2019年全國碩士研究生考試《數(shù)學(xué)三》試題（網(wǎng)友回憶版）

2019年全國碩士研究生考試《數(shù)學(xué)三》試題（網(wǎng)友回憶版）[單選題]1.當(dāng)x→0時(shí)，若x－tanx與xk是同階無窮小，則k＝（）。（江南博哥）A.1B.2C.3D.4參考答案：C參考解析：tanx在x＝0處的泰勒展開式為tanx＝x＋（1/3）x3＋ο（x3）。因此當(dāng)x→0時(shí)有x－tanx～－x3/3，即x－tanx與－x3/3是x→0時(shí)的等價(jià)無窮小，進(jìn)一步可知x－tanx與x3是同階無窮小，所以k＝3。故選C。[單選題]2.已知方程x5－5x＋k＝0有3個(gè)不同的實(shí)根，則k的取值范圍（）。A.（－∞，－4）B.（4，＋∞）C.{－4，4}D.（－4，4）參考答案：D參考解析：方程x5－5x＋k＝0有3個(gè)不同實(shí)根等價(jià)于曲線y＝x5－5x與直線y＝－k有3個(gè)不同的交點(diǎn)，因此研究曲線y＝x5－5x的曲線特點(diǎn)即可。令f（x）＝x5－5x，則f（x）在R上連續(xù)，且f′（x）＝5x4－5。再令f′（x）＝0，得x＝±1。通過分析f′（x）在穩(wěn)定點(diǎn)x＝±1左右兩側(cè)的符號(hào)，可知當(dāng)x∈（－∞，－1）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（－1，1）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（1，＋∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增。又由于f（－1）＝4，f（1）＝－4，結(jié)合上述函數(shù)f（x）的單調(diào)特性，可知當(dāng)－4＜k＜4時(shí)，曲線y＝x5－5x與直線y＝－k有3個(gè)交點(diǎn)，故選D。[單選題]3.已知微分方程y″＋ay′＋by＝cex的通解為y＝（C1＋C2x）e－x＋e<sup>x，則a，b，c依次為（）。A.1，0，1B.1，0，2C.2，1，3D.2，1，4參考答案：D參考解析：由微分方程的通解可知，－1是其特征方程λ2＋aλ＋b＝0的二重根，ex是其中一個(gè)特解。因此λ2＋aλ＋b＝（λ＋1）2，所以a＝2，b＝1，將特解ex代入微分方程，得到c＝4。故選D。[單選題]4.若絕對(duì)收斂，條件收斂，則（）。A.條件收斂B.絕對(duì)收斂C.收斂D.發(fā)散參考答案：B參考解析：根據(jù)題意，因?yàn)榧?jí)數(shù)條件收斂，所以有由極限的性質(zhì)可知，存在常數(shù)ε＞0和正整數(shù)N，當(dāng)n＞N時(shí)，有vn/n≤ε，則unvn＝（nun）（vn/n）≤εnun，而級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，由比較判別法可知絕對(duì)收斂，故選B。[單選題]5.設(shè)A是4階矩陣，A*為A的伴隨矩陣，若線性方程組Ax＝0的基礎(chǔ)解系中只有2個(gè)向量，則r（A*）＝（）。A.0B.1C.2D.3參考答案：A參考解析：伴隨矩陣的秩為由于r（A）＝n－2＜n－1，所以r（A*）＝0。故選A。[單選題]6.設(shè)A是3階實(shí)對(duì)稱矩陣，E是3階單位矩陣。若A2＋A＝2E，且A＝4，則二次型xTAx的規(guī)范型為（）。A.y12＋y22＋y<sub>3sub>2B.y12＋y22－y<sub>3sub>2C.y12－y22－y<sub>3sub>2D.－y12－y22－y_{3sub>2參考答案：C參考解析：二次型xTAx的規(guī)范型，只需計(jì)算矩陣A的特征值得到A的正負(fù)慣性指數(shù)即可。由A2＋A＝2E可得A的特征值λ滿足λ2＋λ－2＝0，所以A的特征值只能為1或－2。又因?yàn)锳＝4且A是3階矩陣，所以A的特征值為1，－2，－2。由A的特征值符號(hào)可得正慣性指數(shù)為1，負(fù)慣性指數(shù)為2，所以規(guī)范型為y12－y22－y3²。故選C。[單選題]7.設(shè)A，B為隨機(jī)事件，則P（A）＝P（B）的充分必要條件是（）。A.P（A∪B）＝P（A）＋P（B）B.P（AB）＝P（A）P（B）C.P（A）＝P（B）D.參考答案：C參考解析：選項(xiàng)A只能說明事件A與事件B不相容，選項(xiàng)B只能說明事件A與事件B相互獨(dú)立，并不能說明P（A）＝P（B）。對(duì)選項(xiàng)D來說，若令B＝，等式恒成立，亦不能說明P（A）＝P（B）。P（A）＝P（A）－P（AB），P（B）＝P（B）－P（AB），P（A）＝P（B）?P（A）＝P（B）。故選C。[單選題]8.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且都服從正態(tài)分布N（μ，σ2），則P{X－Y＜1}（）。A.與μ無關(guān)，而與σ2有關(guān)B.與μ有關(guān)，而與σ2無關(guān)C.與μ，σ2都有關(guān)D.與μ，σ2都無關(guān)參考答案：A參考解析：因?yàn)閄，Y相互獨(dú)立且都服從N（μ，σ2），記Z＝X－Y，則Z服從N（0，2σ2）分布，P{Z＜1}只與σ2有關(guān)，因此P{X－Y＜1}與μ無關(guān)，而與σ2有關(guān)。故選A。[問答題]1.（本題滿分10分）已知函數(shù)求f′（x），并求f（x）的極值。參考答案：f（x）為連續(xù)函數(shù)。當(dāng)x＞0時(shí)，有x2x＝e2xlnx，則f′（x）＝（x2x）′＝（e2xlnx）′＝2x2x（lnx＋1）；當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＝（x＋1）ex，又因?yàn)樗詅′（0）不存在，0為函數(shù)f（x）的不可導(dǎo)點(diǎn)。令f′（x）＝0，得x＝－1或x＝1/e，下面討論導(dǎo)數(shù)f′（x）在穩(wěn)定點(diǎn)（f′（x）＝0）和不可導(dǎo)點(diǎn)兩側(cè)的符號(hào)。①當(dāng)x＜－1時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)－1＜x＜0時(shí)，f′（x）＞0，所以x＝－1為極小值點(diǎn)，f（－1）＝1－1/e；②當(dāng)－1＜x＜0時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)0＜x＜1/e時(shí)，f′（x）＜0，所以x＝0為極大值點(diǎn)，f（0）＝1；③當(dāng)0＜x＜1/e時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x＞1/e時(shí)，f′（x）＞0，所以1/e為極小值點(diǎn)，f（1/e）＝e－2/e。[問答題]2.（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)f（u，v）具有2階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)g（x，y）＝xy－f（x＋y，x－y），求a2g/ax2＋a2g/（axay）＋a2g/ay2。參考答案：首先求g（x，y）對(duì)x、y的一階偏導(dǎo)數(shù)ag/ax＝y(tǒng)－f1′－f2′，ag/ay＝x－f1′＋f2′。因?yàn)閒（u，v）具有2階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，所以有f12″＝f21″，進(jìn)一步可得g對(duì)x、y的二階偏導(dǎo)數(shù)：a2g/ax2＝－f11″－f12″－f21″－f22″＝－f11″－2f12″－f22″a2g/（axay）＝1－f11″＋f12″－f21″＋f22″＝1－f11″＋f22″a2g/ay2＝－f11″＋f12″＋f21″－f22″＝－f11″＋2f12″－f22″因此ag/ax2＋a2g/（axay）＋a2g/ay2＝1－3f11″－f22″。[問答題]3.（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)y（x）是微分方程滿足條件的特解。（1）求y（x）；（2）設(shè)平面區(qū)域D＝{（x，y）1≤x≤2，0≤y≤y（x）}，求D繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。參考答案：（1）用一階線性微分方程的求解公式，可得由，得C＝0，所以。（2）結(jié)合（1）中求出的函數(shù)y（x），且D＝{（x，y）1≤x≤2，0≤y≤y（x）}，可得旋轉(zhuǎn)體體積為[問答題]4.（本題滿分10分）求曲線y＝e－xsinx（x≥0）與x軸之間圖形的面積。參考答案：圖形的面積為當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，有當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，有因此[問答題]5.（本題滿分10分）設(shè)（1）證明：數(shù)列{an}單調(diào)遞減，且an＝（n－1）an－2/（n＋2）（n＝2，3，…）；（2）求參考答案：證明：（1）對(duì)ax∈[0，1]，都有因此即an≥an＋1，數(shù)列{an}單調(diào)遞減。計(jì)算an可得因此an＝（n－1）an－2/（n＋2）（n＝2，3，…）。（2）由（1）中結(jié)果{an}單調(diào)遞減且an＞0，因此有an/an－2≤an/an－1≤an/an＝1。故可得根據(jù)夾逼準(zhǔn)則，有[問答題]6.（本題滿分11分）已知向量組Ⅰ：α1＝（1，1，4）T，α2＝（1，0，4）T，α3sub>＝（1，2，a2＋3）T；Ⅱ：β1＝（1，1，a＋3）T，β2（0，2，1－a）T，β3sub>＝（1，3，a2＋3）T。若向量組Ⅰ與Ⅱ等價(jià)，求a的取值，并將β3用α1，α2，α3線性表示。參考答案：首先求a的取值，因?yàn)橄蛄拷MⅠ與Ⅱ等價(jià)，所以它們可以互相線性表示，即方程組（α1，α2，α3）X＝（β1，β2，β3）（β1，β2，β3）Y＝（α1，α2，α3）同時(shí)有解，即向量組的秩相等為r（α1，α2，α3）＝r（α1，α2，α3，β1，β2，β3）＝r（β1，β2，β3）對(duì)[α1，α2，α3，β1，β2，β3]作初等行變換得到矩陣分三種情況來進(jìn)行討論：①當(dāng)a≠±1時(shí)，有r（α1，α2，α3）＝r（α1，α2，α3，β1，β2，β3）＝r（β1，β2，β3）＝3此時(shí)向量組Ⅰ與Ⅱ是等價(jià)的。②當(dāng)a＝1時(shí)，有r（α1，α2，α3）＝r（α1，α2，α3，β1，β2，β3）＝r（β1，β2，β3）＝2此時(shí)向量組Ⅰ與Ⅱ是等價(jià)的。③當(dāng)a＝－1時(shí)，有r（α1，α2，α3）＝2，r（α1，α2，α3，β1，β2，β3）＝r（β1，β2，β3）＝3此時(shí)向量組Ⅰ與Ⅱ不是等價(jià)的。綜上，當(dāng)a≠－1時(shí)向量組Ⅰ與Ⅱ等價(jià)。將β3用α1，α2，α3線性表示，即方程組k1α1＋k2α2＋k3α3＝β3有一組不全為零的解，接下來分兩種情況來進(jìn)行討論：①當(dāng)a≠±1時(shí)，令方程組k1α1＋k2α2＋k3α3＝β3，則有唯一解為（1，－1，1）T，即β3＝α1－α2＋α3。②當(dāng)a＝1時(shí)，令方程組k1α1＋k2α2＋k3α3＝β3，則有通解為（3，－2，0）T＋k（－2，1，1）T，即β3＝（3－2k）α1＋（k－2）α2＋kα3，其中k為任意常數(shù)。[問答題]7.（本題滿分11分）已知矩陣與相似。（1）求x，y；（2）求可逆矩陣P，使得P－1AP＝B。參考答案：（1）相似的矩陣有相同的特征值，因此特征值之和相同，又因?yàn)榫仃囂卣髦抵偷扔诰仃嚨嫩E（即矩陣對(duì)角線元素之和），所以有∑aii＝∑bii，A＝B，即求解得到x＝3，y＝－2。（2）矩陣B的特征多項(xiàng)式f（λ）＝λE－B＝（λ－2）（λ＋1）（λ＋2），因此B的特征值為2，－1，－2。A與B相似，因此A的特征值亦為2，－1，－2。下面分別求A和B的特征向量：由（2E－A）x＝0，得λ＝2的一個(gè)特征向量為α1＝（1，－2，0）T；由（－E－A）x＝0，得λ＝－1的一個(gè)特征向量為α2＝（－2，1，0）T；由（－2E－A）x＝0，得λ＝－2的一個(gè)特征向量為α3＝（1，－2，－4）T。令則有由（2E－B）x＝0，得λ＝2的一個(gè)特征向量為β1＝（1，0，0）T；由（－E－B）x＝0，得λ＝－1的一個(gè)特征向量為β2＝（－1，3，0）T；由（－2E－B）x＝0，得λ＝－2的一個(gè)特征向量為β3＝（0，0，1）T。令則有于是P1－1AP1＝P2－1BP2，得P2P1－1AP₁P2}－1＝B。令P＝P1P2－1，則有P－1AP＝B，其中[問答題]8.（本題滿分11分）設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，Y的概率分布為P{Y＝－1}＝p，P{Y＝1}＝1－p（0＜p＜1），令Z＝XY。（1）求Z的概率密度；（2）p為何值時(shí)，X與Z不相關(guān)；（3）X與Z是否相互獨(dú)立？參考答案：（1）X的概率密度函數(shù)為Z的分布函數(shù)為FZ（z）＝P{Z≤z}＝P{XY≤z}＝P{Y＝－1，XY≤z}＋P{Y＝1，XY≤z}＝P{Y＝－1，－X≤z}＋P{Y＝1，X≤z}＝P{Y＝－1}P{X≥－z}＋P{Y＝1}P{X≤z}＝p[1－FX（－z）]＋（1－p）FX（z）因此（2）X與Z不相關(guān)?Cov（X，Z）＝0。由于Cov（X，Z）＝Cov（X，XY）＝E（X2Y）－E（X）E（XY）＝{E（X2）－[E（X）]2}EY＝D（X）[－p＋（1－p）]＝D（X）（1－2p），所以當(dāng)p＝1/2時(shí)，Cov（X，Y）＝0，X與Z不相關(guān)。（3）X與Z不相互獨(dú)立。反證法：假設(shè)X與Z相互獨(dú)立，取x＝1，y＝1，則當(dāng)p＝1/2時(shí)，有P{X≤1，Z≤1}＝P{X≤1}P{Z≤1}又因?yàn)镻{X≤1}P{Z≤1}＝FX（1）FZ（1）＝（1－e－1）[1/2＋（1－e－1）/2]＝（2－3e－1＋e－2）/2①P{X≤1，Z≤1}＝P{X≤1，XY≤1}＝P{X≤1，XY≤1，Y＝－1}＋P{X≤1，XY≤1，Y＝1}＝P{－1≤X≤1}P{Y＝－1}＋P{X≤1}P{Y＝1}＝P{X≤1}/2＋P{X≤1}/2＝P{X≤1}＝1－e－1②由①②可知，P{X≤1，Z≤1}≠P{X≤1}P{Z≤1}，故原假設(shè)不成立，即X，Z不獨(dú)立。[問答題]9.（本題滿分11分）設(shè)總體X的概率密度為其中μ是已知參數(shù)，σ＞0是未知參數(shù)，A是常數(shù)。X1，X2，…，Xn是來自總體X的簡單隨機(jī)樣本。（1）求A；（2）求σ2的最大似然估計(jì)量。參考答案：（1）由概率密度函數(shù)的性質(zhì)，有并且利用正態(tài)分布概率密度函數(shù)的性質(zhì)，即根據(jù)題設(shè)，有因此（2）似然函數(shù)為當(dāng)x1，x2，…，xn≥μ時(shí)，令d[lnL（σ2）]/d（σ2）＝0，即得到所以σ2的最大似然估計(jì)量為[填空題]1.（）。參考答案：1/e參考解析：計(jì)算因此[填空題]2.曲線y＝xsinx＋2cosx（－π/2＜x＜3π/2）的拐點(diǎn)坐標(biāo)為（）。參考答案：（π，－2）參考解析：由y＝xsinx＋2cosx計(jì)算y″＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx，令y″＝0得x＝0，x＝π。在x＝0的兩側(cè)，y″不變號(hào)，即y″（0－）y″（0＋）＞0，所以（0，2）不是拐點(diǎn)；在x＝π的兩側(cè)，y″變號(hào)，即y″（π－）y″（π＋）＜0，所以（π，－2）是拐點(diǎn)。[填空題]3.已知函數(shù)則（）。參考答案：參考解析：根據(jù)題意可得且f（1）＝0運(yùn)用分部積分法可計(jì)算得[填空題]4.以PA，PB分別表示A，B兩個(gè)商品的價(jià)格，設(shè)商品A的需求函數(shù)QA＝500－PA2－PAPB＋2PB2，則當(dāng)PA＝10，PB＝20時(shí)，商品A的需求量對(duì)自身價(jià)格彈性ηAA（