二次函數(shù)與一元二次方程

二次函數(shù)與一元二次方程第一頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期六第15講┃考點聚焦考點聚焦考點1二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸的交點個數(shù)判別式Δ＝b2－4ac的符號方程ax2＋bx＋c＝0有實根的個數(shù)2個Δ>0兩個________實根1個Δ＝0兩個________實根沒有Δ<0________實根不相等相等沒有第二頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期六第15講┃考點聚焦考點2

二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象特征與a、b、c及判別式b2－4ac的符號之間的關(guān)系第三頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期六第15講┃考點聚焦第四頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期六第15講┃考點聚焦考點3二次函數(shù)圖象的平移將拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)用配方法化成y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)的形式，而任意拋物線y＝a(x－h(huán))2＋k均可由拋物線y＝ax2平移得到，具體平移方法如圖15－1：圖15－1第五頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期六第15講┃考點聚焦[注意]確定拋物線平移后的解析式最好利用頂點式，利用頂點的平移來研究圖象的平移．第六頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期六第15講┃歸類示例歸類示例?類型之一二次函數(shù)與一元二次方程命題角度：1．二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系；2．圖象法解一元二次方程；3．二次函數(shù)與不等式(組)．例1拋物線y＝x2－4x＋m與x軸的一個交點的坐標為(1，0)，則此拋物線與x軸的另一個交點的坐標是________．

(3，0)

[解析]

把(1，0)代入y＝x2－4x＋m中，得m＝3，所以原方程為y＝x2－4x＋3，令y＝0，解方程x2－4x＋3＝0，得x1＝1，x2＝3，∴拋物線與x軸的另一個交點的坐標是(3，0)．

第七頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期六?類型之二二次函數(shù)的圖象的平移命題角度：1.二次函數(shù)的圖象的平移規(guī)律；2.利用平移求二次函數(shù)的圖象的關(guān)系式．第15講┃歸類示例例2

[2013·揚州]將拋物線y＝x2＋1先向左平移2個單位，再向下平移3個單位，那么所得拋物線的函數(shù)關(guān)系式是(

)A．y＝(x＋2)2＋2B．y＝(x＋2)2－2C．y＝(x－2)2＋2D．y＝(x－2)2－2B[解析]拋物線y＝x2＋1的頂點為(0，1)，將點(0，1)先向左平移2個單位，再向下平移3個單位所得到的點的坐標為(－2，－2)，所以平移后拋物線的關(guān)系式為y＝(x＋2)2－2.故選B.第八頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期六第15講┃歸類示例

1．采用由“點”帶“形”的方法．圖形在平移時，圖形上的每一個點都按照相同的方向移動相同的距離，拋物線的平移問題往往可轉(zhuǎn)化為頂點的平移問題來解決．2．平移的變化規(guī)律可為：(1)上、下平移：當拋物線y＝a(x－h(huán))2＋k向上平移m(m>0)個單位后，所得的拋物線的關(guān)系式為y＝a(x－h(huán))2＋k＋m；當拋物線y＝a(x－h(huán))2＋k向下平移m(m>0)個單位后，所得的拋物線的關(guān)系式為y＝a(x－h(huán))2＋k－m.(2)左、右平移：當拋物線y＝a(x－h(huán))2＋k向左平移n(n>0)個單位后，所得的拋物線的關(guān)系式為y＝a(x－h(huán)＋n)2＋k；當拋物線y＝a(x－h(huán))2＋k向右平移n(n>0)個單位后，所得的拋物線的關(guān)系式為y＝a(x－h(huán)－n)2＋k.第九頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期六第15講┃歸類示例例3

[2012·廣安]如圖15－2，把拋物線y＝0.5x2平移得到拋物線m.拋物線m經(jīng)過點A(－6,0)和原點(0,0)，它的頂點為P，它的對稱軸與拋物線y＝0.5x2交于點Q，則圖中陰影部分的面積為________．圖15－2

第十頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期六第15講┃歸類示例第十一頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期六第15講┃歸類示例變式題

[2013·綿陽改編]已知拋物線：y＝x2－2x＋m－1與x軸只有一個交點，且與y軸交于A點，如圖15－3，設(shè)它的頂點為B.(1)求m的值；(2)過A作x軸的平行線，交拋物線于點C，求證：△ABC是等腰直角三角形；(3)將此拋物線向下平移4個單位后，得到拋物線C′，且與x軸的左半軸交于E點，與y軸交于F點，求拋物線C′的關(guān)系式和直線EF的關(guān)系式．圖15－3

第十二頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期六第15講┃歸類示例解：(1)拋物線與x軸只有一個交點，說明Δ＝0，∴m＝2.(2)證明：∵拋物線的關(guān)系式是y＝x2－2x＋1，∴A(0，1)，B(1，0)，∴△AOB是等腰直角三角形，又AC∥OB，∴∠BAC＝∠OBA＝45°，A，C是關(guān)于對稱軸x＝1的對稱點，∴AB＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形．第十三頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期六?類型之三二次函數(shù)的圖象特征與a，b，c之間的關(guān)系例4

[2012·重慶]已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖15－4所示，對稱軸x＝－.下列結(jié)論中，正確的是(

)A．a(chǎn)bc>0B．a(chǎn)＋b＝0C．2b＋c>0D．4a＋c<2b第15講┃歸類示例命題角度：1.二次函數(shù)的圖象的開口方向，對稱軸，頂點坐標，與坐標軸的交點情況與a，b，c的關(guān)系；2.圖象上的特殊點與a，b，c的關(guān)系．圖15－4D

第十四頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期六第15講┃歸類示例第十五頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期六第15講┃歸類示例

二次函數(shù)的圖象特征主要從開口方向、與x軸有無交點，與y軸的交點及對稱軸的位置，確定a，b，c及b2－4ac的符號，有時也可把x的值代入，根據(jù)圖象確定y的符號．第十六頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期六?類型之四二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合運用例5

[2013·連云港]

如圖15－5，拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點，點E在拋物線上，點F在x軸上，四邊形OCEF為矩形，且OF＝2，EF＝3.(1)求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；第15講┃歸類示例命題角度：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合運用．第十七頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期六(2)求△ABD的面積；(3)將三角形AOC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，點A對應(yīng)點為點G，問點G是否在該拋物線上？請說明理由．第15講┃歸類示例圖15－5

第十八頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期六第15講┃歸類示例

[解析](1)在矩形OCEF中，已知OF、EF的長，先表示出C、E的坐標，然后利用待定系數(shù)法確定該函數(shù)的關(guān)系式．(2)根據(jù)(1)的函數(shù)關(guān)系式求出A、B、D三點的坐標，以AB為底、D點縱坐標的絕對值為高，可求出△ABD的面積．(3)首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)條件求出G點的坐標，然后將點G的坐標代入拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式中直接進行判斷即可．第十九頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期六第15講┃歸類示例第二十頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期六第