二階非齊次微分方程

二階非齊次微分方程第一頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期六一、型設(shè)非齊方程特解為代入原方程第二頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期六綜上討論注意上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程（k是重根次數(shù)）.第三頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期六特別地第四頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期六例1解特征方程特征根對(duì)應(yīng)齊次方程通解代入方程,得原方程通解為第五頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期六求通解解特征方程特征根齊通解即代入（*）式非齊通解為例2第六頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期六分別是的實(shí)部和虛部可設(shè)輔助方程第七頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期六由分解定理分別是以為自由項(xiàng)的非齊次線性微分方程的特解第八頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期六注意上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程例3解對(duì)應(yīng)齊方通解作輔助方程代入上式所求非齊方程特解為（取虛部）原方程通解為這種方法稱為復(fù)數(shù)法第九頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期六例4解對(duì)應(yīng)齊方通解作輔助方程代入輔助方程第十頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期六所求非齊方程特解為（取實(shí)部）原方程通解為注意第十一頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期六例5解對(duì)應(yīng)齊方程通解用常數(shù)變易法求非齊方程通解原方程通解為第十二頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期六例6求通解解相應(yīng)齊方程特征方程齊通解先求的特解設(shè)代入方程再求的特解第十三頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期六考慮輔助方程可設(shè)代入方程得取實(shí)部得原方程的特解所求通解為第十四頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期六例7設(shè)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)且滿足求u

的表達(dá)式解記則第十五頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期六同理這是一個(gè)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解得第十六頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期六

一鏈條懸掛在一釘子上，起動(dòng)時(shí)一端離釘子8米，另一端離釘子12米，若不計(jì)摩擦力，求此鏈條滑過釘子所需的時(shí)間下段重為解設(shè)時(shí)刻

t

鏈條下落了x

米另設(shè)鏈條單位長(zhǎng)重為則上段重為由Newton第二定律例8第十七頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期六特征方程特征根齊通解特解故代入初始條件解得第十八頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期六三、小結(jié)(待定系數(shù)法)只含上式一項(xiàng)解法：作輔助方程,求特解,取特解的實(shí)部或虛部,得原非齊方程特解.第十九頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期六思考題寫出微分方程的待定特解的形式.思考題解答設(shè)的特解為設(shè)的特解為則所求特解為特征根（重根）第二十頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期六練習(xí)題第二十一頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期六