博弈論9p mixed nash equilibrium existence theorem如果沒有純策略最佳應(yīng)對(duì)組合

MixedStrategyandNash

參與人參與人參與人參與人11

-11,---1,

參與人

5《論語·9參與人布0,1,0,參與人0,0,1,布1,0,0, )或( ,正

–無論參與人1選擇哪個(gè)純策略，參與人2

策略均衡不存在1.1.C節(jié)所定義的均衡。

G={S1,····,Sn;u1,····,Sii 動(dòng)；例如，在猜硬幣的博弈中，Si包含兩個(gè)純策略：正面與背面。參與人i的一個(gè)混合策略是在其策略空間Si中的（一些或

在進(jìn)行觀察或試驗(yàn)前，我們不能一個(gè)具體的會(huì)出現(xiàn)。我們可以判斷哪些有可能出現(xiàn)，并且能預(yù)測每一個(gè)出現(xiàn)的可能性大 樣本空間：Ω={ωω,…,試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的所有基本結(jié)果ωi由基本結(jié)果組成，是樣本空間的子集。如果在試驗(yàn) 中的一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)了,就 A發(fā)生概率分布就是將總概率P(Ω)＝1分解到所有可能的樣本點(diǎn)

參與人參與人q參與人參與人q-1---1舉例S2包含兩個(gè)純策略即正面和,因此參與人2

參與人2的一個(gè)混合策略為概率分布q,r,1-q-rq表示選左的概率，r表示選中的概率，1q–r表示選右的概率。和前面一樣，0<q<1,并且還應(yīng)滿足0<r<1和0<q+r<1?；旌喜呗?式對(duì)于混合策略，樣本空間對(duì)應(yīng)行動(dòng)集合。被某一混合策略賦予非零概率的純策略構(gòu)成該混合策略的支撐集。

1q),其中q為正面朝上的概率，1q率,并且0<q<

混合策略(01)策略類似地混合策略(1,0)是正

參與人左參與人左中右上1,1,0,參與人下0,0,2,圖略(10.0) 一般地，假定參與人i有K個(gè)純策略：Si={si1,…,siK}參與人i的一個(gè)混合策略是一個(gè)概率分布(pi1,…,piK),其中piK表示對(duì)所有k=1,…,K,參與人i選擇策略sik的概率，由于pik是一個(gè)概率，對(duì)所有k=1,…,K，有0≤pik≤1且pi1++piK=1。我們用pi表示Sisi表示Si內(nèi)任意定義對(duì)策略式博弈 ，假設(shè)Si={si1,…,siK}。那么，參與人i的一個(gè)混合策略為概率分布pi=(pi1,…,piK)，其中對(duì)所有k=1,…,K，0≤pik≤1，且pi1++piK=1

參與人參與人q-1,參與人參與人q-1,1,-1,--1,例如假設(shè)參與人1相信參與人2會(huì)以q的概率選正面，以1-q的概率選背面；也就是說，1相信2的混合策略是(q,1-q)。稱這種對(duì)局中人行為的看法或推測為信念 何推斷(q,1-q)，1的最優(yōu)反應(yīng)是要么是T(當(dāng)q1/2)，要么是M(當(dāng)q1/2),但不會(huì)是B，雖然T或M并不嚴(yán)格優(yōu)于B概率選M，則1的期望支付是3/2

參與人L參與人LR1-T3,0,參與人M0,3,B2,2,參與人LR1-T3,參與人LR1-T3,0,參與人M0,3,B1,1,

si的策略”時(shí)，混合策略所起的

Figure1.3

參與人qr-1,1,-參與人qr-1,1,-1,--1,支付是（1-2r）；給定行關(guān)于列的信念（q1-（1-2r)×q+(2r-1）×(1-記號(hào)：對(duì)[0,1]上任意的q，計(jì)算r的最優(yōu)值,用r*(q)表示。那么，當(dāng)(q,1q)時(shí)，參與人1的最優(yōu)反應(yīng)記為r*,1r*)。

1q1qr-1,1,-1,--1,行的反應(yīng)策略：(r,1-r求解r*(q當(dāng)列的混合策略為(q,1-q)時(shí)，行選擇(r,1-r)（1-2r）×q+（2r-1）×（1-q）=（2r–1)(1-r*(q)=argmax4(r-1/2)(1/2-

是(q,1-q)與(r,1-r)

1qr-1,1,-1-1,--1,1qr-1；r1；r?1qr-1；r1；r?(1-1--1;(1-r)?(1--1?(1-r)?(1-r*(q)=argmax4(r-1/2)(1/2-

這里，因?yàn)榇嬖谝粋€(gè)q，使得r*(q)有不止一個(gè)值，我們稱r*(q)對(duì)參與人1的策略(r,1-r)，參與人2的最優(yōu)反應(yīng)是(q*(r),1-q*(r)),q*(r)=argmax4(q-1/2)(1/2-列的策略:(q,1-q)行的策略:(r,1-r rr*(q)=argmax4(r-1/2)(1/2-1當(dāng)q=1/2時(shí)，行的期望支付4(r-1/2)(1/2-q)與r無關(guān)，即“行的所有混合策略1-r都是無差異的”?；蛘哒f，當(dāng)q=1/2時(shí)，對(duì)于0到1之間的任何，1-r)都是(q,1-q)的最優(yōu)反應(yīng)。 –如果參與人i的策略是(1/2,1/2)，則參與人j的最優(yōu)反應(yīng)是(1/2,1/2)圖1

混合策 均衡:兩人博定義.在兩個(gè)參與人策略式博弈G={S1,S2;u1u2}中，混合策略(p*,p*)是均衡的充要條件為：每一參與人的混

–(Opera,Opera)和(Fight,Fight)都

r,1-r)=(2/3,1/3)和(q,1-q)=(1/3,2/3)是一個(gè)納qr2,0,0,1,參 ––（O，F(xiàn)）與（F，O）發(fā)生2/9=2222%JohnNash,“Equilibriumpointsingames,”oftheNationalAcademyofSciences,36(1950),48-在一個(gè)n人策略式博弈中，如果參與人的數(shù)量以及