線性空間的概念維數(shù)基與坐標(biāo)演示文稿

當(dāng)前第1頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)優(yōu)選線性空間的概念維數(shù)基與坐標(biāo)當(dāng)前第2頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)個(gè)元素與之對(duì)應(yīng),稱為與的和,記作記作若對(duì)于任一數(shù)與任一元素,總有唯一的一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng),稱為數(shù)

與的積,定義

1

設(shè)是一個(gè)非空集合,為一數(shù)域，如果對(duì)于任意兩個(gè)元素,總有唯一的一當(dāng)前第3頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)如果上述兩種運(yùn)算滿足以下八條運(yùn)算規(guī)律

(

設(shè))：,)4(使的負(fù)元素都有對(duì)任何,,)3(都有對(duì)任何中存在零元素在V當(dāng)前第4頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)那么,就稱為數(shù)域上的線性空間(或向量空間),中的元素稱為向量(或元).當(dāng)前第5頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)

2.向量空間中的向量不一定是有序數(shù)組．

3.一個(gè)集合,對(duì)于定義的加法和數(shù)乘運(yùn)算不封說(shuō)明

1.

能滿足以上八條規(guī)律的加法及數(shù)乘運(yùn)算,稱為線性運(yùn)算．閉,或者運(yùn)算不滿足以上八條規(guī)律中的任一條,則此集合就不能構(gòu)成線性空間.當(dāng)前第6頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)

(1)

一個(gè)集合,如果定義的加法和數(shù)乘運(yùn)算例１實(shí)數(shù)域上的全體矩陣,對(duì)矩陣記作．線性空間的判定方法是通常的實(shí)數(shù)間的加乘運(yùn)算,

則只需檢驗(yàn)對(duì)運(yùn)算的封閉性．的加法和數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間,當(dāng)前第7頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)種運(yùn)算滿足線性運(yùn)算規(guī)律．且向量空間.對(duì)于通常的多項(xiàng)式加法和數(shù)乘多項(xiàng)式的乘法構(gòu)成的多項(xiàng)式的全體,即

次數(shù)不超過(guò)n例2證通常的多項(xiàng)式加法、數(shù)乘多項(xiàng)式的乘法兩所以當(dāng)前第8頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)空和乘數(shù)運(yùn)算不構(gòu)成向量對(duì)于通常的多項(xiàng)式加法

n

次多項(xiàng)式的全體例3間.這是因?yàn)閷?duì).][對(duì)運(yùn)算不封閉xQn所以當(dāng)前第9頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)例４對(duì)數(shù)函數(shù)的集合對(duì)于通常的函數(shù)加法及數(shù)乘函數(shù)的乘法構(gòu)成線性空間．因?yàn)閯t是一個(gè)線性空間.所以當(dāng)前第10頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)在區(qū)間上全體實(shí)連續(xù)函數(shù),對(duì)函數(shù)的一般地,有以下結(jié)論加法與數(shù)和函數(shù)的數(shù)量乘法,

構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間．事實(shí)上,任意兩個(gè)實(shí)連續(xù)函數(shù)的和仍然為實(shí)連續(xù)函數(shù),數(shù)與實(shí)連續(xù)函數(shù)的乘積仍為實(shí)連續(xù)函數(shù)．當(dāng)前第11頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)例

5

正實(shí)數(shù)的全體,記作,在其中定義加法驗(yàn)證對(duì)上述加法與乘數(shù)運(yùn)算構(gòu)成線性空間．

(2)

一個(gè)集合,如果定義的加法和數(shù)乘運(yùn)算證明先證運(yùn)算的封閉性不是通常的實(shí)數(shù)間的加乘運(yùn)算,

則必需檢驗(yàn)是否滿足八條線性運(yùn)算規(guī)律．及數(shù)乘運(yùn)算為當(dāng)前第12頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)下面一一驗(yàn)證八條線性運(yùn)算規(guī)律：有對(duì)任何中存在零元素,,1)3(++?RaR使有負(fù)元素,,)4(1+-+??"RaRa所以對(duì)定義的加法與數(shù)乘運(yùn)算封閉．當(dāng)前第13頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)所以對(duì)所定義的運(yùn)算構(gòu)成線性空間．當(dāng)前第14頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)不構(gòu)成線性空間．對(duì)于通常的有序數(shù)組的加法及如下定義的乘法例６個(gè)有序?qū)崝?shù)組成的數(shù)組的全體線性空間.,

不是所以線性運(yùn)算由于所定義的運(yùn)算不是Sn當(dāng)前第15頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)定理1線性空間有唯一一個(gè)零元,任意元證明假設(shè)是線性空間V中的兩個(gè)零由于所以元素,則對(duì)任何有,二、線性空間的性質(zhì)有唯一一個(gè)負(fù)元．當(dāng)前第16頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)假設(shè)有兩個(gè)負(fù)元素與,那么則有向量的負(fù)元素記為所以零元是唯一的.所以負(fù)元也是唯一的.當(dāng)前第17頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)根據(jù)零元和負(fù)元的唯一性,可得：又⑴當(dāng)前第18頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)⑵如果,則

或

.假設(shè)那么又同理可得：若則有當(dāng)前第19頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)三、線性空間的子空間定義2

設(shè)是一個(gè)線性空間,是的一個(gè)空間．非空子集,如果對(duì)于中所定義的加法和乘數(shù)線性空間中的零元構(gòu)成一子空間,稱為零空間.V自身是V的子空間.我們稱這兩個(gè)子空間為V的平凡子空間.運(yùn)算也構(gòu)成一個(gè)線性空間,則稱U是V

的一個(gè)子當(dāng)前第20頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)充分必要條件是：定理2線性空間V

的非空子集U構(gòu)成子空間的⑴如果則⑵如果則[證略]由定義易知,假如U是V的子空間,則U的零元于是有也是V的零元,U中元的負(fù)元也是V中元的負(fù)元,當(dāng)前第21頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)例7證明：對(duì)矩陣加法及數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成M2的一個(gè)子空間．證明：因?yàn)橛衷O(shè)則有當(dāng)前第22頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)（為實(shí)數(shù)）．所以是的一個(gè)子空間．當(dāng)前第23頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)一、線性空間的基與維數(shù)

已知：在中，線性無(wú)關(guān)的向量組最多由個(gè)向量組成，而任意個(gè)向量都是線性相關(guān)的．間中，最多能有多少線性無(wú)關(guān)的向量？

問(wèn)題：線性空間的一個(gè)重要特征——在線性空§2維數(shù)、基與坐標(biāo)當(dāng)前第24頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)滿足：定義2.1

在線性空間中,如果存在個(gè)元素;,,,

)1(21線性無(wú)關(guān)naaaL,表示,,,

2)(21線性總可由中任一元素nVaaaaL.,維數(shù)的稱為線性空間基Vn

,,,

,21的一個(gè)就稱為線性空間那末VnaaaL當(dāng)前第25頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn).,nVnn記作維線性空間的線性空間稱為維數(shù)為我們知道，一個(gè)向量空間可由它的一個(gè)基所生成．同樣的，一個(gè)線性空間可由它的一個(gè)基向量組生成．這就顯示出線性空間的構(gòu)造．當(dāng)前第26頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)都有一組有序數(shù)使并且這組數(shù)是唯一的．因?yàn)槿绻€有則有但是線性無(wú)關(guān)，所以當(dāng)前第27頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)即對(duì)于一個(gè)已選定的基來(lái)說(shuō),系數(shù)由

唯一確定.反之，任給一組有序數(shù)總有唯一的元素這樣，的元素與有序數(shù)組之間存在著一種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此，可以用這組有序數(shù)來(lái)表示元素當(dāng)前第28頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)二、元素在給定基下的坐標(biāo)使組有序數(shù),,,,21nxxxL總有且僅有一于任一元素,個(gè)基,如果對(duì)nV?a定義

2的一是線性空間設(shè),,,21nnVLaaa并記作這個(gè)基下的坐標(biāo),,nLa,,,,,2121nxxxLaaa在稱為元素那么有序數(shù)組當(dāng)前第29頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn),,1,取][

2中在線性空間xxP==例

1.它是的一個(gè)基,2x=2次的任一不超過(guò)多項(xiàng)式可表示為若另取一個(gè)基設(shè)

在這個(gè)基下的坐標(biāo)為因此當(dāng)前第30頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)

從而有在這個(gè)基下的坐標(biāo)為因此).

,

,(2110aaaa-當(dāng)前第31頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)應(yīng)的坐標(biāo)是唯一的．線性空間V的任一元素在不同的基下注意：所對(duì)的坐標(biāo)一般不同,但是一個(gè)元素在一個(gè)基下對(duì)例

2

所有二階實(shí)矩陣組成的集合，對(duì)于線性空間．對(duì)于中的矩陣矩陣的加法和數(shù)量乘法，構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的一個(gè)當(dāng)前第32頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn),0

3321====?kkkk當(dāng)前第33頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)而矩陣A在這組基下的坐標(biāo)是：當(dāng)前第34頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)三、線性