多元函數(shù)微分學地幾何應用

多元函數(shù)微分學的幾何應用內(nèi)容要點：一，求空間曲線的切線與法平面設空間曲線為則過曲線上點的切線方程為法平面方程為1求曲線在點處的切線方程與法平面方程.2求曲線在處的切線方程與法平面方程.3求曲線在處的切線方程與法平面方程.二，求曲面的切平面與法線方程設曲面方程為，則過曲面上點的切平面方程為法線方程為==例題例1求曲線在點處的切線方程與法平面方程.解：因為，而點對應的參數(shù)值，所以過該點切線的方向矢量為切線方程為法平面方程為即例2求旋轉(zhuǎn)拋物面在點處的切平面方程與法線方程.解：令,于是，在點處的切平面法矢量為切平面方程為即法線方程為練習題1,求曲線在點處的切線與法平面方程.2,求曲線在處的切線與法平面方程.3,求曲面在點(2,1,0)處的切平面方程和法線方程.4,求曲面在點處的切平面方程和法線方程.5,求曲面在點處的切平面方程和法線方程.[答案：1,2,3,4,5,二元函數(shù)極值內(nèi)容要點：一，求函數(shù)極值的一般方法：1先求駐點解下列方程組可得駐點2判斷駐點是否為極值點，是極大點還是極小點先求出再判斷(1)若,則在處有極值.且極大；極小.(2)若,則在處無極值.(3)若,則不定.對于應用問題，若有唯一駐點，則在該駐點處的函數(shù)值就是函數(shù)的最大（?。┲?二，用拉格朗日乘數(shù)求極值若要求函數(shù)在滿足約束條件下的極值點，可用拉格朗日乘數(shù)法：令解方程組解得的解便是極值點.三，求應用問題中的最大值與最小值主要步驟：1根據(jù)問題的目的寫出目標函數(shù)2根據(jù)問題的條件寫出約束條件;3利用拉格朗日乘數(shù)法，求得唯一極值就是最值.例題例1求函數(shù)的極值.解：解方程組解得駐點為再求二階導數(shù)于是，在(1,0)點處，,故函數(shù)在點處有極小值在(1,2)點處，,故函數(shù)在點(1,0)處沒有極值.在點處，,故函數(shù)在點處沒有極值.在點處，,故函數(shù)在點處有極大值例2某廠要用鐵板做成一個體積為2的有蓋長方形水箱，問當長、寬、高取怎樣尺寸時，可使用料最省.解：設水箱的長、寬、高分別為,由題意可知,即所用材料，即水箱的表面積解方程組[此時，高]可見，有唯一駐點().故當水箱長、寬、高均為時，用料最省.例3用拉格朗日乘數(shù)法解例2中的問題.解：設水箱的長、寬、高分別為.目標函數(shù)為水箱表面積，即,約束條件為于是，令=解方程組可見與例2結(jié)果相同.練習題1,求函數(shù)的極值2,求函數(shù)的極值3,求函數(shù)的極值4,求函數(shù)的極值5,求函數(shù)在條件下的極值.6,求函數(shù)在條件下的極值7,要造一個容積等于定數(shù)的長方體無蓋水池，應如何選擇水池的尺寸，方可使它的表面積最小.8,斜邊長為的一切直角三角形中，求有最大周長的直角三角形的直角邊的邊長.9,把正數(shù)分成三個正數(shù)之和，使它們乘積最大.10,在平面上求一點，使它與點和點的距離平方和為最小.11,求點到曲面的最短距離.[答案：1,極大.2,時，極