廣東省汕尾市蓮花山中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析

廣東省汕尾市蓮花山中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，則

A. B． C. D．參考答案：C2.某學(xué)校開展研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)，某同學(xué)獲得一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表：x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01對(duì)于表中數(shù)據(jù),現(xiàn)給出以下擬合曲線,其中擬合程度最好的是A.y＝2x－2

B.y＝()x

C.y＝log2x

D.y＝(x2－1)參考答案：D3.在△ABC中，∠A=60°，||=2，||=1，則?的值為(

)A．1 B．﹣1 C． D．﹣參考答案：A【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；對(duì)應(yīng)思想；向量法；平面向量及應(yīng)用．【分析】運(yùn)用數(shù)量積公式則?=||?||COS60°求解即可．【解答】解：∠A=60°，||=2，||=1，則?=||?||COS60°=2×1×=1故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題考察了向量的數(shù)量積的運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單計(jì)算題，關(guān)鍵記住公式即可．4.在數(shù)列中，，若數(shù)列為等差數(shù)列，則等于

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B5.設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，過(guò)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，若是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則（

）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．參考答案：C6.已知集合M＝｛x|x＜3｝，N＝｛x|log2x＞1｝，則M∩N＝（

）A.

B.｛x|2＜x＜3｝

C.｛x|1＜x＜3｝

D.｛x|0＜x＜3｝參考答案：B7.已知直線1：x+y-3=0，橢圓，則直線與橢圓的位置關(guān)系式（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．相切或相交參考答案：A略8.設(shè)集合，，則A∩B=(

)．A.{0,1,2,3} B.{1,2,3} C.[1,3] D.[0,3]參考答案：A【分析】對(duì)集合用列舉法進(jìn)行表示，對(duì)集合用不等式描述集合元素特征，然后根據(jù)集合交集的運(yùn)算法則，求出.【詳解】因?yàn)?，，所以，故本題選A.【點(diǎn)睛】本題考查了集合交集的運(yùn)算、集合的表示方法.本題易錯(cuò)的地方是認(rèn)為自然數(shù)集不包括零.解決集合問(wèn)題的關(guān)鍵是對(duì)集合元素屬性特征的認(rèn)識(shí).9.宋元時(shí)期數(shù)學(xué)名著《算學(xué)啟蒙》中有關(guān)于“松竹并生”的問(wèn)題：松長(zhǎng)五尺，竹長(zhǎng)兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長(zhǎng)等．下圖是源于其思想的一個(gè)程序框圖，若輸入的a，b分別為5，2，則輸出的n=（）A．2 B．3 C．4 D．5參考答案：C【考點(diǎn)】EF：程序框圖．【分析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量S的值，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案．【解答】解：當(dāng)n=1時(shí)，a=，b=4，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，當(dāng)n=2時(shí)，a=，b=8滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，當(dāng)n=3時(shí)，a=，b=16滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，當(dāng)n=4時(shí)，a=，b=32不滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，故輸出的n值為4，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是程序框圖，當(dāng)循環(huán)的次數(shù)不多，或有規(guī)律時(shí)，常采用模擬循環(huán)的方法解答．10.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的傾斜角為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，則與的夾角大小為

．參考答案：12.若則的值為

.參考答案：2

略13.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位長(zhǎng)度：），俯視圖中圓與四邊形相切，且該幾何體的體積為，則該幾何體的高為

.參考答案：14.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1+a11=3a6－4，則則Sn=

。參考答案：44

略15.如圖，在正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是C1D的中點(diǎn)，P是棱CC1所在直線上的動(dòng)點(diǎn)．則下列三個(gè)命題：（1）CD⊥PE

（2）EF∥平面ABC1（3）V=V其中正確命題的個(gè)數(shù)有．參考答案：①②③【考點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征．【分析】根據(jù)標(biāo)榜的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合線面垂直的判定與性質(zhì)，面面平行的判定與性質(zhì)，錐體的體積公式等知識(shí)點(diǎn)，分別判斷3個(gè)結(jié)論的真假，可得答案．【解答】解：由CD⊥平面BCC1B1，PE?平面BCC1B1，故①CD⊥PE正確；連接ED1，則EF∥BD1，故EF∥平面ABC1D1，故②EF∥平面ABC1正確；③V=，V=，故③V=V正確；故正確命題的序號(hào)為：①②③，故答案為：①②③．16.已知，對(duì)于U，V，表示U，V中相對(duì)應(yīng)的元素不同的個(gè)數(shù)。（1）令U=（2013，2013，2013，2013，2013），存在，使得=2。則m=

；（2）令，若之和為

參考答案：10，17.等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a1a5=4，則log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=．參考答案：5【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)；對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】可先由等比數(shù)列的性質(zhì)求出a3=2，再根據(jù)性質(zhì)化簡(jiǎn)log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=5log2a3，代入即可求出答案．【解答】解：log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2a1a2a3a4a5=log2a35=5log2a3．又等比數(shù)列{an}中，a1a5=4，即a3=2．故5log2a3=5log22=5．故選為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，靈活運(yùn)用性質(zhì)變形求值是關(guān)鍵，本題是數(shù)列的基本題，較易．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.(本小題滿分13分)已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)分別為24，16，16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進(jìn)行睡眠時(shí)間的調(diào)查.（I）應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（ii）設(shè)A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率.參考答案：本小題主要考查隨機(jī)抽樣、離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望、互斥事件的概率加法公式等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)用概率知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力．滿分13分．KS5U（Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）解：隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3．P（X=k）=（k=0，1，2，3）．所以，隨機(jī)變量X的分布列為

X0123P

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望．（ii）解：設(shè)事件B為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有1人，睡眠不足的員工有2人”；事件C為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有2人，睡眠不足的員工有1人”，則A=B∪C，且B與C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=．所以，事件A發(fā)生的概率為．

19.橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，點(diǎn)P（1，）及點(diǎn)A，B在橢圓E上，且+=m（m∈R）．（1）求橢圓E的方程及直線AB的斜率；（2）當(dāng)△PAB的面積取得最大時(shí)，求△PAB的重心坐標(biāo)．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；分析法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（1）由離心率公式和點(diǎn)P滿足橢圓方程，以及a，b，c的關(guān)系，解得a2=4，b2=3，由此能求出橢圓E的方程及直線AB的斜率；（2）設(shè)AB的方程為y=﹣x+t，代入橢圓方程得：x2﹣tx+t2﹣3=0，求得△=3（4﹣t2），運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式求得|AB|，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式可得點(diǎn)P到直線AB的距離為d，求得S△PAB．由此能求出△PAB的最大值和重心坐標(biāo)．【解答】解：（1）由e==，a2﹣b2=c2，P在橢圓上，可得+=1，解得a2=4，b2=3，橢圓方程為+=1；設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），由+=m，得（x1+x2﹣2，y1+y2﹣3）=m（1，），即，又+y12=1，+y22=1，兩式相減得kAB==﹣?=﹣?=﹣；（2）設(shè)AB的方程為y=﹣x+t，代入橢圓方程得：x2﹣tx+t2﹣3=0，x1+x2=t，x1x2=t2﹣3，△=3（4﹣t2），|AB|=?=?，點(diǎn)P到直線AB的距離為d=，S△PAB=d|AB|=|2﹣t|?=（﹣2＜t＜2）．令f（t）=3（2﹣t）3（2+t），則f’（t）=﹣12（2﹣t）2（t+1），由f’（t）=0得t=﹣1或2（舍），當(dāng)﹣2＜t＜﹣1時(shí)，f’（t）＞0，當(dāng)﹣1＜t＜2時(shí)f’（t）＜0，所以當(dāng)t=﹣1時(shí)，f（t）有最大值81，即△PAB的面積的最大值是；

根據(jù)韋達(dá)定理得x1+x2=t=﹣1，而x1+x2=2+m，所以2+m=﹣1，得m=﹣3，于是x1+x2+1=3+m=0，y1+y2+=3++=0，因此△PAB的重心坐標(biāo)為（0，0）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式和點(diǎn)滿足橢圓方程，考查直線斜率的計(jì)算，注意運(yùn)用點(diǎn)差法，考查當(dāng)△PAB的面積取得最大值時(shí)，原點(diǎn)O是△PAB的重心．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．20.冠狀病毒是一個(gè)大型病毒家族，己知可引起感冒以及中東呼吸綜合征（MERS）和嚴(yán)重急性呼吸綜合征（SARS）等較嚴(yán)重疾病.而今年出現(xiàn)在湖北武漢的新型冠狀病毒（nCoV）是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株.人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀、發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等.在較嚴(yán)重病例中，感染可導(dǎo)致肺炎、嚴(yán)重急性呼吸綜合征、腎衰竭，甚至死亡.某醫(yī)院為篩查冠狀病毒，需要檢驗(yàn)血液是否為陽(yáng)性，現(xiàn)有n（）份血液樣本，有以下兩種檢驗(yàn)方式：方式一：逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)n次.方式二：混合檢驗(yàn)，將其中k（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn).若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了，如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽(yáng)性，就要對(duì)這k份再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這k份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為.假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性還是陰性都是獨(dú)立的，且每份樣本是陽(yáng)性結(jié)果的概率為p（）.現(xiàn)取其中k（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為，采用混合檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為.（1）若，試求p關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式；（2）若p與干擾素計(jì)量相關(guān)，其中（）是不同的正實(shí)數(shù)，滿足且（）都有成立.（i）求證：數(shù)列等比數(shù)列；（ii）當(dāng)時(shí)，采用混合檢驗(yàn)方式可以使得樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值更少，求k的最大值參考答案：（1），（，且）.（2）（i）見解析（ii）最大值為4.【分析】（1）由題設(shè)可知，的所有可能取值為1，，求，再根據(jù),求；（2）（?。┊?dāng)時(shí)，，∴，令，則，利用數(shù)學(xué)歸納法證明；（ⅱ）由（?。┛芍?，由可知，再設(shè)函數(shù)（），利用函數(shù)的單調(diào)性求的最大值.【詳解】（1）解：由已知，，，得，的所有可能取值為1，，∴，.∴.若，則，，∴，∴.∴p關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式為，（，且）.（2）（i）∵證明：當(dāng)時(shí)，，∴，令，則，∵，∴下面證明對(duì)任意的正整數(shù)n，.①當(dāng)，2時(shí)，顯然成立；②假設(shè)對(duì)任意的時(shí)，，下面證明時(shí)，；由題意，得，∴，∴，，∴，.∴或（負(fù)值舍去）.∴成立.∴由①②可知，為等比數(shù)列，.（ii）解：由（i）知，，，∴，得，∴.設(shè)（），，∴當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)減.又，，∴；，.∴.∴k的最大值為4.【點(diǎn)睛】本題考查概率，函數(shù)，數(shù)列，數(shù)學(xué)歸納法證明的綜合問(wèn)題，本題對(duì)學(xué)生的能力要求較高，屬于難題，重點(diǎn)考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.21.（本小題滿分12分）

如圖所示的幾何體中，是一個(gè)長(zhǎng)方體，是一個(gè)四棱錐，其中，點(diǎn)平面且，（Ⅰ）在棱（含端點(diǎn)）上能否找到一點(diǎn),使得∥平面,并請(qǐng)說(shuō)明理由；

（Ⅱ）求該幾何體的表面積.參考答案：解：