2023屆四川省成都市高考熱身考試（一）數(shù)學(xué)（文）試題【含答案】

2023屆四川省成都市高考熱身考試（一）數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．已知集合，，，則（

）A．或 B． C．或 D．【答案】B【分析】分析可知，利用集合的包含關(guān)系可出關(guān)于的等式，結(jié)合集合元素滿足互異性可得出實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)?，，，則，所以，或，若，則，此時(shí)，，集合中的元素不滿足互異性，故；若，可得，因?yàn)?，則，此時(shí)，，合乎題意.因此，.故選：B.2．已知，，，若，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】由已知可得，，代入根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件列出方程組，求解即可得出答案.【詳解】由已知可得，，，所以，所以有，解得或.故選：C.3．某商場一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計(jì)如圖所示，則下列說法中不正確的是（

）A．支出最高值與支出最低值的比是6：1B．利潤最高的月份是2月份C．第三季度平均收入為50萬元D．1~2月份的支出的變化率與10~11月份的支出的變化率相同【答案】B【分析】由統(tǒng)計(jì)圖中數(shù)據(jù)，對選項(xiàng)中的統(tǒng)計(jì)結(jié)論進(jìn)行判斷.【詳解】支出最高值為60萬元，支出最低值為10萬元，支出最高值與支出最低值的比是，A選項(xiàng)正確；2月份利潤為20萬元，3月份和10月份利潤為30萬元，利潤最高的月份是3月份和10月份，B選項(xiàng)錯誤；7，8，9月份收入分別為40萬元，50萬元，60萬元，則第三季度平均收入為50萬元，C選項(xiàng)正確；1~2月份的支出變化率為，10~11月份的支出變化率為，故變化率相同，故選項(xiàng)D正確.故選：B4．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可得出關(guān)于、的方程組，求出這兩個(gè)量的值，即可求得的值.【詳解】因?yàn)?，由題意可得，解得，因此，.故選：B.5．函數(shù)的部分圖像大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性排除選項(xiàng)C、D；再由，即可求解.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以函?shù)是奇函數(shù)，其函數(shù)圖像關(guān)于對稱，所以選項(xiàng)C、D錯誤；又，所以選項(xiàng)B錯誤；故選：A.二、解答題6．過、兩點(diǎn)，且與直線相切的圓的方程可以是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分析可知，圓心在直線上，設(shè)圓心為，根據(jù)圓與直線相切以及圓過點(diǎn)可得出關(guān)于的等式，解出的值，即可得出所求圓的方程.【詳解】因?yàn)?、，則線段的垂直平分線所在直線的方程為，設(shè)圓心為，則圓的半徑為，又因?yàn)?，所以，，整理可得，解得或，?dāng)時(shí)，，此時(shí)圓的方程為；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)圓的方程為.綜上所述，滿足條件的圓的方程為或.故選：C.三、單選題7．已知a，b是不同的兩條直線，，是不同的兩個(gè)平面，現(xiàn)有以下四個(gè)命題：①；②；③；④．其中，正確的個(gè)數(shù)有（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系逐一判斷即可.【詳解】若，則，故①正確；若，則，故②正確；若，則或，故③錯誤；若，則在平面內(nèi)存在直線，使得.又，所以，所以，故④正確.所以正確的個(gè)數(shù)有3個(gè).故選:C.8．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，前n項(xiàng)和為，則取最小值時(shí)n的值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】由已知可推得當(dāng)時(shí)，.又，即可得出答案.【詳解】解可得，或，即或.所以，當(dāng)時(shí)，.又，所以，當(dāng)時(shí)，取最小值.故選：C.9．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可得出，然后利用不等式的基本性質(zhì)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，，即，因?yàn)?，則，所以，，又因?yàn)?，則，故，故.故選：A.10．已知雙曲線C：（a>0，b>0）的離心率為，左，右焦點(diǎn)分別為，關(guān)于C的一條漸近線的對稱點(diǎn)為P.若，則的面積為（

）A．2 B． C．3 D．4【答案】D【分析】設(shè)與漸近線交于，由對稱性知且，在直角中可求得，再由求得的面積.【詳解】設(shè)與漸近線交于，則，，，所以，，由分別是與的中點(diǎn)，知且，即，由得，所以，故選：D11．如圖，在山腳測得山頂?shù)难鼋菫?，沿傾斜角為的斜坡向上走米到，在處測得山頂?shù)难鼋菫椋瑒t山高（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】在中，根據(jù)正弦定理求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】在中，，由正弦定理得，可得，過點(diǎn)作，可得所以.故選：D.12．若函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)，求導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性與取值情況，即可作出的大致圖象，將函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)函數(shù)的圖象與直線的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，分析函數(shù)與直線情況，即可得實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】令，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)趨向正無窮時(shí)，趨向正無窮，故作出的大致圖象，如圖所示．由題知函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)的圖象與直線的圖象恰有2個(gè)交點(diǎn)，易知點(diǎn)為與直線的公共點(diǎn)，又曲線在點(diǎn)處的切線方程為，所以當(dāng)，直線與與曲線有2個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與曲線有2個(gè)交點(diǎn)．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：C．四、填空題13．已知，，若，則________．【答案】/【分析】求出向量的坐標(biāo)，利用平面向量共線的坐標(biāo)表示可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)?，，則，因?yàn)?，則，解得.故答案為：.14．記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和.若，則__________.【答案】【分析】由可得，再由求和公式求比值即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，可得，即，所以.故答案為：17.15．如圖，是邊長為2的正方形，其對角線與交于點(diǎn)，將正方形沿對角線折疊，使點(diǎn)所對應(yīng)點(diǎn)為，.設(shè)三棱錐的外接球的體積為，三棱錐的體積為，則__________．【答案】【分析】由題知球心為O,求得球的體積，再求錐的體積，則比值可求【詳解】由題,易知三棱錐的外接球的球心為，∴，∴，到底面的距離為，∴，∴.故答案為【點(diǎn)睛】本題考查球與三棱錐的體積，外接球問題，明確球心位置是突破點(diǎn)，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題16．過拋物線上且在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線，分別與拋物線另外交于，兩點(diǎn)，若直線的斜率為，則的最大值為__________．【答案】【詳解】由題意，設(shè)，則，即，所以，又，所以．點(diǎn)睛：本題考查了拋物線的性質(zhì)，直線的斜率公式和基本不等式求最值的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，其中正確推算的表達(dá)式和運(yùn)用基本不等式是解答的關(guān)鍵．五、解答題17．某學(xué)習(xí)的注冊用戶分散在、、三個(gè)不同的學(xué)習(xí)群里，分別有人、人、人，該設(shè)置了一個(gè)名為“七人賽”的積分游戲，規(guī)則要求每局游戲從、、三個(gè)學(xué)習(xí)群以分層抽樣的方式，在線隨機(jī)匹配學(xué)員共計(jì)人參與游戲．(1)每局“七人賽”游戲中，應(yīng)從、、三個(gè)學(xué)習(xí)群分別匹配多少人？(2)設(shè)匹配的名學(xué)員分別用：、、、、、、表示，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取出名學(xué)員參與新的游戲．（?。┰囉盟o字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；（ⅱ）設(shè)M為事件“抽取的名學(xué)員不是來自同一個(gè)學(xué)習(xí)群”，求事件發(fā)生的概率．【答案】(1)應(yīng)從、、三個(gè)學(xué)習(xí)群分別匹配人、人、人(2)（?。┐鸢敢娊馕觯áⅲ痉治觥浚?）利用分層抽樣可求得、、三個(gè)學(xué)習(xí)群分別匹配的人數(shù)；（2）（i）利用截距法可列舉出所有的可能抽取的結(jié)果；（ii）確定事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得事件發(fā)生的概率.【詳解】（1）解：三個(gè)學(xué)習(xí)群人數(shù)比例為，因此，應(yīng)從學(xué)習(xí)群匹配的人數(shù)為人，應(yīng)從學(xué)習(xí)群匹配的人數(shù)為人，應(yīng)從學(xué)習(xí)群匹配的人數(shù)為人.（2）解：（ⅰ）所有可能的結(jié)果為：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共種；（ii）“抽取的名學(xué)員不是來自同一個(gè)學(xué)習(xí)群”抽取的名學(xué)員不是來自同一個(gè)學(xué)習(xí)群”包含的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、，共種，所以其概率為.18．已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊，，且．(1)求A；(2)若，求證：△ABC是直角三角形．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由正弦定理邊化角可得，然后根據(jù)兩角和的公式以及輔助角公式，即可推得.根據(jù)的取值范圍，即可得出答案；（2）由余弦定理結(jié)合已知可推得.正弦定理邊化角可得.又，代入化簡可得.然后根據(jù)的范圍，即可得出，進(jìn)而得出，即可得出證明.【詳解】（1）由已知及正弦定理得.因?yàn)?，所以?因?yàn)?，所以，整理?又因?yàn)?，所以，所以或，所以，?因?yàn)?，所?（2）由余弦定理可得.又因?yàn)椋?，整理可?因?yàn)?，由正弦定理?因?yàn)?，所以，所以，整理?因?yàn)椋?，所以，所以，所以，即是直角三角?19．如圖甲，已知四邊形ABCD是直角梯形，E，F(xiàn)分別為線段AD，BC上的點(diǎn)，且滿足，，，．將四邊形CDEF沿EF翻折，使得C，D分別到，的位置，并且，如圖乙．(1)求證：；(2)求點(diǎn)E到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)1【分析】（1）在圖甲中AB⊥BC，在圖乙中，，從而有EF⊥平面，則，再分別過，E作，，垂足分別是M，N，通過，得到，從而證得平面即可．（2）過點(diǎn)作，垂足為Q，易得平面BEF，從而有，再由求解.【詳解】（1）證明：∵在圖甲中，AB∥CD∥EF，AB＝2EF＝4CD＝4，AB⊥BC，∴在圖乙中有，，，又與BF是平面內(nèi)的交線，∴EF⊥平面，BC1在面BC1F內(nèi)，∴，如圖，分別過，E作，，垂足分別是M，N，易知，∴，又，∴，同理，又，∴，則，又EF與是平面內(nèi)的交線，∴平面，ED1在面C1D1EF內(nèi)，∴．（2）由（1）知EF⊥平面，AB∥EF，所以知AB⊥平面，BC1在面BC1F內(nèi)，所以，則，，過點(diǎn)作，垂足為Q，由（1）知EF⊥平面，且平面，所以平面平面，又平面平面，C1Q在面BC1F內(nèi)，所以平面，又平面，所以，又BF與EF是平面ABF內(nèi)的交線，∴平面BEF，，由，得，，∴點(diǎn)E到平面的距離為1．20．已知橢圓：與橢圓：的離心率相等，的焦距是．(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)P為直線l：上任意一點(diǎn)，是否在x軸上存在定點(diǎn)T，使得直線PT與曲線的交點(diǎn)A，B滿足？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)．若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在x軸上定點(diǎn)，使得【分析】（1）由已知求出的離心率為，又，即可得出.根據(jù)的關(guān)系，即可得出答案；（2）設(shè)，，，，先求出直線與軸重合時(shí)，滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)直線與軸不重合時(shí)，設(shè)直線AB方程為.根據(jù)已知可推得，代入坐標(biāo)整理可得（*）.聯(lián)立直線與的方程可得，根據(jù)韋達(dá)定理得出坐標(biāo)關(guān)系，代入（*）式，整理化簡可得，求出，檢驗(yàn)即可得出答案.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，又橢圓與橢圓的離心率相等，的焦距是，所以，，所以，，所以，，所以，的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，，，.當(dāng)直線與軸重合時(shí)，設(shè)，，，則，，，，由已知，可得，解得或（舍去），所以，；當(dāng)直線與軸不重合時(shí)，設(shè)直線AB方程為，則有.四點(diǎn)共線，由結(jié)合圖象可知，，于是有，，化簡得：，變形得：（*）.聯(lián)立直線與橢圓的方程可得，，當(dāng)時(shí)，由韋達(dá)定理可得，將上式與共同代入（*），化簡得：，即，且此時(shí)成立，故存在x軸上定點(diǎn)，使得．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：設(shè)直線AB方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，根據(jù)韋達(dá)定理得出坐標(biāo)之間的關(guān)系.然后根據(jù)已知，化簡可得出.因?yàn)榈娜我庑?，所以必有，即可得出答?21．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值；(2)當(dāng)時(shí)，求曲線與的公切線方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）代入，然后求出，進(jìn)而可得單調(diào)性求出最值；（2）代入，設(shè)出切點(diǎn)，求出切線方程，利用方程為同一直線，列方程組求解即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí),，，令，得，令，得，求函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，；（2）當(dāng)時(shí)，，設(shè)函數(shù)上一點(diǎn)為，又，，函數(shù)上過點(diǎn)的切線方程為：，即，設(shè)函數(shù)上一點(diǎn)為，又，過點(diǎn)的切線方程為：，即，若與為同一直線，則，解得,公切線的方程為：.22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），點(diǎn)．以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，射線l的極坐標(biāo)方程為．(1)寫出曲線的極坐標(biāo)方程；(2)若l與，分別交于A，B（異于原點(diǎn)）兩點(diǎn)，求△PAB的面積．【答案】(1)(2)5【分析】（1）由參數(shù)方程可得，，進(jìn)而即可推得，根據(jù)公式即可得出曲線的極坐標(biāo)方程；（2）將分別代入，的極坐標(biāo)方程得出，，進(jìn)而得出弦長.然后求出點(diǎn)到射線的距離，即可得出答案.【詳解】（1）由的參數(shù)方程得，，所以.又，，所以，所以的極坐標(biāo)方