代數(shù)運算和方程求解

代數(shù)運算和方程求解第一頁，共十四頁，編輯于2023年，星期六內(nèi)容提要代數(shù)運算方程求解第二頁，共十四頁，編輯于2023年，星期六4.1代數(shù)運算4.1.1多項式的結(jié)構(gòu)運算名稱意義Expand[poly]Factor[poly]FactorTerms[poly]FactorTerms[poly,{x,y}]Collect[poly,x]Collect[poly,{x,y…}]按冪次展開多項式poly對多項式poly進行因式分解提取全部數(shù)字因子提取全部不依賴于x和y的因子把多項式按x次冪展開把多項式按x,y…次冪展開多項式的結(jié)構(gòu)操作函數(shù)控制多項式輸出的函數(shù)名稱意義Expand[poly,patt]PowerExpand[expr]Collect[poly,patt]Collect[expr,var,h]將多項式表示成各項與patt匹配形式將(xy)n分解成xnyn的形式按與patt匹配的方式排列多項式將h應(yīng)用與每一項中第三頁，共十四頁，編輯于2023年，星期六4.1.2求多項式的結(jié)構(gòu)名稱意義PolynomialQ[expr,x]PolynomialQ[expr,{x1,x2,…}]Variables[poly]Length[poly]Expr[[n]]或Part[expr,n]Exponent[poly,x]Coefficient[poly,expr]Coefficient[poly,expr,n]Coefficient[poly,expr,0]CoefficientList[poly,,{x1,x2,…}]判斷表達式expr是否是關(guān)于x的多項式判斷表達式expr是否是關(guān)于xi的多項式列出多項式poly的所有變量給出多項式poly的項數(shù)提取多項式expr的第n項多項式poly中x的最高指數(shù)多項式poly中expr的系數(shù)多項式poly中expr^n的系數(shù)多項式poly中expr^0的系數(shù)，即不含expr生成一個由多項式poly中xi的系數(shù)組成的表求多項式結(jié)構(gòu)的函數(shù)

函數(shù)Polynomial判斷表達式expr是否為關(guān)于x的多項式，即使表達式中沒有x，函數(shù)返回值也是True函數(shù)Length和Part只能在展開后的多項式中使用第四頁，共十四頁，編輯于2023年，星期六4.1.3有理多項式的運算名稱意義ExpandNumerator[expr]ExpandDenominator[expr]Expand[expr]ExpandAll[expr]ExpandAll[expr,patt]僅展開多項式的分子僅展開多項式的分母僅展開分子、把分母當(dāng)成單項把分母和分子完全展開只展開與patt匹配的項有理多項式的展開函數(shù)有理式化簡函數(shù)名稱意義Together[expr]Apart[expr]Cancel[expr]Factor[expr]合并具有相同分母的項把表達式分解成簡單分母項和的形式約去分子和分母的公因式因式分解第五頁，共十四頁，編輯于2023年，星期六4.1.4多項式的代數(shù)運算名稱意義PolynomialQuotient[poly1,poly2,x]PolynomialRemainde[poly1,poly2,x]PolynomialGCD[poly1,poly2]PolynomialLCM[poly1,poly21]PolynomialMod[poly,m]PolynomialReduce[poly,{poly1,poly2,…}{x1,x2,…}]Resultant[poly1,poly2,x]返回poly1除以poly2的結(jié)果，舍掉余數(shù)返回poly1除以poly2的余數(shù)求兩個多項式的最大公約數(shù)求兩個多項式的最小公倍數(shù)求poly以m為模的余數(shù)求用polyi表示poly的最小表達式求兩個多項式的消元式多項式的代數(shù)運算函數(shù)函數(shù)PolynomialMod和函數(shù)PolynomialRemainde的區(qū)別在于前者做的運算是乘減，即poly1減去poly2乘以一個整數(shù)或整式；后者做的是除法，最后得到的一定是次數(shù)比除式低的多項式。PolynomialMod可以使用多個模本節(jié)討論的大多數(shù)代數(shù)運算只是適用于一般的多項式，這種多項式具有整數(shù)指數(shù)和有理數(shù)系數(shù)

第六頁，共十四頁，編輯于2023年，星期六名稱意義FactorSquareFree[poly]FactorList[poly],FactorSquareFreeList[poly],FactorTremsList[poly]Factor[poly,GaussianIntegers→True]以平方冪次的形式改寫多項式以因式列表的形式給出結(jié)果對多項式進行因式分解，允許系數(shù)為高斯整數(shù)因式分解函數(shù)生成特定多項式的函數(shù)名稱意義Cyclotomic[n,x]Decompose[poly,x]InterpolatingPolynominal[{f1,f2,…},x]InterpolatingPolynominal[[{x1,f1},{x2,f2},…],x]給出關(guān)于x的第n個分圓多項式如可能，將多項式分為一系列簡單的多項式組合給出一個當(dāng)x為整數(shù)i時，與fi相等的關(guān)于x的多項式給出一個當(dāng)x為整數(shù)xi時，與fi相等的關(guān)于x的多項式和因式分解不同，用函數(shù)Decompose的分解結(jié)果有可能不是唯一的

第七頁，共十四頁，編輯于2023年，星期六4.1.5以質(zhì)數(shù)為模求多項式的余式名稱意義PolynomialMod[poly,p]Expand[poly,Modulus→p]Factor[poly,Modulus→p]PolynomialGCD[poly1,poly2,Modulus→p]以p為模求poly的余式以p為模展開多項式以p為模對多項式進行因式分解以p為模求多項式的最大公約數(shù)以質(zhì)數(shù)為模處理多項式的函數(shù)實數(shù)域上的因式分解函數(shù)名稱意義Factor[poly,Extensiong→{a1,a2,…}]Factor[poly,Extensiong→Automatic]多項式系數(shù)可以為ai的組合允許多項式系數(shù)為實數(shù)數(shù)值4.1.6實數(shù)域上的多項式運算第八頁，共十四頁，編輯于2023年，星期六4.1.7三角函數(shù)表達式名稱意義TrigExpand[expr]TrigFactor[expr]TrigFactorList[expr]TrigReduce[expr]TrigToExp[expr]ExpToTrig[expr]將三角函數(shù)表達式展開為各項和的形式將三角函數(shù)表達式改寫為積的形式給出各項以及它們的冪次使用倍角化簡三角函數(shù)表達式將三角函數(shù)表達式改寫為指數(shù)形式將指數(shù)形式改寫為三角函數(shù)表達式處理三角表達式的函數(shù)復(fù)變量表達式的展開函數(shù)名稱意義ComplexExpand[expr]ComplexExpand[expr,{x1,x2…}]展開表達式expr，假設(shè)所有變量為實數(shù)展開表達式expr，假設(shè)指定的變量都是復(fù)數(shù)4.1.8復(fù)變量表達式第九頁，共十四頁，編輯于2023年，星期六4.1.9表達式的化簡名稱意義Simplify[expr]FullSimplify[expr]FullSimplify[expr,ExcludedForms→patt]使用各種代數(shù)和三角函數(shù)表達式化簡表達式在最大的范圍內(nèi)對表達式進行化簡化簡表達式，但對于patt相匹配的表達式不進行化簡表達式的化簡函數(shù)帶有假設(shè)的化簡函數(shù)名稱意義Simplify[expr,assum]FullSimplify[expr,assum]使用假設(shè)assum化簡使用假設(shè)assum完全化簡當(dāng)根據(jù)給出的假設(shè)也無法判斷等式和不等式的正確與否時，Mathematica返回的是等式或不等式第十頁，共十四頁，編輯于2023年，星期六名稱意義x∈dom或Element[x,dom]{x1,x2,…}∈dompatt∈dom指定x屬于域dom指定xi屬于域dom指定任何與patt匹配的表達式屬于域dom指定變量位于域的函數(shù)數(shù)的集合符號名稱意義ComplexRealsAlgebraicsRationalsIntegersPrimesBooleans復(fù)數(shù)域C實數(shù)域R代數(shù)域A有理數(shù)域Q整數(shù)域Z質(zhì)數(shù)域P布爾值B（取值為True或False）第十一頁，共十四頁，編輯于2023年，星期六4.2方程求解4.2.1方程及其根的表示名稱意義Solve[Ihs=rhs,vars]NSolve[Ihs=rhs,vars]Root[Ihs=rhs,vars]Root[f,k]FindRoot[Ihs=rhs,{x,x0}]給出方程的解集直接給出方程的數(shù)值解集以邏輯表達式的形式給出方程的解求方程f的第k個解，其中f用隱式符合表示求x=x0時，方程的解值方程求解函數(shù)4.2.1方程及其根的表示4.2.2求解一元代數(shù)方程第十二頁，共十四頁，編輯于2023年，星期六4.2.3方程組求解名稱意義Solve[eqns,{x1,x2,…}]Solve[eqns]Solve[eqns,vars,elims]Eliminate[eqns,elims]FindRoot[eqns,{x,x0},{y,y0},…]求解eqns中指定的變量求解eqns中全部變量消去變量elims，求變量vars的值重新排列方程組以消去變量elims求x=x0,y=y0,…是線性方程組的解求解方程組的函數(shù)InverseFunction函數(shù)的使用格式名稱意義InverseFunction[f]InverseFunction[f,n]InverseFunction[f,n,tot]求函數(shù)f的反函數(shù)求函數(shù)f對于第n個參數(shù)的反函數(shù)求當(dāng)參數(shù)個數(shù)為tot時，f