl+%2y/l+xJl+42

2'"、In21--1--

答案:y=~華2+；》6

2?126

xsin一

x

4.下列各方程中y是x的隱函數(shù)，試求或由，

⑴/+y2-孫+3x=l,求dy

答案:解:方程兩邊關(guān)于X求導(dǎo)：2x+2yy'-y-孫'+3=0

dy=y~3~2xdx

(2y-x)y'=y-2x-3,

2y-x

(2)sin(x+y)+exy=4x，求y'

答案:解:方程兩邊關(guān)于x求導(dǎo)cos(x+y)(l+y')+e盯(y+xyr)=4

(cos(x+y)+exyx)yf=4-yexy-cos(x+y)

，—4-yexy-cos(x+y)

xexy+cos(x+y)

5.求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：

(1)y=ln(l+x2),求yn

2-2x2

答案:y〃=

(1+x2)2

J—x

（2）y=一，求及y"⑴

3--1--

答案:=2+-x2,y〃⑴=1

44

作業(yè)（二）

（三）解答題

1.計(jì)算下列不定積分

⑴任匕

3V

x5+c

答案:J二=J()dx

In-

e

JVx

依夫「(1+x)/r(l+2x+x“)c-]

答案：I—j=—dbr=I-------j=-------dx=I(x+2x?+X")dx

JVxJJxJ

L4329

=2vx+—x2+—x2+c

35

(3)f￡_zidv

Jx+2

答案：----Ax=f(x-2)dx=-x2-2x+c

Jx+2J2

(4)[―--dx

3l-2x

答案：J占占d(l-2x)Tln|l-2卅+c

1N人乙1,乙人乙

(5)jxy/2+/dx

ij2i3

答案：jx^2+x2dx=-jV2+x2d(2+x)=-(2+x2)^+c

(7)Jxsindr

答案：jxsin'|dx=-2jxdcos：dx

=—2xcos—+2[cos—dx=-2xcos—+4sin—+c

2J222

(8)[ln(x+l)dr

答案：jln(x+l)dr=jln(x+l)d(x+l)

=(x+l)ln(x+l)-J(x+l)dln(x+l)=(x+l)ln(x+l)-x+c

2.計(jì)算下列定積分

(1)JJl-jr|dx

2

答案：J'|l-x^Lr=￡(l-x)d.x+j|'(x-l)dx=(x-^x)|!.1+(；/-

乙乙乙

d-=-=e-Ve

x

3

fe1

?e31fe'1—

答案:—,dr=[.d(l+]nx)=2(1+lnx)2；'=2

'xVl+lnxJl+lnx

(4)JJxcos2Adx

/1r-1nT

答案:2xcos2jdx=-12xdsin2x=—xsinlx2sin2xdx=~-

o2Jo2002

e

（5）rxlnxdx

1jjnAdx2=g/In#一1x=;@+1)

答案:xlnxdx=—n

12

/?4

(6)[(l+xe-A)dx

Jo

x

答案:J；(l+xe~-xde'=3-xe~1:+[產(chǎn)出=5+5「

作業(yè)三

三、解答題

1.計(jì)算

-21011-2

(1)

531035

021100

⑵

0-30000

3

0

(3)[-1254[0]

-1

2

123-124245

2.計(jì)算-122143610

1-3223-13-27

123-1242457197245

解-1221436107120610

1-3223-13-270-4-73-27

5152

=1110

-3-2-14

23-1123

3.設(shè)矩陣人=111,B=112求|A小

1J[o11

0-1

解由于|蝴=|小同

23-12

22

同=1II112=(-1產(chǎn)(一1)[2=2

0-110-10一

123

|B|=11-1=0

011

所以0=網(wǎng)|耳=2x0=0

124

4.設(shè)矩陣A=221,擬定4的值，使r(A)最小。

10

答案

「124]124124124

(2)+(l)x(-2)7

2210A-4-7(2)(3)0—1—4⑶+6”0—1—4

9

110—~~Lo-1-4_04—4-702--0

4

9

當(dāng)；I='時(shí),r(A)=2達(dá)成最小值。

4

-2-5321'

5-8543

5.求矩陣A—的秩。

1-7420

4-1123

答

-2-5321'-1-74201-7420

(2)+(l)x(-5)

5-85435-8543027-15-63

案：A=⑴⑶(3)+(l)x(-2)

1-74202-532109—3—21

(4)+(l)x(-4)

4-11234-1123027-15-63

1-7420

⑶+(2)x(—g)027-15—63

r(A)=2。

00000

(4)+(2)x(-l)00000

6.求下列矩陣的逆矩陣:

1-32

(1)/1=-301

11-1

答案

1-321001-32100

(2)+(1)x3

(A/)=-3010100-97310

⑶+(1)x(7)

11-100104-3-101

1-321001-32100-

⑵+⑶x20_](3)+(2)x4

11120-11112

一04-3-101001349

(2)+(3)x(—l)：0-5-8-181-3()113

(2)x(-l)

0-2-3-7010237

⑴+(3)x(—2)⑴+⑵乂⑶

1349001349

113

A-1=237

349

-13-6-3

(2)A=-4-2-1

211

答案

-13-6-3100-1001-30

(A/)=-4-2-1010->-4-2-1010

211001211001

-1001-30--1001-30

(2)+(3)X2

目視%->001012>0112-61

0112-61()01012

100-130'-130-

(2)+(3)(-1)

~~>0102-7-1A1*3=2-7-1

000012012

1212

7.設(shè)矩陣A=,B=，求解矩陣方程X4=B.

3523

1210121010-5210-52

(A/)=1⑵+6x(-3)(D+(2)X2(2)x(-l)

3500-1-310-1-31013-1

10

-52X=BAtx=

3-1-11

四、證明題

1.試證:若與，層都與A可互換，則用+%,片房也與A可互換。

證明：(4+4-B),

B2)A=B1A+B2A=ABX+AB2=2

BlB^A=BiAB2—AB}B)

2.試證：對(duì)于任意方陣A,A+AlAALATA是對(duì)稱(chēng)矩陣。

提醒證明

(A+AT)T=Ar+(AT)r=AT+A=A+AT,(A4T)'1'=(AT)rAT=A4T,(ATA)T=AT(Ar)r=ATA

3.設(shè)A,6均為w階對(duì)稱(chēng)矩陣，則AB對(duì)稱(chēng)的充足必要條件是:AB=BA.

提醒:充足性:證明：由于AB=AV.（AB）T=8A=

必要性:證明:由于AB對(duì)稱(chēng)，A8=（AB）T=84,所以=

4.設(shè)A為”階對(duì)稱(chēng)矩陣.8為〃階可逆矩陣，且STUB"證明是對(duì)稱(chēng)矩陣。

證明：（斤飛臺(tái)尸UBTA[BT），（Bry=B-'AB

作業(yè)（四）

三、解答題

1.求解下列可分離變量的微分方程:

(1)

_.dy「y

答案：1~Je-ydy=\exdx-e=e+c

dx

⑵曳T,

dr3y~

答案:J3y2辦=Jxe'dxy3=xex-ev+c

2.求解下列一階線性微分方程:

2

(1)/___y=(x+1)3

答案p(x)=...-,^r(x)=(x+l)3,代入公式得

X+1

y=Jk[j(x+l)3e」Jdx+c=e2ln(v+,,|j(x+l)V-2,n(t+l)^x+c]==e2ln(v+l)|j(x+\)\x+\y2dx+c\

y=(x+l)2(^x2+x+c)

(2)yf——=2xsin2x

x

114.-J%

答案：p(x)=——,q(x)=2xsin2x，代入公式得y=2xsin2xexdx+c

x

=elnv[j2xsin2xe"dx+c]

2xsin2x1^+cl-Jfsin2M2x+cl

y-x(-cos2x+c)

3.求解下列微分方程的初值問(wèn)題:

(1)y=e2x-\y(0)=0

答案：蟲(chóng)=e2*e-，e2xdx,ev=ge2,+c,把y(0)=0代入

e°-e°+c,c

dxJe'dkJ2

y

2，e

22

(2)xy'+y-ex=0,j(l)=0

,1eP(X)=：,Q(X)e

答案y+一y代入公式耨

?x-X

-f-drdx

\^dx+c1

y=eJxS'dx+cc，把y⑴=0代入y=—(e、+c),C=

JXXxx

1/X、

e，y=-(e-e)

X

4.求解下列線性方程組的一般解:

x1+2X3-x4=0

(1)<—玉+Xj—3犬3+2%=0

2xj—9+5%3-3%=0

答案：尸|一一2七+，（其中項(xiàng),乙是自由未知量）

—=Xc-X,

102-1102-102-1

A=-11-32-?01-11-01-11

2-15-3J|_0-11-1J10000

所以，方程的一般解為

x--2X+x

t34（其中西,乙是自由未知量）

-x2+x3+x4=1

(2)〈X]+2X2-X3+4X4=2

x,+7X2-4X3+1lx4=5

答

~2-1111]2-142'-12-14

(2)+(l)x(-2)

(Ab)==12-142(—11110-53-7-3

17-4115」⑶+⑴x(—1)

7-4115__05-374

-

5

案：10--

-12-142-12-142一3

5f-

33.5

0-53-7-3(2)x(—；)0-L01——-0

(3)+(2)555(l)+(2)x(-2)5f

0000000000000(

64

-產(chǎn)+y

（其中為,九2是自由未知量）

73

---九4+-

55

5.當(dāng)X為什么值時(shí)，線性方程組

5X+4X=2

xt-x2-34

2X13X-x=1

-x2+34

3X[-2X2—2X3+3X4=3

5X-9X+10X=2

7xt-234

有解,并求一般解。

1-1-5421-1-542

(2)+(l)x(-2)

2-13-110113-9-3

(Ab)=⑶+(1)x(-3)

3--2-2330113-9-3

(4)+(l)x(-7)

7--5-910)乙NU-JLO/L-1H-

一I

1-1-512'.108-5-1

答案,(3)+(2)x(—l)0113_(J-3(D+G?)0113-9-3

(4)+(2)x(-2)000)000000

0000A-800002-8